华罗庚不等式的上界与下界的研究

第46卷第3期 2007年5月 厦门大学学报(自然科学版) JournalofXiamenUniversity(NaturalScience) V01．46No．3 May2007 华罗庚不等式的上界与下界的研究 杨忠鹏 (莆田学院数学系，福建莆田351100) 摘要：在多复变分析的研究中，华罗庚发现并证明了行列式不等式 det(I—AA“)det(I--BBH)≤；Idet(I--AB”)I2， 其中，2×行复矩阵A，B满足J—AA”，卜一BB“都是Hermitian正定矩阵．本文从一个矩阵恒等式的应用出发，给出了较 为精细的华罗庚不等式的新的上界和下界： det(卜一AA“)det(I--BBH)+Idet(A--B)I2+(2”一2)Idet(A--B)l[det(卜一AAH)det(1--BBH)]专≤ ldet(J—ABH)I2≤det(I+AA“)det(J+BBH)+(2“～一2什1+1)Idet(A+B)I2一 (2“一2)ldet(A+B)[(22‘”一”一2”)1det(A+B)I2+det(I+AAH)det(J+BBH)]专． 关键词：矩阵恒等式；Hermitian正定矩阵；行列式不等式；上界；下界 中图分类号：O151．21 文献标识码：A 文章编号：0438—0479(2007)03—0297—05 设C'I“为竹×，z复矩阵的集合，H+(咒)和Hj_(”) 分别为n×"Hermitian正定矩阵和半正定矩阵的集 合．AH为A∈D“的共轭转置，J为单位矩阵．当A— B∈H古(，1)时，称其满足矩阵不等式A≥B或B≤A． 在多复变分析的研究中，华罗庚发现了行列式不 等式 det(J—AAH)det(J—BBH)≤ |det(J—ABH)I2，A，B∈C以” (1) 其中j—AAH，卜一肋H都是Hermitian正定矩阵；在同 样的条件下，华罗庚证明了更一般的结论(见文献[1-1 定理1，也可见文献E2]定理3．8．2或文献[3]第6．1节 和问题6．4．13) +det(J—AAH)det(J—BBH)+Idet(A—B)I2≤ det(卜一ABH)l2 (2) 文献[4-]401页和文献[51488页给出了矩阵不等 式 (A+B)H(J+AAH)-1(A+B)≤ J+BHB，A，B∈C“” (3) 由式(3)和矩阵不等式性质得到行列式不等式 det(A+B)I2≤ det(J+AAH)det(J+BHB)，A，B∈9“(4) 比式(4)更精细的文献[3]定理6．16可看成是华罗庚 不等式的一个上界 收稿日期：2006—07一10 基金项目：福建省自然科学基金(Z0511051)，福建省教育厅科研基 金(JA03159)和莆田学院科研基金(2004Q002)资助 Email：yangzhongpeng@126．com det(卜一ABH)I2≤ det(J+AAH)det(j+BHB)一Idet(A+B)I2， A，B∈C“” (5) 华罗庚得到不等式(1)和(2)的重要依据是下述 矩阵恒等式(见文献[1]定理1的证明或文献[2]定理 3．8．2的证明)：当j—AAH，J—BBH∈H+(71)时 (J一舳H)(J—BBH)一1(J—ABH)H一 (j—AAH)=(A—B)× (I—BHB)_1(A—B)H (6) 我们首先从一个具有一般意义的矩阵恒等式出 发，不仅可统一得到矩阵不等式(3)和矩阵恒等式 (6)，而且应用更精细的Hermitian半正定矩阵和的行 列式不等式，给出了华罗庚不等式新的上界和下界． 1 一些引理 引理1 设A，B∈C，I“，如果J+AHB可逆，则J +BAH可逆且 (J+BAH)～一J—B(J十AHB)一1AH(7) 证明 从AHB与BAH有相同的特征值，可知J十 AHB与J+BAH也有相同的特征值，因此J+AHB与 卜卜BAH有相同的可逆性．这样恒等式(7)可从下面的 运算结果得到 (J+BAH)[J—B(I+AHB)-1AH]= (J+BAH)～B(J+AHB)(J+AHB-lAH=J． 引理2 设F，G，C，D∈C，I砌，如果J+FHG可逆， 则 (J+DHC)一(J+DHG)(J+FHG)一1(J+FHC)= 万方数据 · 298· 厦门大学学报(自然科学版) 2007正 (D—F)H(J+GFH)一(C—G)(8) 证明 从引理1知卜}．GFH是可逆的，注意到在 引理1的题设下，由式(7)可得到 B(J+AHB)一1AH—J一(J+BAH)一1 的简单事实，这样由式(7)可得 (J+DHC)一(J+DHG)(J+FHG)_1(J+FHC)一 J+DHC—DHG(J+FHG)一1FHC一 (J+FHG)～一(J+FHG)一1FHC— DHG(J+FHG)～一J+DHC— DH[J一(J+GFH)_]C一 [J—FH(J+GFH)-1G]一 rJ—FH(J+GFH)一1G]FHC— DHG[J—FH(J+GFH)一G]一 DH(J+GFH)．