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军队院校招生文化科目统考数学复习
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第七章 直线和圆的方程
圆 复习题
1.选择题
(1)过点 (1, 1) A - , ( 1,1) B - ,且圆心在直线 2 0 x y + - = 上的圆的方程( ).
A. 2 2 ( 3) ( 1) 4 x y - + + = B. 2 2 ( 3) ( 1) 4 x y + + - =
C. 2 2 ( 1) ( 1) 4 x y - + - = D. 2 2 ( 1) ( 1) 4 x y + + + =
(1)C 圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y x = 上,而圆心也在直线 2 0 x y + - = 上,
得圆心为 (1,1),半径为2,则圆的方程为 2 2 ( 1) ( 1) 4 x y - + - = .
(2) 1 O e :
2 2 2 0 x y x + - = 和 2 O e :
2 2 4 0 x y y + + = 的位置关系是( ).
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
(2)C 1 O e :
2 2 ( 1) 1 x y - + = ,即圆心 1 (1,0) O ,半径 1 1 r = ;
1 O e :
2 2 ( 2) 4 x y + + = ,即圆心 2 (0, 2) O - ,半径 1 2 r = ,
连心线 1 2 5 OO = ,而2 1 5 1 2 - < < + ,即两圆相交.
(3)如果圆 2 2 0 x y Dx Ey F + + + + = 与 x轴相切于原点,则( ).
A. 0, 0, 0 D E F = = ¹ B. 0, 0, 0 D E F ¹ = =
C. 0, 0, 0 D E F = ¹ = D. 0, 0, 0 D E F ¹ ¹ =
(3)C 圆过原点,则 0 F = ,圆与 x轴相切于原点,得圆心在 y 轴上,即 0 D = .
(4)直线 l: ( 1) 1 0 ( ) k x ky k R + - - = Î 与圆 2 2 : ( 1) 1 C x y + - = 的位置是( ).
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
(4)D 由 ( 1) 1 0 k x ky + - - = ,得 ( ) 1 0 k x y x - + - = ,即该直线恒过定点 (1,1),
而点 (1,1)在圆 2 2 ( 1) 1 x y + - = 上,即该直线和圆相交或相切.
(5) 直线 1 ax by + = 与圆C : 2 2 1 x y + = 相交, 则点 ( , ) P a b 与 C e 的位置关系是 ( ).
A. P 在圆内 B.P 在圆外 C.在圆上 D.不确定
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(5)B
2 2
1
1
a b
<
+
,得 2 2 1 a b + > ,即在圆外.
2.填空题
(1)半径是 5,圆心在 y 轴上,且与直线 6 y = 相切的圆的方程为 .
(1) 2 2 ( 1) 25 x y + - = ,或 2 2 ( 11) 25 x y + - =
圆心为 (0,1),或 (0,11),即 2 2 ( 1) 25 x y + - = ,或 2 2 ( 11) 25 x y + - = .
(2)两圆 2 2 9 x y + = 和 2 2 6 18 0 x y x + - - = 相交于 , A B两点,则直线 AB 的方程
为 .
(2) 3
2
x = - 两式相减得6 18 9 x + = ,即
3
2
x = - .
(3)直线 l将圆 2 2 2 4 0 x y x y + - - = 平分,且 l不通过第四象限,则 l的斜率的取值
范围为 .
(3)[0, 2] 2 2 2 4 0 x y x y + - - = 变形为 2 2 ( 1) ( 2) 5 x y - + - = ,得圆心为 (1, 2),
圆心与原点连线的斜率是2, l的斜率的取值范围为[0, 2].
(4)经过两点 (3,5)和 ( 3,7) - ,且圆心在 x轴上的圆的方程为 .
(4) 2 2 ( 2) 50 x y + + = 以两点 (3,5), ( 3,7) - 为端点的线段的垂直平分线
为 3 6 y x = + ,而圆心在 x轴上,则圆心为 ( 2,0) - , 5 2 r = ,
得圆的方程为 2 2 ( 2) 50 x y + + = .
(5)曲线 2 2 4 x y + = 与曲线
2 2cos
2 2sin
x
y
q
q
= - + ì
í = + î
(参数 [0 2 ) q p Î , )关于直线 l对称,
则直线 l的方程为 .
(5) 2 y x = +
2 2cos
2 2sin
x
y
q
q
= - + ì
í = + î
的普通方程为 2 2 ( 2) ( 2) 4 x y + + - = ,
直线 l就是以两点 (0,0), ( 2, 2) - 为端点的线段的垂直平分线,即 2 y x = + .
3.求过已知圆 2 2 2 2 4 2 0, 2 4 0 x y x y x y y + - + = + - - = 的交点,且圆心在2 4 1 x y + =
上的圆的方程.
