2011年全国高考数学试题及答案(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学（理工农医类） 一、选择：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数 ， 为z的共轭复数，则 (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数 的反函数为 (A) (B) (C) (D) 3.下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 (A) (B) (C) (D) 4.设 为等差数列 的前n项和，若 ，公差 ，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角 ，点 为垂足， 为垂足，若 ，则D到平面ABC的距离等于 (A) (B) (C) (D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为 (A) (B) (C) (D) 1 9.设 是周期为2的奇函数，当 时， ，则 (A) (B) (C) (D) 10.已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于A、B两点，则 (A) (B) (C) (D) 11.已知平面 截一球面得圆M，过圆心M且与 成 二面角的平面 截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为 ，则圆N的面积为 (A) (B) (C) (D) 12. 设向量 满足 ，则 的最大值等于 (A) 2 (B) (C) (D) 1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 的二项展开式中， 的系数与 的系数之差为 . 14. 已知 ， ，则 . 15. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，点M的坐标为 ，AM为 的角平分线，则 . 16. 已知点E、F分别在正方体 的棱 上，且 , ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分） 的内角A、B、C的对边分别为 。已知 ，求C 18.（本小题满分12分） 根据以往统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （Ⅱ）X示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。 19.（本小题满分12分） 如图，四棱锥S-ABCD中， ,侧面SAB为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明： ; （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。 20.（本小题满分12分） 设数列 满足 （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，记 ，证明： 。 21.（本小题满分12分） 已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交于A、B两点，点P满足 （Ⅰ）证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。 22.（本小题满分12分） （Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为 ，证明： 参考答案（不一定对） 1.B. 2.B 3.A 4.D 5. 6.C 7.B 分两类：1画3邮：区别是谁得到画册，有 种 2画2邮：分两步，从4人中选出2人拿画册，其余拿邮册，有 种 8.A 9.A 10.D 11.D 12.A 13.​ 0 14.​  15.​  16.​  一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C 6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13． 0 14． 15． 6 16． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.（本小题满分10分） 解：由 ，得 故 ， 由 ， 故 ， 又显然 ，故 ，再由 ， 解得： ，于是 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为 ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3 故 ， 所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为 所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 显然，X服从二项分布，即 , 所以 X的期望为20 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ， 易算得： ， 又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2， 所以 , 于是 , , 所以 （Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d， 因为 ，所以 ,从而 , 因而可以算得： ，又 ，故 又因为 ,所以点C到平面SAB的距离为 另外，显然 ， 所以 得： 设AB与平面SBC所成的角为 ，则 ， 即AB与平面SBC所成的角为 （显然 是锐角） 20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由 得： 数列 是等差数列，首项为 故 ，从而 （Ⅱ） 所以 21.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：易知： ，故： ，代入椭圆方程得： ， 设 ，则 ， ， 因为 所以 ，将此坐标代入椭圆： ， 所以点P在C上。 （Ⅱ）由（Ⅰ）： 及 ，得 ，因为 ，所以 于是可以算得： ， ， ， , , 于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。 22 .（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ） 时， ， 于是 在 上单调增，所以 （Ⅱ） （共有 对数相乘） 由（Ⅰ）， 时，也有 ， 故 在 上单调增，所以 即 即 ，两边同时取 的对数得： 综上所述：