1C+FH(J+GFH)一G—FHC+ FH(J+GFH)_1[(J+GFH)一J]C]一DHG+ DH[(J+GFH)一J](J+GFH)～G— DH(J+GFH)一1C+FH(J+GFH)～G— FH(J+GFH)～C—DH(J+GFH)_。G= (DH—FH)(J+GFH)_。C一(DH— FH)(J+C涿H)一1G， 这就证明了式(8)． 文献[3]问题6．4．15利用可逆的四分块矩阵的性 质得到过矩阵恒等式(8)，由文献[6]知文献[3]的约 束条件比引理2要求的“J+FHG可逆”严格． 引理3 设A，B∈9均’，则 J+BBH=(A+B)(J+AHA)-1(A+B)H+ (J——／tBH)H(J+／气AH)一1(j——／tBH)(9) 如果J-一AAH，J—BBH∈H+(扎)，则矩阵恒等式(6) 成立． 证明 在式(8)中取F—G—AH，C—D一 一BH，即可得到式(9)．由引理1及其证明可知 J——AAH∈H+(以)乍号J——AHA∈H+(”)， det(J—AAH)一det(J—AHA)(10) 由式(io)和在式(8)中取F一一G—BH，C=一D= 一AH可得式(6)． 设A。为A∈C“”由第1，2，⋯，t行和列构成的第 t个顺序主子矩阵．由文献EB]定理3．2．3或文献 [101444页知 aetA(1+蓦羰川et踟+薯糌，+ (2”一2n)[-detAdetB]专≤det(A+B)(11) 当A，B∈Ho+(，2)且A。，B：∈H+(￡)，l≤t≤n一1时． 引理4(见文献[16]引理3)设A，B∈Hj_(扎)且 对某正整数k(≤n一1)有A。，B。∈H+(尼)，则 aet舢+壹t=l糕川et聪+塞箍，+ [2抖1—2(尼+1)][-detAdetB]+≤det(A+B) (12) 华罗庚得到行列式不等式(1)和(2)另一个主要 依据是(见文献[1]引理1)： detA+detB≤det(A+B)，A，B∈Ho+(咒) (13) 引理5 (见文献[16]引理4)设A，B∈Ho+(n)， 则 detA+detB+(2”一2)[-detAdetB]专≤ det(A+B) (14) 2 华罗庚行列式不等式的下界的改进 当J—AAH，卜一BBH∈H+(咒)时，总约定： P一(A—B)(I—BHB)．1(A—B)H， U—J—AAH。 Q=(A—B)(I—AHA)_1(A—B)H， V=I—BBH． 定理l 设A，B∈9“且I—AAH，I—BBH∈ H+(咒)，如果detP^≠0，1≤k≤咒一1．记 e(P，U，忌)一det(I—AAH)det(卜一BBH)× (1+壹t=l丽detP,川det(A—B)I2× (1+宴孤detUt)“2州_2@+1)]× det(A—B)I[det(J—AAH)det(J—BBH)]专， 则 det(J—AAH)det(J—BBH)+Idet(A—B)I2+ (2抖1—2)Idet(A—B)l× [det(I—AAH)det(J—BBH)]专≤ e(P，U，k)≤Idet(I—ABH)I2 (15) 证明 从式(10)知P一(A—B)(I—BHB)_1(A —B)H∈Ho+(，z)，应用文献E7]和detP^≠0知P^∈ H+(是)且U。∈H+(矗)．这样从引理4和式(10)，(12) 可得 det(I—ABH)I2det(I—BBH)～一 det[(J—AAH)+P]≥ det(J—AAH)(1+壹t=l丽detP,)+ detP(1+骞砸detU,)+ [2蚪1—2(k+1)][det(J—AAH)detP-]-}一 det(I--AAH)(1+壹t=l丽detP,)+ 万方数据 第3期 杨忠鹏：华罗庚不等式的上界与下界的研究 · 299· №t(肛B)[zdet(I--BBH)_l(1+宴砸detU,)+ [2抖1—2(k+1)]1det(A—B)1× rdet(I—AAH)]；1 o磊可『=]；酽百J‘’ 这样再应用算术几何不等式： det(I—ABH)i2≥ det(j—AAH)det(J—BBH)(1+壹揣)+ №“¨B)艮l+奎砸)+t=ldetU。 [2抖1—2(是+1)]Idet(A—B)『× [det(卜一AAH)det(1一BB")]告一 det(／一AAH)det(I—BBH)+ldet(A—B)I2+ 塞[耠det(卜AAH)det(I--BBH)+ 夏de万tU,ldet(A—B){2-I+l-z蚪1～2(点+1)]× det(A—B)I]-det(I—AAH) det(1一BBH)]专≥ det(I—AAH)det(I—BBH)+Idet(A—B)I2+ [2抖1—2(k+1)+2k]1det(A～B)I [det(I一触H)det(1一BBH)]专． 