黄金椭圆的性质

黄金椭圆的性质 4. 若椭圆是黄金椭圆，P为椭圆上任意一点，P在x轴上的射影为M，椭圆在P点的法线交x轴于N，则 。 证明：设P（x0，y0）。 将b2x2+a2y2=a2b2两边对x求导，得 2b2x+2a2y·y'=0， 所以 。 即椭圆在点P的法线的斜率 ， 故点P的法线方程为 y-y0= 。 令y=0，得 ， 又 ， 所以 。 又 椭圆为黄金椭圆， 所以 。 上述命题的逆命题也成立。 事实上，由上可知 ， 所以 。 故此椭圆为黄金椭圆。 5. 若椭圆是黄金椭圆，设A1（－a，０），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b），则菱形A1B1A2B2的内切圆过焦点。 证明：设A2B2： ，即 bx+ay=ab。 又点（0，0）到直线bx+ay=ab的距离 ， 所以 ， 故焦点在内切圆上。 上述命题的逆命题也成立。 事实上，由上知 ，将b =a －c 代入，化简得a4－3a c +c4=0， 所以e4－3e2+1=0。 因为0＜e＜1，所以 ，故此椭圆为黄金椭圆。