一元二次方程的解法

null一元二次方程一元二次方程九数学 主讲教师：李开宇null1、学习目标： (1)了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的一般 形式，会把一元二次方程化成一般形式。 (2) 掌握一元二次方程的四种解法，会用直接开平方法、 因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程，体会 它们相互之间的关系及其“转化”思想。 (3) 理解一元二次方程两根和、两根积与其系数的关系。 (4) 会列一元二次方程解应用。进一步认识到方程是反 映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。在解决 实际问题中增强学数学、用数学的自觉性。 null2、重点难点： 本章的重点是：掌握一元二次方程的各种解法， 体会相互之间的关系及其“转化”的思想；会应用一元 二次方程解决实际问题。 本章的难点是：用配方法、公式法解一元二次方程； 一元二次方程应用题；一元二次方程根与系数的关系。null3、知识结构：实际问题→一元 二次方程检验null 4、考试点： 本章的考试点：用四种方法解一元二次方程、配方法、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程应用题。null第一节  一元二次方程 1、一元二次方程的定义。 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一个方程必须同时满足以下三个条件，才是一元二次方程： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。 不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。null如：方程x2x30；y2 2y 10都是一元二次方程，而方程x4x220， + x21=0等都不是一元二次方程。null2、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0（a、b、 c是已知数，a0） 一元二次方程的一般形式的特征是：等号的左边 是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。null(2) 注意a0这个限制条件。它是一元二次方程一般 形式的一个重要组成部分。即关于x的方程ax2bxc0 只有当a0时，它才是一元二次方程；若a0，b0时， 它是x的一元一次方程。反之，如果明确指ax2bxc0 是一元二次方程，则必定a0。null （3）b、c的值可取一切实数。若b0时，则为ax2c0；若c0时，则为ax2bx0；若b0且c0时，则为ax20，它们都是一元二次方程。 （4）一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”这句话是针对化成一般形式之后的方程而言的，如x22x1x2，化简后为2x10，它是一个一元一次方程，而不是一元二次方程。null 学法探究： 本节的重点是一元二次方程的概念和把一元二次方程化为一般形式，难点是对一元二次方程一般形式及其各项系数的确定。 null 在学习中，应通过实际问题归结为方程，进一步体会“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，认识到引入一元二次方程概念的必要性；通过与一元一次方程的比较，概括出一元二次方程的概念，通过观察比较由两个问题所得的一元二次方程，概括出一元二次方程的一般形式，并能指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；通过对练习中第2题的探索，体会一元二次方程的解的意义及检验的必要性。null 思维开放线 [例1] 下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？ （1）2(2x1)x2；（2）x22y10； （3） x=2； （4）(x21)22(x21)30. ：（1）化为一般形式为x24x20，故它是一元二次方程；（2）中含有两个未知数；（3）是分式方程；（4）中x的最高次数是4，故不是一元二次 方程。null点拨： 同时满足：（1）是整式方程。（2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2这三个条件的方程才是一元二 次方程。null[例2] 已知方程 (m2) (m2)x40 （1）m为何值时它是一元二次方程？ （2）m为何值时它是一元一次方程？分析：（1）由一元二次方程的一般形式，m222，故m20，故m2； （2）需分三种情况讨论：①m20，此时m2；②m221，此时m ；③显然x0，故若m220，则原方程也是一元一次方程null 解：（1）由m222，m20 得m2； （2）分三种情况讨论：一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。 null ①m20,即m2时,原方程为4x40，是一元一次方程； ②m221，即m 时，原方程为 2 x40，是 一元一次方程； ③显然x0，否则有40；故当m220，即m  时， 原方程为( 2)x6 0，也是一元一次方程。 综上：当m2时，它是一元二次方程；当m2， ，  时，它是一元一次方程。否则有4=0null 点拨：对于方程ax2bxc0(x为未知数)，若a0时，它是一元二次方程；当a0，b0时，它是一元一次方程。对于方程axmbxc0，当a0，m2时，它是一元二次方程；当a0或m1或m0（此时必须x0）时，它是一元一次方程。null [例3] 把方程(13x)(x3)2x21化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。分析：通过去括号、移项、合并同类项可将方程化成一般形式。null[例3] 把方程(13x)(x3)2x21化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得x3x239x2x21，移项、合并同类项，得5x28x20。所以得出该方程的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是2。 null点拨： （1）写各项系数时，应包括其符号。如5x28x20中的常数项是2而不是2； （2）将一元二次方程化为一般形式时，一般二次项的系数应为正数。