洛比达法则

河 北 科 技 大 学 教 案 用 纸 洛必达法则 教学目的：使学生能够用洛必达法则求不定式极限。 教学重点：用洛必达法则求不定式极限。 教学过程 未定形：如下的函数极限都是未定形。 1、 型： 如： 型： 2、 型： 如： 3、 型： 如： 4、 型： 如： 5、 型： 如： 6、 型： 如： 7、 型： 如： 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只示类型，没有具体意义。 1．“ ”型不定式 定理 （洛必达法则Ⅰ）设函数 、 满足： （1） ； （2）在 内， 都存在，且 ； （3） （ ）。 则 。 证明 因为极限 与f(a) 及g(a) 无关 所以可以假定f(a) g(a) 0 于是由条件(1)、(2)知 f(x) 及g(x) 在点 a 的某一邻域内是连续的。设x是这邻域内的一点 那么在以x 及a为端点的区间上 柯西中值定理的条件均满足 因此有 ( 在x与a之间) 令xa 并对上式两端求极限 注意到xa 时 a 再根据条件(3)便得要证明的结论。 说明 此定理中的 换成其它六种趋向过程仍成立。 此定理的证明，利用到上节我们学习的柯西中值定理，有兴趣读者可以试一下，在此略去。 下面通过几个例子熟悉洛必达法则的应用。 例， (b 0) 例， 例， 例， 2、求“ ”型未定式的极限 定理（洛必达法则Ⅱ）设函数 、 满足： （1） ； （2）在 内， 都存在，且 ； （3） （ ）。 则 。 说明 同样此定理中的 换成其它六种趋向过程仍成立。 例， 例， (n为正整数 >0) 3. 其它类型未定式0、、00、1 、0都可以转化为 或 型未定式来计算 （1）“ ”型 设 ， ，则 就构成了“ ”型不定式，它可以作如下转化： = （ 型）； 或 = （ 型）。 例， 。 谁放分子，谁放分母是有讲究的，例如 = = =¨, 就不能得到任何结果。 （2）“ ”型 这种形式的不定型可以通过通分等手段转化为 型或 型。 例， 。 （3）“ ”型 它可以通过如下转化： 。 例，计算极限 。 解：因为 ，而 ， 所以 。 例，计算极限 。 解：因为 ，而 ， 所以 。 例，计算极限 。 解： 。 （ ） 注意： （1）洛必达法则只能适用于“ ”和“ ”型的不定式，其它的不定式须先化简变形成“ ”或“ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则。连续多次使用罗比达法则时，每次都要检查是否满足定理条件。只有待定型才能用洛必达法则，否定会引导到荒谬的结果．例如 ＝ ＝ ＝ . （极限不存在且不是待定型） 事实上 ＝ ＝1； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要。因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在。 例15 求极限 。 解 它是一个 型的不定式，运用洛必达法则，得 ， 如此反复下去，并不能解得结果。改用其它方法，得 。 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷 例， 例，求 解法1 （罗比达法则，无穷小代换） （罗比达法则） 故 解法2 （无穷小代换） （罗比达法则，无穷小代换） 故 最后 我们指出 本节定理给出的是求未定式的一种方法 当定理条件满足时 所求的极限当然存在（或为） 但定理条件不满足时 所求极限却不一定不存在 例，求 解 因为极限 不存在 所以不能用洛必达法则 问题1 下面的解法错在哪里？ 因为 ，则 问题2 下面的解法错在哪里？ 因为 ，则 例， ，且 ， 。求 。 解： 问题3 以下解法对否？ 求极限的方法 （1）单调有界序列必有极限 （2）用夹逼定理 （3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性 （5）用两个重要极限 （6）无穷小乘有界函数仍是无穷小 （7） 等价无穷小替换 （8）用洛必达法则 补充例题 例， ln a ln b ln (a>0 b>0) 例， 例， 3 例， xln 2a 2a (a 0) 例，求 解：设 A 则 lnA= ln x 0 于是 e 0 1 例， ( ) 注：用洛必达法则有时不能求结果，此时需用以前的方法。例求下列极限 （1） = = （2） =