高等教育学费标准的研究

高等教育学费的研究 摘要摘要摘要摘要 本文讨论了高等教育学费标准制定的问题。我们首先收集并整合了与高等教 育学费有关的数据，建立起灰色预测模型对未查找到的数据进行了预测。然后基 于所需解决的问题，建立了以下三个模型。 第一步，建立家庭承受力模型，对全国平均学费进行初步评价。定义出承受 力达式，将承受力分为城镇和农村两方面，求得它们随学费在 3000 到 9000 元范围内变化时的情况(表 6)。最终得出结论：考虑到农村承受力，如今学费偏 高，应将学费下调到 4000 元左右。 第二步，建立学费模型，确定具体的学费标准。从学费确定的复杂性和 目的性两个角度出发，归纳出影响学费标准的三个主要因素：学校所处地区、学 生所选学校、学生所选专业。并且以培养质量最高、就读指标最大、学生受益最 大、对社会的贡献最大为目标，建立四目标最优化模型。Matlab 编程求解得学 费方案见表 8,9,10。将所求结果与三峡大学等高等院校的各专业实际学费相比 较，得出结论：目前全国各高校各专业所收学费均比应该收取的费用要高 35%， 而且部分专业大大超过了应收取的额度。 第三步，建立补助模型，给出补助意见。在承受力模型和学费模型的基础上 可得：补助=(1-承受力)×学费，由学费模型的结果对应求出各学校各专业的补 助方案见表 11,12,13。分析结果得出结论：国家补助应该分地域、分学校级别、 分专业进行专项拨款。 最后，我们根据所求得的学费标准、补助方案，写了一篇关于高等教育学费 标准的报告。 关键词：灰色预测 恩格尔系数 学费标准研究 多目标最优化 1111 问题重述问题重述问题重述问题重述 1.1 问题背景 近年来，不断上涨的大学学费，直接触及了广大人民群众的切身利益，引起 了社会的高度关注，成为当前社会的热点问题之一。中国现阶段而言,国家对高 等教育的投入不到GDP总产值的4%,远远低于发达国家的7%,国家投入资金较低, 为保证高校办学质量,则大量的学费的负担就分担到了单个家庭的身上。这样直 接导致过高的学费会使很多学生无力支付。但如果学费过低又使学校财力不足而 无法保证质量。因此学费问题引起了社会各界的广泛关注和讨论。 1.2 需要解决的问题 (1)根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数 据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析， 得出明确、有说服力的结论。 (2)根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 2222 模型假设和符号说明模型假设和符号说明模型假设和符号说明模型假设和符号说明 2.1 模型假设 假设一：在今年余下的时间内，教育教育业仍旧平稳发展，没有重大事件的影响 假设二：假设处于同一级别的学校受到国家的财政补贴是一样的 假设三：不同学校的同一类型的专业的教育成本、对社会的贡献相同 假设四：假设处于同一地区的大学经济环境相同 假设五：本文所考虑的家庭都只供一个学生上大学 2.2 符号说明 符号 说明 θ 恩格尔系数 α 城镇学生在学校所占比重 ψ 地区域系数 v 贡献率 φ 学校重点系数 τ 专业培养系数 M 培养质量 D 学生就读指标 S 学生受益指标 G 对社会贡献 1x 表示学费价格 2x 表示生均奖学金 3333 问题分析问题分析问题分析问题分析 3.1 受教育者需要交纳学费的原因 高等教育能产生显著的个人收益，可以提高人的知识、智能、素质，从而 增加就业机会和预期收人。因此，高等教育学费作为受益者应付出的必要代价， 它应和个人收益程度相关。 3.2 高等教育学费标准的影响因素 影响高等教育学费标准的因素有很多，在本文中我们只考虑以下几点： 3.2.1 家庭的承受能力 如果学费设得太高则很多经济条件有限的家庭将负担不起学费，导致学生辍 学。在中国，农村家庭居多，因此学费的制定标准应考虑到农村学生家庭状况。 3.2.2 学校所处地区 不同的学校所在地区的经济环境将影响到教育的成本如教职工工资、教育场 地的费用等。经济月发达的地方成本就越高，自然会使得学费标准升高。 3.2.4 学生选择的学校 学校也有级别的划分，本文只讨论重点本科、普通本科和专科的情况。由于 学校级别不同，则享受到的国家补贴也就不同。高级别的学校享受到财政拨款多 则可以在学费上给学生减轻压力。 3.2.4 学生选择的专业 对于专业而言有着自己的属性，即对社会的贡献率、自身的专业成本等等。 学费制定标准的过程中会考虑到专业情况，因此不同专业的学费也会产生不同的 情况。 