nullnull数列的概念收敛数列的性质小结 作业 数列极限的概念概念的引入第1节 数列极限第1章 极限与连续 null一、概念的引入刘徽(三世纪)的“割圆术”null如定义按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项(generalterm),或者一般项.二、数列 (sequence of number) 的概念(P19)null可看作一动点在数轴上依次取注:(2)数列可看作自变量为正整数 n的函数: 整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.三、数列极限的概念(P21)三、数列极限的概念(P21)即问题如果是,当n无限增大时, 无限接近于1.如何确定?null如何用数学语言刻划它.则要看“无限接近”意味着什么?只要n充分大,小到什么要求.当n无限增大时, 无限接近于1.nullnull定义总存在正整数N,不等式成立. 收敛于a (converge to a) . 或称数列 记为或如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).null注{xn}有没有极限, 一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;主要看“后面”的无穷多项.(1)(2)(3)(4)“前面” 的有限项不起作用,其中null数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理需要预先知道极限值是多少.和证明极限,而不是用来求极限,因为这里即null例所以,证null例证明数列 以 0为极限.证要使由于有适当放大法null例证所以,
常数列的极限等于同一常数.null例证为了使只需使null1. 有界性如,有界;无界.定义若存在正数M,数n,恒有称为无界.否则,使得一切自然四、收敛数列的性质(补充)null定理1证由定义,有界性是数列收敛的必要条件, 推论收敛的数列必定有界.无界数列必定发散.不是充分条件.书P25 8null2. 唯一性定理2证由定义,故收敛数列极限唯一.每个收敛的数列只有一个极限.才能成立.使得书P25 7null例证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内. 反证法假设数列收敛, 则有唯一极限a 存在.但却发散.null3. 保号性定理3如果且证由定义,对有 从而推论如果数列从某项起有且那么用反证法null所构成的新数列在子数列中是第k项,4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系子数列.叫做数列null*********************证是数列的任一子数列.若则成立.现取正整数 K,使于是当时, 有从而有由此证明 *********************定理4设数列正整数 K收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.null 由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.一般不能断定原数列的收敛性;仅从某一个子数列的收敛例证不收敛.收敛于而偶子数列 收敛于null数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小结研究其变化规律;极限思想, 精确定义, 几何意义;有界性, 唯一性,保号性,null作业习题1.1 (24-25页) 2. 4. 5. 10