集合简易逻辑

莲山http://www.5ykj.com/ 第一部分 知识与能力 专题一　集合、简易逻辑、函数与导数 第一讲　集合、简易逻辑 一、选择题 1．(2010·课标全国)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2} 解析：由已知A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}＝ {x|0≤x≤16，x∈Z}，则A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}，故选D. ：D 2．下列命题中的假命题是 (　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，故B命题是假命题． 答案：B 3．(2010·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实 数a、b必满足 (　　) A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3 解析：A＝{x||x－a|<1，x∈R}＝{c|a－12，x∈R}＝{x|x>2＋b 或xg(x)有解的 充要条件是 (　　) A．∃x∈R，f(x)>g(x) B．有无穷多个x(x∈R)，使得f(x)>g(x) C．∀x∈R，f(x)>g(x) D．{x∈R|f (x)≤g(x)}＝∅ 解析：f(x)>g(x)有解⇔∃x0∈R，使f(x0)>g(x0)成立，故选A. 答案：A 二、填空题 6．(2010·浙江改编)设01. 故充分性不成立． 答案：必要不充分 7．(2010·重庆)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}， ∴A＝{0,3}，即方程x2＋mx＝0的两根为0和3，∴m＝－3. 答案：－3 8．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无 实根，则使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围是________． 解析：令f(x)＝x2＋2mx＋1.则由f(0)>0，且－>0， 且Δ>0，求得m<－1，∴p：m∈(－∞，－1)．q：Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0⇒－20，∴－2x<0，∴y<0， ∴B＝{y|y<0}． ∴A－B＝{y|y≥0}，B－A＝， ∴A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝∪[0，＋∞)． 11．已知c>0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果“p 或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围． 解：由c>0，p：函数y＝cx在R上递减，则01，即c>. 由“p或q”为真，且 “p且q”为假， 得“p真q假”或“p假q真”． 若p真q假，则c∈(0,1)∩，即c∈； 若p假q真，则c∈[1，＋∞)∩， 即c∈[1，＋∞)．因此所求c的范围是∪[1，＋∞)． 12．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝. (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B. 解：A＝{y|ya2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}． (1)当A∩B＝∅时， ∴≤a≤2或a≤－. (2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0， 依题意Δ＝a2－4≤0， ∴－2≤a≤2. ∴a的最小值为－2. 当a＝－2时，A＝{y|y<－2或y>5.} ∴∁RA＝{y|－2≤y≤5}． ∴(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．