3.2.5 制定学费的目标 各高校学费的制定都是从以下四个角度出发： (1)培养质量最高(2)学生就读指标最大(3)学生受益最大(4)对社会贡献最大 4444 数据的收集与处理数据的收集与处理数据的收集与处理数据的收集与处理 4.1 数据收集 (1)2000 年到 2005 年学生培养经费统计如下： 表 1：2000 年到 2005 年学生培养经费 年份 项目 2000 2001 2002 2003 2004 2005 国家财政性教育经 费 5311854 6328004 7521463 8405779 9697909 10908369 预算内教育经费 5044173 6060683 7243459 8074148 9309882 10463734 社会团体和公民个 人办学经费 65941 181993 331363 603015 1121982 1801315 社会捐资和集资办 学经费 151828 172775 278253 256375 215440 210796 学费和杂费 1926109 2824417 3906526 5057307 6476921 7919249 其他教育经费 1677772 2158574 2840985 3220992 3785362 4662641 (来源于中国教育统计年鉴 2006[1]) (2)普通高校生均费和国民人均 GDP 统计结果如下 表 2：普通高校生均费和国民人均 GDP 年份 项目 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 普通高校生 均学费 1001 1315 1589 1794 2769 3550 3895 4224 4419 4785 人均 GDP 4854 5576 6054 6308 6551 7086 7651 8214 9111 10561 (来源于中国教育统计年鉴 2006[1]) 表 3：城乡人均纯收入即恩格尔系数[2] 年份 城镇居民家庭 人均可支配收 入 农村居民家庭 人均纯收入 城镇居民家庭 恩 格 尔 系 数 (%) 农村居民家庭 恩 格 尔 系 数 (%) 1996 4872.6 1980.4 40.2 54.3 1997 5212.4 2000.0 39.5 51.4 1998 5472.1 2090.8 39.2 50.1 1999 5910.2 2102.4 38.4 49.8 2000 6321.8 2242.6 37.5 48.9 2001 6859.6 2366.4 38.2 47.7 2002 7702.8 2475.6 37.7 46.2 2003 8472.2 2622.2 37.1 45.6 2004 9421.6 2936.4 37.7 47.2 2005 10493 3254.9 36.7 45.5 2006 11759.5 3587 35.8 43 4.2 数据收集 由于在数据收集的阶段我们只收集到了 1997 年到 2006 年的相关数据，因此我们 建立灰色预测模型对近五年的数据进行了预测。 4.2.1 灰色预测模型的建立[3] (1)原始数据，原始数据为表 1 各项数据 ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ⋯= (2)计算生成序列 (1) X ，用 GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据 (0)X 作一次累 加得到 (1) X 序列 (1) (0) 1 ( ) ( ) ( 1, 2... ) i m x i x m i n = = =∑ 可以得到相应的 j K 的递增系列 ( ) ( ) ( )( )(1) (1) (1) (1)1 , 2 , ,X x x x n= ⋯ (3) 得到模型的白化方程，首先对 (1) X 计算紧邻均值生成 (1) j Z ： ( )(1) (1) (1)1 ( ) ( 1) ... ... ( 2, , ) 2j z m x m x m m n ⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦ ⋯ 接着我们根据 GM(1,1)建模，写出灰色数： ( ) ( ) ( ) ( )0 1x k az k b+ = 根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方 程模型，得到 GM(1,1)的白化方程即： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1dx t ax t b dt + = (4)白化方程的求解，得到预测值 (0)^ X 表达式，其白色方程的解为时间响应函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 11 a tb bx k x e a a − −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 通过改变 k 的值我们可以得出原始数据序列 (0) X 的预测值为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1ˆ ˆ ˆ1 1 ( 1, 2... 