这就证明了式(15)． 定理2 设A，B∈9“且J—AAH，J．一BBH∈ H+(咒)，如果detQ，≠0，1≤r≤扎一1．记 E(Q，V，r)一det(J—AAH)det(I—BBH) (1+奎t=l孤detQt，．+⋯(A—B)I2× c·+骞糟，+ [2—1—2(r+1)]fdet(A—B)t× [-det(J_一AAH)det(卜一BBH)]专， 则 det(I—AAH)det(J—BBH)+『det(A—B)I2+ (2斗1—2)Idet(A—B)IX [det(I—AAH)det(I—BBH)]吉≤ e(Q，V，r)≤Idet(I—ABH)I2 (16) 证明 在式(8)中取F=一G—AH，C=一D= 一BH，再应用式(6)和(10)可得 (J—ABH)H(J—AAH)一1(J—ABH)一 (I—BBH)+(A—B)(I—AHA)一1(A—B)H— y+Q，V∈H+(，2)，Q∈H才(行)(17) 这样从式(17)出发，应用与定理l类似的方法，可 得式(16)． 定理3 设A，B∈C”“且J—AAH，J—BBH∈ H+(咒)，如果k，r分别是P，Q的非零顺序主子式的最 高阶数且max{k，r)≤咒一1，则 det(J—AAH)det(J—BBH)× ma球·+骞糍M，+骞耠憾 det(J—ABH)}2． 证明 由所设的P，Q∈H吉(咒)知rankP= rank(A—B)=rankQ≤n一1<71，因此deftA—B) 一0，这样可由式(15)和(16)得到定理3的结论． 定理4 设A，B∈C，l“且J—AAH，j—BBH∈ H+(n)，如果det(A—B)≠0，则 det(J—AAH)det(J—BBH)+1det(A—B)I2+ (2“一2)fdet(A—B)}[det(J—AAH)× det(J—BBH)]音≤ min(e(P，U，挖一1)，￡(Q，V，7l一1))≤ max{￡(P，U，咒一1)，E(Q，V，咒一1)}≤ det(J—ABH)12 (18) 证明 由det(A—B)≠0知P，Q∈H+(咒)，因 此P，l，Q，。，U，1，V，r。∈H+(以一1)，这样类似于引 理5的证明和在式(15)中取k=n一1可得 det(J—AAH)det(J—BBH)+ldet(A—B)I2+ (2”一2)Idet(A—B)J[-det(J—AAH)× det(J—BBH)]古≤e(P，U，以一1)≤ det(卜一ABH)f2． 类似于定理2的讨论，由式(16)可知上述不等式对 E(Q，V，7'／一1)也成立．即式(18)成立． 这样由定理3和4可得 定理5 设A，B∈C，l“且J—AAH，卜一BBH∈ H+(扎)，则 det(J—AAH)det(I—BBH)≤ det(J—AAH)det(J—BBH)+ det(A—B)I2≤ det(j—AAH)det(J—BBH)+ det(A—B)l2+(2”一2)1det(A—B)l× [det(I—AAH)det(J—BBH)]吉≤ det(卜一ABH)I2 (19) 华罗庚行列式不等式的改进引起了很多人的关 注． 当设A∈C，l“的特征值满足IA，(A)I≥ Az(A)I≥⋯≥I．=L。(A)I时，不等式(1)可改写为 IIA；(J一／钆AH)Ai(J一且BH)= det(J—AAH)det(J—BBH)≤ 万方数据 ·300· 厦门大学学报(自然科学版) 2007拒 det(I—ABH)I2一Ⅱ|A，(J—ABH)I2， i=1 J—AAH，J—BBH∈H+(，1)； 1958年MarcusE83(也可见文献E9]236页定理E．6．9) 将上面结论改进为 Ⅱ．=【，(J一似H)A；(J—BBH)≤ i=I Ⅱh(J—ABH)I2，忌一1，2，⋯，，1． i=t 文献ElO]445页说：“[2]将华罗庚不等式(1)改进 为(2)”，由文献[11]知，这样的讲法是不准确的．关于 文献[2]给出的(2)的等式条件的进一步讨论可见文 献[11]． 近来文献[12]定理13，[13]定理lO，E143定理6 和[15]定理8将华罗庚不等式(2)成立的条件放宽到 “J—AAH∈H古(咒)，J—BBH∈H+(，1)”．我们可有： 定理6 设卜一AAH∈n+o(孢)，J—BBH∈H+ (咒)，则不等式(19)成立． 证明 由引理2的证明知只要J+FHG是可逆 的，就有矩阵恒等式(8)成立的结论．