高二数学椭圆的离心率

高二数学椭圆的离心率(1) 1.已知椭圆 的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，则C的离心率e=　_________　． 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为 （a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2= ，则椭圆C的离心率为　_________　． 3.椭圆 为定值，且 的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　_________　． 4.在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　_________　． 5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为　_________　． 6.设F1，F2是椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为　_________　． 7.已知F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则 的取值范围是　_________　． 8.椭圆 （a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为　_________　． 椭圆的离心率（2） 1.已知椭圆 内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为　_________　． 2.椭圆 ，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是　_________　． 3.设A为椭圆 （a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=　_________　；（2）若θ∈[ ， ]，则该椭圆离心率的取值范围为　_________　． 4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是 　_________　． 5.已知A，B，P为椭圆 + =1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA?kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为　_________　． 6.已知椭圆的方程为 ，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于　_________　． 7.已知椭圆 的上焦点为F，左、右顶点分别为B1，B2，下顶点为A，直线AB2与直线B1F交于点P，若 ，则椭圆的离心率为　_________　． 8．如图，P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，且 ， 则点P到该椭圆左准线的距离为　_________　． 高二数学椭圆的离心率 参考答案与试题解析 一．填空题（共16小题） 1．（2013?辽宁）已知椭圆 的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，则C的离心率e=　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|= |AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF' ∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6 ∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ， ∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF， 可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|× ，解之得|BF|=8 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7 ∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2 ∴∠AFB=90°，可得|OF|= |AB|=5，即c=5 因此，椭圆C的离心率e= = 故答案为： 点评： 本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．     2．（2013?江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 （a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2= ，则椭圆C的离心率为　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据“d2= ”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1= ，从而得到a与b的关系，可求得 ，从而求出离心率． 解答： 解：如图，准线l：x= ，d2= ， 由面积法得：d1= ， 若d2= ，则 ，整理得 a2﹣ab﹣ =0， 两边同除以a2，得 +（ ）﹣ =0，解得 ． ∴e= = ． 故答案为： ． 点评： 本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法．     3．（2012?四川）椭圆 为定值，且 的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点E．如图： 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号； ∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB的周长的最大值是4a=12?a=3； ∴e= = = ． 故答案： ． 点评： 本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．     4．（2010?资阳三模）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　 　． 考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用．3338114 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设AB=BC=1， 则 ，由此可知 ，从而求出该椭圆的离心率． 解答： 解：设AB=BC=1， 则 ， ∴ ， ． 答案： ． 点评： 本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确选取．     5．（2007?福建）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 压轴题． 分析： 由已知c=2， =3?b2=3a?a2﹣4=3a?a=4，由此可以求出该椭圆的离心率． 解答： 解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点， ∴c=2， =3， ∴b2=3a， ∴a2﹣4=3a ∴a=4， ∴e= ． 故答案： ． 点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．     6．（2013?浙江模拟）设F1，F2是椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 计算题． 分析： 由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值． 解答： 解：∵F1，F2是椭圆C + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图： ∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a② ①+②得：x+4+3﹣x+5=4a， ∴a=3，x=2． 在Rt△F1F2A中， = + ， ∴4c2=4+16=20， ∴c= ． ∴椭圆的离心率为e= ． 故答案为： ． 点评： 本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．     7．（2013?盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则 的取值范围是　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c= ， 时，即 取得最大值，即可得出． 解答： 解：∵椭圆 ，∴a= ，b=2=c． 设k= = ， 则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0； 当|PF2|=a+c= ， 时，即 时，k= 取得最大值． ∴k的取值范围是 ． 故答案为 ． 点评： 熟练掌握椭圆的性质：当|PF2|=a+c= ， 时，则 取得最大值是解题的关键．     8．（2013?盐城二模）椭圆 （a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为　 　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点E．如图： 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号； ∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB的周长的最大值是4a； 此时，△FAB的面积为 ×2c× =ab， ∴a2=2bc，平方得， a4=4（a2﹣c2）c2 即4e4﹣4e2+1=0 ∴e= ． 故答案为： ． 点评： 本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．     9．（2013?松江区二模）已知椭圆 内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为　15　． 考点： 椭圆的简单性质．3338114 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|= 10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案． 解答： 解：∵椭圆方程为 ， ∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0） 连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'| 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|） ∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'| ∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+ =10+5=15 当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立 综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15 故答案为：15 点评： 本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．