1)x k x k x k k n+ = + − = − 4.2.2 灰色模型的预测 在已知 2000 年到 2005 年学生培养经费(表 1)的情况下我们对2006 年到 2011 的 学生培养经费做出了如下预测，并计算出了学费占教育经费的比例。 表 4：2006 年到 2011 年学生培养经费 年份 项目 2006 2007 2008 2009 2010 2011 国家财政性教育经 5311854 6328004 7521463 8405779 9697909 10908369 费 预算内教育经费 5044173 6060683 7243459 8074148 9309882 10463734 社会团体和公民个 人办学经费 65941 181993 331363 603015 1121982 1801315 社会捐资和集资办 学经费 151828 172775 278253 256375 215440 210796 学费和杂费 1926109 2824417 3906526 5057307 6476921 7919249 其他教育经费 1677772 2158574 2840985 3220992 3785362 4662641 合 计 9133504 11665762 14878590 17543468 21297613 25502371 学费占教育经费的 比例 0.21 0.24 0.26 0.29 0.30 0.31 4.2.3 模型的精度检验 相对误差，斜率关联度，均方差比值，小误差概率四个指标对其进行检验得 到，检验精度如下表： 表 5：第一个项目的灰色预测检验精度表 相对误差ε 0.0300 合格 关联度γ 0.9503 良好 均方差比C 0.1500 良好 小误差概P 1 良好 对于第一个项目“国家财政性教育经费”，其四个检验标准都在二级以上， 说明检验效果很好。该表中其他项目的检验也均能符合灰色预测的标准，检验精 度在这里不再重复呈现。 由于灰色预测预测效果较好，我们对表 2，表 3 的数据进行了预测。具体结 果见附录。 5555家庭承受力模型的建立家庭承受力模型的建立家庭承受力模型的建立家庭承受力模型的建立 5.1 模型的准备 首先,就中国现阶段而言,国家对高等教育的投入不到GDP总产值的 4%,远远 低于发达国家的 7%,国家投入资金较低,为保证高校办学质量 ,则大量的学费的负 担就分担到了单个家庭的身上。在中国城乡差别很大，因此设定合理学费时不仅 仅要考虑到城镇家庭的承受能力更要兼顾农村家庭的经济情况。 2001至 2011全国年人均可支配收入情况 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0 2 0 1 1年份 可 支 配 收 入 城镇居民家庭人均可支配收入 农村居民家庭人均纯收入 其次，高等教育学费的设定针对的是中国家庭的承受力，而该承受力为城镇家庭 承受力和农村家庭承受力两部分的综合。 5.2 模型的建立 5.2.1 恩格尔系数 θ 定义 恩格尔系数反应的是一个家庭的的富裕程度，若该系数越大则越富裕。一般 来说城镇家庭的平均恩格尔系数大于农村家庭。 %100⋅= 家庭或个人的支出总额 食品支出总额 θ 5.2.2 承受力函数 c 的定义： 由数据分析可知：城镇和乡村人均收入、恩格尔系数差别都很大，我们把 乡村和城镇作为两部分开考虑。学费承受能力函数 c定义为城镇家庭学费承受能 力函数 c1和农村家庭学费承受能力函数 c2的线性加权和，设城镇学生在该校（专 业）所占得比例为α 21 )1( ccc ⋅−+⋅= αα 5.2.3 城镇、农村家庭学费承受能力函数 21 cc ， 的确定 设城镇、农村的恩格尔系数分别为 1θ ， 2θ ；城镇、农村家庭总人数与高等教育人 数比分别为 1η ， 2η ；城镇家庭每年纯净收入为 1s ，人均支出 1t ；农村家庭每年纯 收入为 2s ，人均支出 2t 。 1f 为人均学费 [4]。则除了基本开支，每个家庭的人均基 本生活费用为： )1( 111 θ−⋅= tq 除基本生活费用外，家庭可支出费用为 111 )( η⋅− qs 则得 城镇家庭承受能力 1 111 1 )( f qs c η⋅− = 农村家庭承受能力 1 222 2 )( f qs c η⋅− = 5.2.4 承受力判段函数 H 该函数是对家庭能否承受所收学费的判断 1 1 0 1 ,c H ,c >⎧ = ⎨ ≤⎩ H=1 表示家庭可以承受 ；H=0 表示家庭不能承受 5.2.5 综上我们建立的家庭承受力模型 城镇家庭承受能力 1 111 1 )( f qs c η⋅− = 农村家庭承受能力 1 222 2 )( f qs c η⋅− = 综合承受力 21 )1( ccc ⋅−+⋅= αα 承受力判断函数 1 1 0 1 ,c H ,c >⎧ = ⎨ ≤⎩ 5.3 模型的求解 我们对所建立的模型代入相应数据进行了求解，分别求出了当学费在 3000 至 9000 范围内变动时，三个方面承受力（城镇、农村、综合）的变化。 