双曲线知识点总结

《圆锥曲线》---------双曲线 主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题： 2、 双曲线的方程： 图像     标准方程     不同点     相同点         注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？ 3、双曲线的几何性质 标准方程     性 质 焦点   焦距   范围     顶点     实轴   虚轴   对称性   离心率   渐近线             注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当 ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法 （1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系 ①已知双曲线段的标准方程是 （或 ），则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为 ，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________； ②若双曲线的渐近线方程是 ，则双曲线的方程可表示为_____________________； ③与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________； ⑤与椭圆 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。 5．双曲线离心率的有关问题 （1） ， ，它决定双曲线的开口大小， 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率 。 （3）双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。 ②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑： ．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成； ．通过判别式 ； ．利用点在曲线内部形成的不等式关系； ．利用解析式的结构特点。 6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 （1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？ （2）若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则相交弦长 _____________________ 二、典型例题： 考点一：双曲线的定义 例1  已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 变式训练：由双曲线 =1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标. 巩固训练：(1). F1、F2是双曲线 － =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离. (2).过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是      . (3).一动圆与两定圆 和 都外切，则动圆圆心轨迹为 A.椭圆    B. 双曲线      C.双曲线的一支      D.抛物线 考点二：双曲线的方程 例2  根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线 =1有共同的渐近线，且过点（-3，2 ）； （2）与双曲线 =1有公共焦点，且过点（3 ，2）. 变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0, （1）若双曲线经过P（ ，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程. 巩固训练：(1)求与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的方程； (2)中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，求双曲线的标准方程； (3)已知双曲线的离心率 ，经过点 ，求双曲线的方程； (4)与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程; (5)已知双曲线 (a>0,b>0)的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________. (6).已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是__________________. (7).经过两点 的双曲线的标准方程为___________. 考点三：双曲线的几何性质 例3  双曲线C： =1 (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使 · =0，求此双曲线离心率的取值范围. 变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为 ,且过点P（4，- ）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证： · =0；（3）求△F1MF2的面积. 巩固训练：（1）已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是： A.1            B. 2            C.3            D.4 (2)已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为: A.2              B.               C.                 D. (3)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________. (4)双曲线 的一个焦点为F(4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x轴的垂线交双曲线的渐近线于A，B两点，O为为坐标原点，则△AOB面积的最大值为: A. 8              B. 16            C. 20              D. 24 考点四：双曲线的离心率 例1、已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△AF2B是直角三角形，求双曲线的离心率。 变式训练： 1、若△AF2B是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。 2、若△AF2B是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。 3、若△AF2B是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。 巩固训练： 1、已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F2作倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。 2、已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。 3、直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围为_______,有两个公共点，则 的取值范围为_______,有一个公共点，则 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则 的取值范围为_______。 考点五：双曲线中的焦点三角形 例、设F1和F2为双曲线 的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600求△F1PF2的面积 变式训练：设F1和F2为双曲线 的两个焦点，P是双曲线上一点， 已知∣PF1∣∣PF2∣=32,求∠F1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积 巩固训练： 1. 双曲线 左焦点 的弦 长为6，则 （ 为右焦点）的周长是____________ 2、已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是      ． 3、 设F1和F2为双曲线 的两个焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=900, 则三角形F1PF2面积是          4、设F1和F2为双曲线 的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600则P点到F1和F2两点的距离之和为___________ 5、已知双曲线C  （a>0,b>0）的两个焦点为F1(-2,0) ,F2(2,0),点P（3， ）在双曲线C上（1）求双曲线C的方程（2）记O在坐标原点，过Q（0，2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F，若△OEF的面积2 ，求直线L的方程 考点六：直线和双曲线的位置关系 例4. 已知曲线 的离心率 ，直线l过A(a，0)、B 两点，原点O到l的距离是 。(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 ，求直线m的方程。 变式训练：直线 的右支交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.