2_4连续型随机变量

nullnull引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与 该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X示弹着点与圆心 的距离，求X的分布.解: 若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是若0≤x<2，由意得若x≥2，则有所以，§2.3 连续型随机变量下页null易证，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中 引例中随机变量X具有下列特点： (1) X可在某个区间内连续取值， (2) X的分布函数可用非负函数的积分来表示. 具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与 该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.下页null§2.3 连续型随机变量一、定义： 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积 函数f(x)，使得则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为 概率密度或密度函数或密度.二、性质： (1) f(x)≥0下页曲线下x轴上所围面积为1注：若某函数满足这两条则一定可作为某连续性随机变量的概率密度函数null二、性质：(4) 在f(x)的连续点处有：(5) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.由性质(5)可得§2.3 连续型随机变量下页null例1.设随机变量X的密度函数为求 (1)常数A;(3)分布函数F(x).解: (1)由于f(x)是一个密度函数,解得 A=2/3注:(1)若概率密度中含有待定常 数，可由 确定. (2)Ｘ取值于某区间的概率等 于其密度函数在对应区间的积分.§2.3 连续型随机变量下页null例1.设随机变量X的密度函数为求 (1)常数A；(3)分布函数F(x).当0≤x＜1时，当1≤x＜2时，当x≥2时,说明：注意分布函数的自变量取值范围的划分.下页当x<0时,null例2.设连续型随机变量的分布函数为 求：(1)X的密度函数f(x)； (2)P{10是常数，则称X服从参数为λ的指数分布, X～E(λ).分布函数为 指数分布常用来作各种“寿命”的分布，如电子元件的寿 命、动物的寿命等；某一事件发生的等待时间，如电话的通 话时间等都常假定服从指数分布．若随机变量X的密度函数为下页三 、常见连续型随机变量的分布null例4 设随机变量X表示一种电灯泡的使用寿命，其分布密度求电灯泡使用超过100小时的概率。解:方法１:设Ｘ表示灯泡的寿命，则Ｘ服从λ＝1/100的指数分布方法２：下页(三)正态分布(三)正态分布1. 定义 若X的概率密度为分布函数其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布,记作 X～ N (μ,σ2)下页2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质 2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质 (1) 曲线关于x =μ对称.即 P{μ-h＜ X ≤μ } = P{μ＜X≤μ+h}(2) 当 x =μ时，函数f(x)达到最大值下页 x 离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间， X 落在离μ越远的区间，概率越小。 (3) 拐点 (μ±σ，f(μ±σ)); 　　水平渐近线：ox轴. (3) 拐点 (μ±σ，f(μ±σ)); 　　水平渐近线：ox轴. (4) 固定σ，改变μ值，曲线 f(x)形状不变，仅沿 x 轴平移. 可见μ确定曲线 f(x)的位置. (5) 固定μ，改变σ值，则σ愈小时， f(x)图形的形状愈陡峭，X 落在μ附近的 概率越大.下页3.

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正态分布 X~N（0，1）3. 标准正态分布 X~N（0，1）当μ= 0，σ=1时(标准正态分布)标准正态分布的特点下页4. 查标准正态分布函数表计算概率 4. 查标准正态分布函数表计算概率 4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54} }=1－0.8764 =0.1236例5 设X～N（0，1）1）P{X≤2.35} =Φ（2.35）= 0.99062）P{-1.64 ≤X＜0 .82} = Φ（0.82）- Φ（-1.64) = Φ（0.82）- [1-Φ(1.64)] = 0.74343) P{|X| ≤1.54}= Φ（1.54）- Φ（-1.54) =2 Φ（1.54）-1= 0.8764下页5. 正态分布函数的查表计算5. 正态分布函数的查表计算下页1）正态分布的标准化2） X～ N（μ,σ2）null解：(1) P{X＞-2}=1 - P{X≤-2} = 1-F(-2) =0.9332=1－φ(-1.5)= φ(1.5)=0.9938 - 0.9332= 0.0606=1- [φ(1.5) - φ(- 2.5) ]= 2-φ(2.5) -φ(1.5) (3) P{|X|＞4} = 1-P {|X|≤4} = 1 - P {- 4≤X≤4}(2)=0.9772－0.6915=0.2857下页例6. 设X ~ N (1，4)，求： (1) P{X＞-2}；(2) P{2＜X＜5}；(3) P{|X|＞4}. 例7 （“三σ”准则）设X ~ N (μ,σ2)， 求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}，P{|X―μ|＜3σ} 例7 （“三σ”准则）设X ~ N (μ,σ2)， 求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}，P{|X―μ|＜3σ}解 P{|X―μ|＜σ}= P{μ―σ＜X＜μ+σ} = = 下页 例8 设X～N（25，36），试求满足 P{|X-25|≤c}= 0.9544的常数 c 例8 设X～N（25，36），试求满足 P{|X-25|≤c}= 0.9544的常数 c 解 ∵ P {|X-25|≤c}= ∴ C=12下页null例9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下 来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求P{X≥ h}≤0.01或 P{X< h}≥ 0.99下面我们来求满足上式的最小的 h.因为X～N(170,62),查表得 (2.33)=0.9901>0.99,即 h=170+13.98 = 184下页即车门设计的高度要在184厘米以上。null解:(1)所求概率为=1-0.84=0.16 (2)设一周内迟到次数为Y，离散型随机变量Y~B(5,0.16), 所求概率为 例10.某人上班所需的时间（单位:分）X～N(50,100),已知上班时 间为早晨8时，他每天7时出门，试求： （1）某天迟到的概率； （2）某周(以5天计)最多迟到一次的概率.下页P{X>60}=1-P{X≤60}=1-F(60)P{Y≤1}null例11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分）服从参数λ＝1/5的指数分布。等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去，若其一个月到银行5次，以Y表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.解： p=P{X>10}=1- P{X≤10}=1-F(10) 所以Y的分布律为 下页作业： 53页 15 , 16 , 17，18， 19，20，21，23，24，25 作业： 53页 15 , 16 , 17，18， 19，20，21，23，24，25 结束