表 6：家庭承受力模型求解结果 学 费 （元） 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 城 镇 承 受 力 c1 2.22 2.00 1.82 1.67 1.54 1.43 1.33 1.25 1.17 1.11 1.05 1.00 0.95 农 村 承 受 力 c2 1.11 1.00 0.91 0.83 0.76 0.71 0.66 0.62 0.58 0.55 0.52 0.50 0.47 综 合 承 受 力 c 1.44 1.30 1.18 1.08 1.00 0.92 0.86 0.81 0.76 0.72 0.68 0.65 0.61 5.4 结果分析 上表中粗体为 H 值小于 1 的结果，由求出的结果可以看出：随着学费的增 加三个方面的承受力都是呈现递减趋势。学费在 8500元以内城镇家庭可以承受， 但对于农村家庭来说学费超过 3500元便不能承受。综合承受能力反应的是全国 平均水平，该承受力的零界值为 5500，恰好约等于如今全国平均学费 5538。但 考虑到农村承受力，如今应该将学费下调到 4000元左右。高出农村承受能力的 500多元可以由各种补助、贷款去填补。 6666学费模型的建立学费模型的建立学费模型的建立学费模型的建立 对于全国 不同类别、 不同专业的学校的学费标准是不一样的,故而在制定 学费标准时应进行分类讨论,具体分类方法如下: 第一,考虑到位于不同地区的学校其当地的经济发展水平对学费的影响 ,因此 应按地区的划分来对高校的学费进行讨论。 第二,由于全国高等院校共分为:重点本科、普通本科、专科等几个级别,不同 级别的学校培养费用不一样,因此学费的标准也应该不一样。 第三，对于不同的专业对社会的贡献程度各异，对于贡献度的大小也会影响 学费的高低。 第四,对于不同的学科和不同的专业,因为其培养目标及不同专业间所需要的 软硬件也有差别,如文史和理工类与艺术类有差别,一些热门专业或特殊专业如软 件与普通专业间也有差别,所以在讨论学费时,还应该按专业的不同分类来进 行讨论。 6.1 学费模型的建立 6.1.1 模型的准备 ⅰⅰⅰⅰ不同地区的学校其当地的经济发展水平对学费的影响，通过对地区因素进行量 化处理得到，引入地区域系数ψ[5] 所在地区 东部地区 中部地区 西部地区 地区系数 1.5 1 0.5 ⅱⅱⅱⅱ由于学校的级别不同，国家的重视程度不一样，政府财政拨款差别较大，学校 的教育质量也也有较大差别。我们粗略地将学校划分为 3个大的等级，即重点本 科、普通本科、专科。收集相关资料，设定学校重点系数φ如下。 学校内别 重点本科 普通本科 专科 重点系数 1.2 1 0.8 ⅲⅲⅲⅲ不同专业毕业的而学生毕业后从事不同的工作，其对社会的贡献也就不一样。 我们根据专业的属性，对专业进行量化处理。以下，重要考虑 5 个大的方向的贡 献率 v。 专业属性 理工文史 师范 农业 医科 艺术 贡献率 1 1.5 1.8 1.2 1 ⅳⅳⅳⅳ不同的专业受教育的成本不一样，这会对学费的收取造成一定影响，我们根据 不同专业的培养特点，定义专业培养系数τ来量化专业对学费的影响。 专业属性 理工文史 师范 农业 医科 艺术 培养系数 1 0.8 0.8 1.6 1.8 6.1.1 确定目标函数 本模型解决的问题是：在综合考虑各方面的情况下，制定相对合理的收费标准 和奖助学金。据此，我们建立了四个目标，其中以学费价格、生均奖助学金为自 变量。 目标一：培养质量最高 培养质量是高等教育的一个核心指标，在高等教育中具有重要地位。高 校作为教育的场所其运作需要有相应的资金做保障。而学费的价格功能能够促使 提高办学质量。 对于培养质量我们主要从高校经费保障及高校的教学实力两方面来考 虑。其中，地域、经费、教学实力与高校的培养质量是正相关的。同时如果专业 培养成本越低，而投入到其的资金越多，则更易培养出高素质人才。即专业培养 成本与培养质量负相关。 M培养质量可以表示为： τ ϕψ ⋅ +++ = l ffxx M 3221 注：ϕ该校重点系数， 表示经济系数ψ ， 2f 人均国家投资， 3f 人均其它来源， l 表示专业成本， 1x 表示学费价格， 2x 表示生均奖学金。 目标二：学生的就读指标最大 对于高校而言，收取的学费越高，学校就有更多的经费用来培养学生，学校 对学生的培养质量也越高，但是过高的学费会使学生无力支付。对于无法承担这 个学费价格的学生，可能会选择放弃这个受教育机会。也就是说，学费价格的提 高或降低对 高校学生的就读率产生影响。如果学费越高，在经济上无法承担的 学生就越多，则学校 的学生就读率就越低；相反地，如果学费越低，在经济上 能够承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越高。 据此，我们结合恩格尔系数、居民人均收入和学费、生均奖贷助学金的关 系定义学生的就读指标为：家庭的可支出费用与需上交给学校费用的比值 D 学生就读指标可表示为： 21 1)1( xx P D − ⋅− = θ 注： 1P 为我国居民平均收入 θ恩格尔系数 目标三：学生受益最大 对于学生而言高等教育是对自身的一种投资，拥有更高的学历意味着拥有 更强的竞争力。