如：本题也可化成5x28x20，那么此时其二次项系数为5，一次项系数为8，常数项为2。但习惯上化成5x28x20的形式。一元二次方程的一般形式即是左边是未知数的二次三项式，右边是0。null [例4] 若关于x的一元二次方mx23xm2m0 的一个解是0，求m的值。 分析：由方程的解的意义，将x0代入方程中，得 m2m0，再结合m0，可求m的值。null若关于x的一元二次方程mx23xm2m0的一个解是0，求m的值。 解：将x0代入原方程中，得 00m2m0，即m(m1)0。 由已知得 m0。 故m1=0，即m1. 所以m的值为1. 点拨：在求一元二次方程中字母系数时，要注意该字母的值不能使原方程的二次项的系数为0.一元二次方程二次项的系数不为0。null[例5] 根据题意，列出方程，并用试验的方法探索 所列出方程的解，你能由此得出问题的吗？ 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件。问：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？null分析：设每件衬衫降价x元，则每天可多售出2x件，即每天销售(202x)件，这时每件盈利(40x)元，故每天盈利(40x) (202x)元。再根据题意可列方程。 解：设每件衬衫应降价x元。根据题意得， (40x) (202x)1200 整理，得x230x2000。 令x10时，左边10230102001003002000右边 故x10是方程x230x2000的解； 令x20，则左边20230202004006002000右边， 故x20也是方程x230x2000的解。 null 令x30，则左边30230302002000， 故x30不是方程x230x2000的解。 所以，方程x230x2000的解为x110，x220.由于要尽快减少库存，故x10不合题意。从而x20。 答：每件衬衫应降价20元。 总利润每件的利润件数null点拨：（1）由于30x，200都是10的倍数（当x为整数时），故x应是10的倍数，从而探索方程的解时可从x10，20，30试起；（2）因为要尽快减少库存，所以降价越多，销售越快，库存越少，在保证利润不变的前提下，降价越多越好，从而x10不合题意。null第二节 一元二次方程的解法 1、一元二次方程的解法。 （1）直接开平方法：根据平方根的意义，运用直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 ① 直接开方法根据的是平方根的意义。由于负数没有平方根，故对于方程x2a，若a 0，则无实数解，只有当a 0，它才有解x1 ，x2  。null② 对于方程ax2b(a0)，一般先化成x2 的形式，当b0时，或a、b同号时， 0，这时再用直接开平方法求解。 ③ 对于方程(xa)2b（b 0），也可用直接开平方法求解，得x a。null（2）因式分解法：把一元二次方程通过分解因式化成一边是两个一次式的积，另一边是零的形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。 ①因式分解法根据的是a·b0，则a0或b0。 ②运用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为 0的形式，再将左边分解因式变形为a·b0的形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程的解，从而求出原方程的解。null③ 因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二次方程。 ④ 能用直接开平方法求解的一元二次方程，都可用因式分解法来求解。null（3）配方法：把一元二次方程变形为左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，然后运用直接开平方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 ①配方法依据的是公式a22abb2(ab)2。 null②用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 第一步：方程两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1（如果方程的二次项系数是1，则不需此步，直接进行下一步）。 第二步：移项，将含未知数的项移至方程的左边，常数项移到方程的右边。 第三步：配方，先在方程的左、右两边都加上一次项系数一半的平方，再运用公式a22abb2(ab)2将方程化成 2a的形式。 第四步：当a  0时，运用直接开平方法求解。null（4）公式法：把一元二次方程化成一般形式后，把 各项系数a、b、c的值代入求根公式 中，直接求得方程的解。这种解方程的方法叫做公式法。 ① 运用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成 一般形式ax2bxc0(a0)，再明确a、b、c的值，并求出 b24ac的值，当b24ac 0时，即可将a、b、c及b24ac的 值代入公式 中求出方程的解。null②因为负数没有平方根，故当b24ac＜0时， 无意义，从而原方程无实数根。 ③求根公式的推导运用的是配方法，还可用另一种方法推导：在方程ax2bxc0的两边都乘以4a，得4a2x24abx4ac0。 移项，得4a2x24abx4ac，两边都加上b2，得(2ax)22·(2ax)·b b2b24ac，得(2axb) 2b24ac。当b24ac 0时，2ax b是b24ac的平方根， 故2axb ，即有。 用配方法解一元二次方程时，也可用这种方法 。null 2、如何选用适当的方法解一元二次方程。 （1）对于x 2b(b0)这种形式的方程，可用直接平方法求解，也可用因式分解法求解。如：x24， (2x1)23，25(1x)264等。 （2）对于可用公式法分解因式或用提取公因式法分解 因式的，都可用因式分解法求解。如：25x216=0，x24x40，(x2)25(x2)等。 null（3）对于二次项系数是1，一次项系数是偶数，常数项 的绝对值较大的，可用配方法求解。如x22x990等。 （4）对于一般一元二次方程，特别是二次项系数不为 1，一次项系数不是2的倍数时，可用公式法。如 2x23x10等。 四种方法中，直接开平方法和因式分解法是特殊的方 法，配方法用得较少，公式法是基本方法。一般先考虑 用特殊方法，再考虑用配方法，最后才考虑用公式法。