自控原理要点与技巧-离散控制系统

自控原理要点与技巧-离散控制系统 1，​ 用ADC-CPU-DAC作为控制器构成控制系统就是一个离散控制系统，亦称采样控制系统 本章要在离散控制系统上重新建立本课前6章的全部理论 包括 采样与恢复、Z变换、C(Z)与Z传函、离散系统的 2，​ ADC-CPU-DAC控制器特点： 21，CPU每隔固定时间T进行一次ADC->X*->程序->Y*->DAC操作 T称为采样周期或控制周期，不可忽略为零 22，ADC输入端为模拟信号X(t)，输出端为数字信号X’(kT) 理论上假定X’(kT) = 启动ADC转换瞬时的X值，与其他时间的X无关 23，DAC输入端为数字信号Y’(kT)，输出端为模拟信号Y(t) Y(t)只在启动DAC瞬间t=kT处变化，平时保持不变 24，X’(kT)->Y’(kT)只受CPU程序控制，与模拟器件无关，灵活易修改，保证重现性 25，实际上同时发生时间离散和幅值离散。幅值离散亦称量化误差，本课不讨论。 但在CPU程序时必须注意，否则引发意外问题 3，​ 按23的Y’(kT)->Y(t)，平时不变，理论上叫零阶保持器 若平时按斜线变化，理论上叫一阶保持器，用普通DAC无法实现，工程上只用零阶保持器 4，零阶保持器本身的时域图形为两个单位阶跃函数相减 1(t)-1(t-T) 对应的拉氏变换为 (1-e -TS)/S，大概有0.5T的纯迟后 5，​ 为此理论上要求零阶保持器的输入必须是脉冲函数，即Y’(kT)* δ，简记为Y* 6，​ X’(kT) = X(kT)，X* = X’(kT)* δ = X(t)*δT(t) 采样与恢复 1，​ 采样的最低要求是不失真，即能从X*= X(t)*δT(t)中算出X(t)，称为恢复，使用频谱理论 采样丢失问题：若X(t)在kT时刻 = 0，则X(t)的采样X(kT)=0，丢失X(t)在非kT时刻的值 2，​ 将函数X(t)展开成富氏级数，富氏级数的各项系数记为X(kω) 按X(kω)设置各正弦信号，再叠加即得X(t)，因此要分析X*与X(t) 的频谱是否一致 X(t)的频谱记为 X(ω)，X*的频谱记为 X*(ω) 3，​ 将δT(t)写成富氏级数形式，得δT(t) = Σexp(jkωst)/T，ωS = 2π/T 4，​ 则X* = X(t) *δT(t) =ΣX(t)*exp(jkωst)/T 取拉氏变换得L[X*] = ΣX(S-jkωs)/T 即X*的频谱=ΣX(jω-jkωs)/T = ΣX(j(ω-kωs))/T = {X(ω) + X(ω+ωs)+ X(ω-ωs)+ X(ω+2ωs)…}/T 5，​ 如果X(t)中的最高频率为ωmax，则X(ω) 和 X(ω+ωs)在频域不相遇的条件为 ωmax < ωs-ωmax，即 ωs>2ωmax，为香农条件，或香农采样定理 6，​ 满足ωs>2ωmax，理论上可以用理想低通滤波器滤除X(ω+ωs)、X(ω-ωs)等，完全恢复X(t) 工程上2ωmax不确知，常用 ~10*ωc代替 Z变换，与T有关 1，​ X*的拉氏变换：L[X*] = L[X(t)*δT(t)] = ΣX(kT)e – kTS，令z = e TS 得X(t)的Z变换定义：Z[X(t)] = Z[X(kT)] = Z[X*] = ΣX(kT)z - k 2，​ Z变换求法有定义法、查法；Z反变换先分解为部分分式，再用查表法，还有长除法 3，​ 常用定理，X(z) = Z[x(t)] Z[x(t-nT)] = z - nX(z) Z[x(t+nT)] = znX(z) – (znx(0)+zn-1x(T)+..+zx((n-1)T)) Z[xeat] = X(ze - aT) x(0) = X(∞) x(∞) = (z-1)X(0) C(z)与Z传函，数学模型 1，​ 差分方程 y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)+++ = b0x(k)+b1x(k-1)+++，有递推解法和Z变换解法 2，​ C(z)与脉冲传函G(z) 有结构图和r(t)，就可以求出c(k) 和C(z)，若能写出R(z)，就能求出 G(z) 需特别注意r(t)、G1(S)、G2(S)之间有无有采样开关，可能有C(z)无G(z)！！ 离散系统分析 1，​ 极点与映射 z = eTS = eσT∠ωT = |z|∠ωT |z|：>1,S在右，不稳； =1，S在虚轴，等幅振荡； <1，S在左，稳定 正实数，无振荡；有虚数，有振荡； 负实数，振频最高，每T变号 2，​ 稳定条件：|z|<1，与T有关 3，​ 双线性变换： z = (w+1)/(w-1)，w = (z+1)/(z-1)，将z式换为w式，用劳斯表判稳 4，​ 稳态误差：e(∞) = (z-1)R(z)/(1+G(z)), z->1