对于学生受益最直接的衡量标准是毕业后的工作水平。毕业后的 利润越大学生的受益也就越大。 据此，我们定义学生的受益为学生毕业后的工资水平与全国平均工作的差 值与学生投资的之比 S 学生受益指标表示： 21 22 )( xx PP S − ⋅− = τϕ 注： 2P 学生毕业后平均工资 2P 全国平均工资,τ 表示不同专业培养系数。 目标四：对社会的贡献最大 学生接受高等教育也是国家的一种长远投资，学生作为未来建设的主力 军，将会为国家做出巨大贡献。一个学生为社会做出贡献可以通过其在校教育质 量定量来衡量： G 对社会贡献表示为： υMKG '= 注： 'K 定值表示单位教育质量的潜能实现率 υ社会贡献率 M 教育质量 6.2 确定约束条件 约束一：根据责任分担原理，对于学生的培养，应该有政府、家庭、社会共同承 担责任。家庭作为其中重要的重要的一环，也应承担一部分责任。我国规定，一 般而言，家庭承担费用不得高于生均培养费用的 25%.设家庭承担费用所占得百 分比为 1C ，则 1 1 C f x ≤ 注： 25.01 =C 约束二：学校的收费必须在家庭承受范围内，则 2 21 C U xx ≤ − 注：U 我国家庭的平均收入 2C 为一设定的值，可以根据需要调整 约束三：由于国家财力资源的限制，投资到教育的资金有限。根据我国国民的承 受能力必须对收费标准进行限制。收费占我国人均 GDP 比值小于一定值 3 3 1 C P x ≤ 注： 3P 为我国人均 GDP, 3C 根据国际惯例一般取 0.2 约束四：助学金是为了确保贫困学子顺利完成学业，为了鼓励品学兼优的学生， 培养优质人才，学校发放学生奖学金。为了培养更多优质人才，同时考虑学校财 力物力限制，需要对奖助学金与收费的比例进行调控。 4 1 2 C x x ≤ 注： 4C 为了设定值 6.3 综合上所述，建立学费模型 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ⋅− = − ⋅− = ⋅ +++ = υ τϕ θ τ ϕψ MKG xx PP S xx P D l ffxx M ' 21 22 21 1 3221 max )( max )1( max max ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ − ≤ 4 1 2 4 3 1 2 21 1 1 . C x x C P x C U xx C f x ts 6.4 模型求解 将各个学校各个专业所对应的区域系数ψ，学校重点系数φ，贡献率 v，专业培养 系数τ，带入模型求得各类学校专业的学费为： 表 7：东部地区学费 东部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 3850.25 2000.88 2021.36 4021.23 6890.23 普通本科 3632.85 1983.23 1999.36 3800.36 6503.45 专科 3404.65 1600.36 1654.25 3450.63 6050.86 表 8：中部地区学费 中部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 3600.65 1990.85 1800.23 3762.23 6406.32 普通本科 3300.65 1700.62 1650.55 3300.269 6200.45 专科 2998.98 1402.36 1300.82 2998.56 5942.56 表 9：西部地区学费 西部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 2000.25 1000.52 1020.65 2655.23 4230.65 普通本科 1700.24 850.26 900.36 2026.25 3846.02 专科 1400.21 456.69 626.36 1602.32 3054.85 6.5 结果分析 6.5.1 结果比较分析 在东部地区由于经济发达，教学资源成本投入较高因此普遍比中西部地区学费要 高。而对于重点本科由于其学生毕业后的收益率和对社会的贡献率要大于普通本 科和专科，所以平均学费相对较高。专科与本科差别不大的原因是受到国家的财 政拨款较少，所以有一部分费用被分摊到了学生身上。对于不同专业类型由于冷 热程度不同导致理工文史类普遍高于师范、农业和医科类。但是艺术专业较为特 殊，由于其投入成本很大所以学费位于所有类别的专业之首。 6.5.1 实例比较分析 以下实例均是在相应大学招生网站上查询得到。 北京师范大学的所有专业费用都要高出我们计算所得费用，其中艺术类高出了 118%，师范专业高出了 160%。由于该学校以师范为特色且该专业在全国排名靠 前，师范专业学费偏高可以理解。 