这样当J— BBH(一J+FHG)∈H+(”)时，取F一一G=BH，C =一D=一AH，由式(8)就可得矩阵恒等式(6)，即此 时： (J—ABH)(J—BBH)一1(J—ABH)H= (J—AAH)+(A—B)(J—BHB)一1(A—B)H (20) 当J_一AAH∈Ht(咒)时，仿定理1证明或应用引 理5中的式(14)，由式(20)可得式(19)右面的不等 式，而式(19)左面不等式成立是显然的． 3 华罗庚行列式不等式的上界的改进 定理7 设非零的A，B∈p“且J—AAH，J— BBH∈H+(n)，贝0 det(J—ABH)I≤ [(2“”¨一2”)Idet(A+B)I2+ det(J+AAH)det(．『+BBH)]专一 (2”1一1)Idet(A+B)I≤ Edet(J+AAH)det(J+BBH)一 det(A+JEf)|2]专≤ Edet(卜卜AAH)det(J_卜BBH)I]寺(21) 证明 由卜+-BBH∈H+(竹)和式(10)所得的 det(I+BBH)=det(J+BHB)>0．这样对式(9)应用 式(14)可有 det(J+BBH)=det(J+BHB)= det[(A+B)(J+AHA)一1(A+B)H+ (f——ABH)H(I+AAH)-1(f—ABH)]≥ det(A+B)I2det(J+AAH)。1+ det(J—ABH)I2det(J+AAH)-1+ (2”一2)ldet(A+B)1det(J—ABH)I× det(J+AAH)一， 进而 det(J+AAH)det(J+BBH)≥ det(A+B)I2+Idet(J—ABH)12+ (2”一2)Idet(A+B)Idet(J—ABH)I (22) 设： 以一[det(J+AAH)det(J+BBH)]专， b—Idet(A+B)I，z—ldet(J—ABH)I， 则行列式不等式(22)等价于不等式 z2+(2”一2)bx+b2一a2≤0(23) 由所设和式(4)可知b2一a2≤0，这样： (n2一b2)一{E(z”-1—1)2b2+(口2一b2)]一 (2，卜1一1)6}2=(口2一b2)一2<2”1—1)2b2一 (口2一b2)+2(2”1—1)6[(2”1—1)2b2+ (n2一b2)]专=2(2"-1—1)b{[(2”1—1)2b2+ (n2一b2)]寺一(2”1—1)b)≥0， 即 0≤{[(2”1—1)2b2+(a2一b2)]专一 (2”1—1)6}2≤(口2一b2)(24) 进而由式(23)和(24)： 0≤z≤ =!；：=；2垒±[!呈：二!!堡=!堡二璺：231— 2 [(2”1—1)2b2+(口2一b2)]专一(2”1—1)b= [(22‘”¨一2”)62+n2]专一(2”1—1)b≤ (n2一b2)寺≤≤口， 这就证明了式(21)． 由定理5和7可给出华罗庚行列式不等式的新的 上界和下界： 定理8 设A，B∈C，l湘且卜一AAH，J_一BBH∈ H+(咒)，则 det(J—AAH)det(J—BBH)≤ det(J—AAH)det(J一船H)+ det(A—B)I2≤ det(I—AAH)det(I—BBH)+ldet(A～B)I2+ (2“一2)ldet(A—B)l[det(I—AAH)× det(卜一BBH)]寺≤}det(I—ABH)I2≤ det(J+AAH)det(J+BBH)+ 万方数据 第3期 杨忠鹏：华罗庚不等式的上界与下界的研究 ·301· (22”1—2升1+1)Idet(A+B)I2一(2”一2)X det(A+B)l[(22‘””一2”)Idet(A+B)I2+ det(J+AAU)det(1十BB")]÷≤ det(1+AAH)det(I+BBH)一ldet(A+B)l2≤ det(J+AAH)det(J+BBH)． 参考文献： [1]华罗庚．一个关于行列式的不等式[J]．数学学报．1955。5 (4)：463—470． [2]王松桂，贾忠贞．矩阵论中不等式[M]．合肥：安徽教育出 版社，1994． [3]ZhangF．Matrixtheory：basicresultsandtechniques [M]．NewYork：Springer．1999． [4]ZhangF．Sehurcomplementsandmatrixinequalitiesin theLownerordering[J]．LinearAlgebraAppl，2000，321： 399—410． [5]ZhangF．Matrixinequalitiesbymeansofblockmatrices [J]．MathematicalInequalities＆Applications。2001．4 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(Dept．