重积分的应用

目 录 目 录 摘 要...............................………………………………………………………….……2 关键词................................………………………………………………………………2 Abstract…………………………………………………………………………..…..…2 Keywords………………………………………………………………………………2 前 言………………………..………………………………………………….………2 1．预备知识………………………………………..…………………………….……2 2．重积分的应用…………… ……………………….……………..…….…….……3 2.1求空间曲面的面积………………………………………………………….……..3 2.2求空间物体的重心…………………………………………………………...……4 2.3求空间物体的转动惯量………………………………….…………..........………5 2.4求空间立体对质点的引力……………….………………………………….…….5 2.5求空间立体的体积………………………………………………...………………6 2.6求空间物体的质量……………..……………………………………………….…7 参考文献…………………………………………..……………………………..……..8 重积分的应用 摘 要：我们认识了重积分,本文主要讨论重积分的应用. 关键词：重积分；应用；重心；转动惯量 The Application of Multiple Integral Abstract：After we are familiar with multiple integral, this paper mainly discuss the application of multiple integral. Key Words：multiple integral；application；barycenter；rotary intertia. 前言 本文讲重积分的应用,主要讲用来求在几何,力学方面上有应用,以及求空间立体的体积,空间物体的质量. 1.预备知识 定义1[ 1] 设 是定义在可求面积的有界区域 上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数 ,总存在某个正数 ,使对于 上任何分割 ,当它的细度 时,属于 的所有积分和都有 则称 在 上可积,数 称为函数 在 上的二重积分,记作 其中 称为二重积分的被积函数, , 称为积分变量, 为积分区域. 定义2[2] 设 为定义在三维空间可求体积的有界区域 上的函数, 是一个 确定的数.若对任给的正数 ,总存在某个正数 ,使得对于 的任何分割 ,只要 ,属于分割 的所有积分和都有 则称 在 上可积,数 称为函数 在 上的三重积分,记作 或 其中 称为被积函数, , , 称为积分变量, 为积分区域. 2.重积分的应用 2.1 求曲面的面积 设 为可求面积的平面有界区域,函数 在 上具有连续的一阶偏导数,讨论由方程 所确定的曲面 的面积. 我们按照曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式. 首先计算 的面积.由于切平面 的法向量就是曲面 在点 处的法向量,记它与 轴的夹角为 ,则 因为 在 平面上的投影为 ,所以 其次,由于和数 是连续函数 在有界闭区域 上的积分和.于是当 时,就得到 (1) 例1 求圆锥 在圆柱体 内那一部分面积 解 据曲面面积公式(1), 其中 是 .所求曲面的面积为 因此 所以 2.2 求物体的重心 密度设 是密度函数为 的空间物体, 在 上连续.为求得 的重心坐标公式,先对 作分割 ,在属于分割 的每一小块 上任取一点 ,于是小块 的质量可以 近似代替.若把每一小块看作质量集中在 的质点时,整个物体就可用这 个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为 当 时我们很自然地把 的极限 的定义为 的重心坐标公式,即 当物体 的密度均匀即 为常数时,则有 例2 求密度均匀的上半椭圆的重心. 解 设椭球体有不等式 表示.由对称性知 又由 为常数，所以 2.3 求空间物体转动惯量 设 为空间物体 的密度分布函数,它在 上连续.对 作分割 ,在属于 的每一个小块 上任取一点 于是 的质量可以用 近似代替.当以质点系 近似代替 时,质点系对于 轴的转动惯量则是 当 时上述积分和的极限就是物体 对于 轴的转动惯量 例3 求密度均匀的圆环 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量 解 设圆环 为 密度为 ，则 中任一点 与转轴的距离的平方为 于是转动惯量 其中 为圆环的质量 2.4 求空间立体对质点的引力 设 的坐标为 中点的坐标用 表示.我们使用微元法求 对 的引力. 中质量微元 对 的引力在坐标轴上的投影为 , 其中 为引力系数, 其中 到 的距离.于是力 在三个坐标轴上的投影分别为 所以 例4 设球体 具有均匀的密度 ,求 对球外一点 的(质量为1)的引力(引力系数为 ). 解 设球体为 球外一点 的坐标为 显然有 现在计算 由上述公式, 其中 用柱坐标计算: 2.5求空间立体的体积 例5 求椭球体 解 由对称性，椭球的体积 是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以 为曲顶， 为底的曲顶柱体，所以 应用广义极坐标，由于 ，因此 . 当 时，得到球的体积为 . 2.6求空间物体的质量 例6 设球体 上各点的密度等于该点到坐标的距离，求这一球体的质量 解 根据题意所求球体的质量 利用球坐标变换.这里 于是 参考文献: [1] 数学分析下册[M].华东师范大学:高等出版社,2001. [2 ] 数学分析下册[M].华东师范大学:高等出版社,2001. [3] 黄玉民,李成章.数学分析下册[M].南开大学:科学出版社,2000. [4]  常庚哲,史济怀.数学分析教程[M].江苏教育出版社: 2001. [5] 洪毅.数学分析[M].华南理工大学出版社,2002. [6] 郑营元,用国栋.数学分析[M].华南师范大学出版社,2002