中南财大属于中部重点本科，理工文史类别高出我们计算值 86%，艺术类高出 76% 中南财大的专科学费比我们计算所得值略微高出 10% 三峡大学属于中部地区普通本科的综合性大学，其理工文史高于计算值 45%，医 科高出 21%，艺术类高出 31% 塔里木大学是西部地区的普通本科，理工文史高出计算值 23%，农业高出 122% 综上实例分析可得目前全国各高校各专业所收学费均比应该收取的费用要高 35%，而且部分专业大大超过了应收取的额度。 北京师范 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 5000 5200 无该类别 5400 15000 中南财大 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 5000 无该类别 无该类别 无该类别 15000 专科 3750 无该类别 无该类别 无该类别 7500 三峡大学 理工文史 师范 农业 医科 艺术 普通本科 4800 无该类别 无该类别 4000 10000 塔里木大学 理工文史 师范 农业 医科 艺术 普通本科 3500 无该类别 2000 无该类别 无该类别 7777补助模型的建立补助模型的建立补助模型的建立补助模型的建立 在前面我们建立了家庭承受力模型和学费模型。当某个学校的某个专业的学费一 旦确定后，该学费值可能在某个家庭承受力范围以外。因此，为了能让更多家庭 的学生享受到高等教育，我们就必须建立一个补助模型来帮助那些经济条件不足 的学生去完成学业。因此在前两个模型的基础上建立起补助模型。 7.1 模型的建立 7.1.1 学费承受能力系数 c i (i=1,2)的确定 设城镇、农村的恩格尔系数分别为 1θ ， 2θ ；城镇、农村家庭总人数与高等教育人 数比分别为 1η ， 2η ；城镇家庭每年纯净收入为 1s ，人均支出 1t ；农村家庭每年纯 收入为 2s ，人均支出 2t 。 1f 为人均学费。则除了基本开支，每个家庭的人均基本 生活费用为： )1( 111 θ−⋅= tq 除基本生活费用外，家庭可支出费用为 111 )( η⋅− qs 则得 ci 城镇承受能力 1 111 1 )( f qs c η⋅− = 农村能力 1 222 2 )( f qs c η⋅− = 7.1.2 学费 x 1 的确定 根据学费模型只要根据所选院校的所在地区，院校重点类型，专业类型即可 确定所需缴纳的学费 x 1 7.1.3 补助金额 B的确定 若家庭承受能力大于 1 则不需补助，如果小于 1则缺口的部分由学校或社会 来补助。 0 1) = (1 1) i i i c B c x c ≥⎧⎪ ⎨ − <⎪⎩ （ ）（ 1 7.1.4 综上建立补助模型 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ⋅− ≥ = )( ( ( )( 1c)x f η)qs -1 1c0 B i1 1 iii i 注：i=1,2 7.2 模型的求解 7.2.1 算法流程图 所 在 地 区 院校重点类型 专 业 类 型 承 受 能 力 系 数 c i 应 缴 纳 的 学 费 x1 是否大于等于 1 B=0 是 B=（ （ 1-c i ） ηi/f1)x1 否 城 镇 家 庭 农 村 家 庭 7.2.2 所求结果 (1)对于城镇家庭来说，由于学费模型的结果中所有的学费都在 8500 以内，根据 家庭承受力模型的结果，城镇家庭均不需要得到补助。 (2)对于农村家庭的补助如下表： 表 10：东部地区农村家庭补助 东部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 531.24 200.57 201.25 432.56 2523.24 普通本科 402.56 145.24 152.54 400.25 2432.42 专科 280.23 120.85 130.23 272.35 2201.32 表 11：中部地区农村家庭补助 中部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 450.45 180.55 188.23 412.25 2454.32 普通本科 384.41 132.36 140.54 385.23 2213.21 专科 280.98 0 0 272.25 1999.24 表 12：西部地区农村家庭补助 西部地区 理工文史 师范 农业 医科 艺术 重点本科 250.14 0 0 120.12 1024.24 普通本科 100.52 0 0 80.2 998.25 专科 50.24 0 0 0 802.35 7.3 结果分析 (1)按照学费模型计算出的各学校专业的学费，对于所有城镇家庭都在承受范围 以内，国家和社会不用对这些家庭进行补助，进而更多的补助金可以用于农村家庭。 (2)对于农村家庭的补助，不同地区不同专业的补助也有所不同，这样将补助工 作细化使得补助更加合理，而不是对所有学校都采取统一标准进行盲目补助。 