ofMath．。PutianUniversity，Putian351100。China) Abstract：Inthestudyofthefunctionsofseveralcomplexvariables．HuaLoo-Kengdiscoveredandprovedthefollowingdetermi． nantinequality：IfA．BarenX挖complexmatricesand卜一AAHandJ—BBHareHermitianpositivedefinitematrices。then det(卜一AAH)det(I--BBH)≤Idet(卜一ABH)l2． Fromanapplicationofamatrixidentity，newlytightupperboundandlowerboundwerepresentedforHuaLoo-Kenginequali— tiesofdeterminants： det(卜一AA“)det(I--BBH)+Idet(A--B)I2+(2。--2)Idet(A--B)I[det(卜一AAH)det(I--BBH)fi≤Idet(I--ABH)I2≤ det(卜}．AAH)det(卜卜BB片)+(22”1—2什1+1)Idet(A+B)I2一(2“一2)Idet(A+B)[(2“””一2”)Idet(A+B)l2+ det(H—AA“)det(I+BBH)]÷． Keywords：complexmatrices；Hermitianpositivedefinitematrix；determinantinequality；upperbound；lowerbound 万方数据 华罗庚不等式的上界与下界的研究 作者： 杨忠鹏， YANG Zhong-peng 作者单位： 莆田学院数学系,福建,莆田,351100 刊名： 厦门大学学报（自然科学版） 英文刊名： JOURNAL OF XIAMEN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 2007,46(3) 参考文献(16条) 1.杨忠鹏 华罗庚行列式不等式的推广[期刊论文]-福州大学学报(自然科学版) 2006(05) 2.袁晖坪 关于复正定矩阵的判定[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(02) 3.袁晖坪;郭华 半正定复方阵的的一些性质[期刊论文]-内蒙古大学学报(自然科学版) 2003(05) 4.袁晖坪 复正定矩阵的行列式的几个不等式[期刊论文]-华东理工大学学报(自然科学版) 2003(01) 5.袁晖坪;夏莉 广义正定矩阵的行列式不等式[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2002(02) 6.Marshall A W;Olkin I Inequalities:theory of majorization and its applications 1979 7.Marcus M On a determinatal inequality[外文期刊] 1958 8.杨忠鹏 关于"四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理"的注记 1988(04) 9.Yang Zhongpeng;Yan Yumin;Feng Xiaoxia A matrix identity and its application.Adances in matrix theory and applications 2006 10.Zhang F Matrix inequalities by means of block matrices 2001(04) 11.Zhang F Schur complements and matrix inequalities in the Lowner ordering[外文期刊] 2000(1/3) 12.Zhang F Matrix theory:basic results and techniques 1999 13.王松桂;贾忠贞 矩阵论中不等式 1994 14.杨忠鹏 关于华罗庚行列式不等式的等式条件的注记[期刊论文]-数学的实践与认识 2006(04) 15.匡继昌 常用不等式 2004 16.华罗庚 一个关于行列式的不等式 1955(04) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xmdxxb200703001.aspx