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3.解:由
2 2
2 2
4 2 0
2 4 0
x y x y
x y y
ì + - + = ï
í
+ - - = ï î
,得
2 2
1
2 4 0
y x
x y y
= - ì
í
+ - - = î
,
即 2 2 4 1 0 x x - - = ,得
6
1
2
6
2
x
y
ì
= + ï ï
í
ï = ï î
,或
6
1
2
6
2
x
y
ì
= - ï ï
í
ï = - ï î
,
而所求圆的圆心显然在两圆的连心线即 1 0 x y + - = 上,
联合
1 0
2 4 1
x y
x y
+ - = ì
í + = î
,得
3
2
1
2
x
y
ì = ï ï
í
ï = -
ï î
,即所求圆的圆心为 3 1 ( , )
2 2
- ,
设半径 r ,则 2 2 2
3 6 1 6 7
( 1 ) ( )
2 2 2 2 2
r = - + + - + = ,
得 2 2 3 1 7 ( ) ( )
2 2 2
x y - + + = ,即 2 2 3 2 1 0 x y x y + - + - = 为所求.
4.已知定点 (2,0) A ,圆 2 2 1 x y + = 上有1个动点Q, AOQ Ð 的角平分线交 AQ于P点,
求动点P 的轨迹.
4.解:因为OP 是 AOQ Ð 的角平分线,
所以 2
AP OA
PQ OQ
= = ,即P点分 AQ得比为2,
设 ( , ) P x y , 0 0 ( , ) Q x y ,则
0 2 2
1 2
x
x
+ ×
=
+
,且 0
0 2
1 2
y
y
+ ×
=
+
,
得 0 0
3 3
1,
2 2
x x y y = - = ,而 2 2 0 0 1 x y + = ,即
2 2 3 3 ( 1) ( ) 1
2 2
x y - + = ,
整理得 2 2 2 2 2 ( ) ( )
3 3
x y - + = .
5.从点 ( 2, 1) A - - 向圆 2 2 4 2 1 0 x y x y + - + + = 引切线,求切点坐标与切线方程.
5.解:该切线的斜率显然存在,设 1 ( 2) y k x + = + ,即 2 1 0 kx y k - + - = ,
圆 2 2 4 2 1 0 x y x y + - + + = 的标准方程为 2 2 ( 2) ( 1) 4 x y - + + = ,
则
2
| 2 1 2 1|
2
1
k k
k
+ + -
=
+
, 2 2 (2 ) 1 k k = + ,得 2 1
3
k = ,即
3
3
k = ± ,
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得切线方程为
3
1 ( 2)
3
y x + = ± + ,
即 3 2 3 0 x y - + - = ,或 3 2 3 0 x y + + + = ;
设切点坐标为 (2 2cos , 1 2sin ) P q q + - + ,而 2 3 AP = ,
即 2 2 (4 2cos ) (2sin ) 12 q q + + = ,得 1 3 cos ,sin
2 2
q q = - = ± ,
得切点坐标为 (1, 1 3) P - ± .
6.求圆 2 2 ( 3) ( 4) 4 x y + + + = 关于原点对称的圆的方程,并求这两个圆的外公切线方程.
6.解:圆 2 2 ( 3) ( 4) 4 x y + + + = 关于原点对称的圆的方程为
圆 2 2 ( 3) ( 4) 4 x y - + + - + = ,整理得: 2 2 ( 3) ( 4) 4 x y - + - = ,
因为两圆为等圆,所以这两个圆的两条外公切线均与连心线平行,
而两圆的连心线的斜率为 4
3
,
设这两个圆的外公切线方程为4 3 0 x y c - + = ,
得 | | 2
5
c
= ,即 10 c = ± ,
所以这两个圆的外公切线方程为4 3 10 0 x y - ± = .
7.已知圆 2 2 4 4 8 0 x y x y k + - + + - = 关于直线 2 0 x y - - = 对称的圆是 C e ,且 C e 与
直线3 4 40 0 x y + - = 相切,求实数 k 的值.
7.解:圆 2 2 4 4 8 0 x y x y k + - + + - = 关于直线 2 0 x y - - = 对称的圆是:
圆 2 2 ( 2) ( 2) 4( 2) 4( 2) 8 0 y x y x k + + - - + + - + - = ,
整理得: 2 2 x y k + = ,而该与圆直线3 4 40 0 x y + - = 相切,
则 40
5
k = ,得 64 k = .
8.求圆 2 2 1 x y + = 的切线和两坐标轴围成的三角形的面积的最小值,并求取得最小值时
切线的方程.
8.解:设切点为 ( , ) a b ,则切线方程为 1 ax by + = ,
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得切线与 , x y轴分别交于 1 1 ( ,0), (0, )
a b
,令
1 1 1 1
| | | |
2 2 | |
S
a b ab
= × × = ,
而点 ( , ) a b 在圆 2 2 1 x y + = 上,则 2 2 2 2 1 | | | | 2 | | a b a b ab = + = + ³ ,
得
1
1
2 | | ab
³ ,即面积的最小值为1,且当| | | | a b = 时,等号成立,
此时
2
| | | |
2
a b = = ,则切线方程为 2 0 x y + - = , 2 0 x y - - = ,
2 0 x y + + = ,或 2 0 x y - + = .