8888 关于高等教育学费标准的报告关于高等教育学费标准的报告关于高等教育学费标准的报告关于高等教育学费标准的报告 通过进行模型的合理建立和求解，我们得到了在学校所处地区、学生选择的 学校、学生选择的专业不同的情况下，使得培养质量最高、学生就读指标最大、 学生受益最大和对社会贡献最大这四个目标成立的最优学费标准。并对其进行了 分析，与现行的学费标准进行比对。我们提出以下建议，仅供参考。 (1)从家庭承受力模型的结果(表 6)可以看出：学费在 8500 元以内城镇家庭 可以承受，但对于农村家庭来说学费超过 3500 元便不能承受。如今全国平均学 费 5538，考虑到农村承受力，应该将学费下调到 4000 元左右。高出农村承受能 力的 500 多元可以由各种补助、贷款去填补。 (2)将学费模型的求解结果(表 7,8,9)与三峡大学等高等学校的各专业的实际 学费相比较，发现实际学费普遍偏高。因此对于不同学校的不同专业学费标准的 制定按照表 7,8,9的结果比较合理。 (3)由补助模型的结果(表 10,11,12)可以看出，不同地区、不同学校、不同专 业的补助是不相同的。但是补助量还是很大，国家可以加大财政拨款力度，使得 更多需要补助的家庭可以交得起学费。但是拨款也不是盲目的，可以按照表 10,11,12的方案分地域、分学校级别、分专业进行专项拨款。 (4)补助不仅仅局限于政府的助学金，对于银行贷款，社会捐助也是很好的 助学形式，政府应该提倡和重视这些使得平困学生受益的其他途径和方法。 9999 模型的评价、改进及推广模型的评价、改进及推广模型的评价、改进及推广模型的评价、改进及推广 9.1 模型的评价 优点: (1)从各方面考虑了影响学费制定标准的因素 (2)用灰色预测对未知的数据进行预测，体现出了处理问题的灵活性 (3)模型的结果十分清晰，能直接求出具体地区具体学校具体专业的学费 缺点：(1)收集的数据不够多，运用预测得到的数据与实际值会有误差 (2)在确定各方面对学费影响的权重时存在主观因素 9.2 模型的改进 (1)由于在确定各方面对学费影响的权重时存在主观因素，因此为了消除该主观 因素的影响我们可以利用商权值法。 (2)在对区域的划分时可以具体到每一个省份，而且在同一等级的学校中会存在 一个排名，该排名对学费也会产生一定影响。 9.3 模型的推广 该模型运用了灰色预测，多目标最优化等知识，可以用来解决各种类型的定价问 题和评估问题，如商品价格的制定，商品受欢迎程度的评估等等。 参考文献参考文献参考文献参考文献 [1]中国国家统计局 http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/ [2]中国知网统计年鉴数据库 http://tongji.cnki.net/index.aspx [3]《数学建模导论》 陈理荣 主编 北京邮电大学出版社 1999 年版 [4]中国教育经费统计年鉴 http://tongji.cnki.net/navi/result.aspx? [5]《数学建模简明教材》 张兴永编著 中国矿业大学出版社 附录附录附录附录 年份 项目 2007 2008 2009 2010 2011 普通高校生均学费 3550 3895 4224 4419 4785 人均 GDP 7086 7651 8214 9111 10561 年份 城镇居民家庭 人均可支配收 入 农村居民家庭 人均纯收入 城镇居民家庭 恩 格 尔 系 数 (%) 农村居民家庭 恩 格 尔 系 数 (%) 2007 7702.8 2475.6 37.7 46.2 2008 8472.2 2622.2 37.1 45.6 2009 9421.6 2936.4 37.7 47.2 2010 10493 3254.9 36.7 45.5 2011 11759.5 3587 35.8 43 %x =A； gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测 GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1 维数减 1，用于计算 B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a 的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+',leftbra,num2str(ua),ri ghtbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20 Aval = au2(1); Bval = au2(2); %Aval,Bval %输出预测的 A,B 的值 strcat(x1t1,'=',num2str(Aval),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+',leftbra,num2str(Bval),right bra) %输出时间响应方程 nfinal = sizexd2-1 + 1; %决定预测的步骤数 5 这个步骤可以通过函数传入 %nfinal = sizexd2 - 1 + 1; %预测的步骤数 1 for k3=1:nfinal x3fcast(k3) = constant1*exp(afor1*k3)+ua; end %x3fcast %一次拟合累加值 for k31=nfinal:-1:0 if k31>1 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x3fcast(k31-1); else if k31>0 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x(1); else x31fcast(k31+1) = x(1); end end end x31fcast %一次拟合预测值 for k4=1:nfinal x4fcast(k4) = Aval*exp(afor1*k4)+Bval; end %x4fcast for k41=nfinal:-1:0 if k41>1 x41fcast(k41+1) = x4fcast(k41)-x4fcast(k41-1); else if k41>0 x41fcast(k41+1) = x4fcast(k41)-x(1); else x41fcast(k41+1) = x(1); end end end x41fcast,x %二次拟合预测值 %***精度检验 p C************////////////////////////////////// k5 = 0; for y5 = x k5 = k5 + 1; if k5 > sizexd2 else err1(k5) = x(k5) - x41fcast(k5); end end %err1 %绝对误差 xavg = mean(x); %xavg %x平均值 err1avg = mean(err1); %err1avg %err1平均值 k5 = 0; s1total = 0 ; for y5 = x k5 = k5 + 1; if k5 > sizexd2 else s1total = s1total + (x(k5) - xavg)^2; end end s1suqare = s1total ./ sizexd2; s1sqrt = sqrt(s1suqare); %s1suqare,s1sqrt %s1suqare 残差数列 x 的方差 s1sqrt 为 x 方差的平方根 S1 k5 = 0; s2total = 0 ; for y5 = x k5 = k5 + 1; if k5 > sizexd2 else s2total = s2total + (err1(k5) - err1avg)^2; end end s2suqare = s2total ./ sizexd2; %s2suqare 残差数列 err1的方差 S2 Cval = sqrt(s2suqare ./ s1suqare); Cval %nnn = 0.6745 * s1sqrt %Cval C检验值 k5 = 0; pnum = 0 ; for y5 = x k5 = k5 + 1; if abs( err1(k5) - err1avg ) < 0.6745 * s1sqrt pnum = pnum + 1; %ppp = abs( err1(k5) - err1avg ) else end end pval = pnum ./ sizexd2; pval %p检验值 %arr1 = x41fcast(1:6) %% y=[1.2 1 0.8]; %重点系数 v=[1 1.5 1.8 1.2 1]; %贡献率 t0=[1 0.8 0.8 1.6 1.8];%培养系数 thda=0.42; %平均恩格尔系数 p1=5000; %我国居民年均收入 l=[6000 3000 5000 8000 10000];%专业成本 X1=zeros(3,5); %记录不同学校不同专业的最佳学费 X2=zeros(3,5); %记录不同学校不同专业的最佳国助资金 for i=1:3 for j=1:5 z=0; for n=1:999999 x1=abs(rand())*5500; x2=abs(rand())*3500; m=y(i)*(x1+x2+5000+2500)/(l(j)*t0(j)); d=(1-thda)*p1/(x1-x2); s=(3000-2500)*t0(j)*y(i)/(x1-x2); g=0.6*m*v(j); result=0.25*(m+d+s+g); if result>z && x1>x2 z=result; X1(i,j)=x1; X2(i,j)=x2; else continue; end end end end 高等教育学费标准的研究 摘要 1问题重述 2模型假设和符号说明 3问题分析 4数据的收集与处理 5家庭承受力模型的建立 6学费模型的建立 7补助模型的建立 8关于高等教育学费标准的报告 9模型的评价、改进及推广 参考文献 附录