0诊数学考前复习资料

一、集合与简易逻辑 献给正为理想而奋斗的： 高2012级1、13班的全体同学 用精神武装自己! 用汗水感动自己! 用行动证明自己！ 班级 姓名 学号 高三数学复习内部资料 第一部分、集合与简易逻辑 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集 合元 素的互异性：如： ， ，求 ； （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦 恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如： ，如果 ，求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2） ； ； （3）对于任意集合 ，则： ① ； ； ； ② ； ； ； ； ③ ； ； （4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ； ② 若 被3除余0，则 ；若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ； 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 （2） 中元素的个数的计算公式为： ； （3）韦恩图的运用： 四、 满足条件 ， 满足条件 ， 若 ；则 是 的充分非必要条件 ； 若 ；则 是 的必要非充分条件 ； 若 ；则 是 的充要条件 ； 若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ； 五、原命与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若 ，则 ”在解题中的运用， 如：“ ”是“ ”的 条件。 六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难 时，改证它的等价命题“若 则 ”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出 发，推理论证，得出矛盾 ；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒 假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 [ [来源:Zxxk.Com] 正 面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 否定 单元试题之一：集合和简易逻辑 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 1．满足条件{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．若命题P：x∈A∪B，则 P是 ( ) A．x A且x B B．x A或x B C．x A∩B D．x∈A∩B 3．定义A－B＝{x|x∈A且x B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝ （ ） A．M B．N C．{1,4,5} D．{6} 4．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题是 （ ） A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角 B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角 C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角 D．以上都不对 5．设集合A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝ ( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<－1} D．{x|x<－1或x>1} 6．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题真值相同的命题为 （ ） A．若一个数是负数，则它的平方是正数B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 C．若一个数的平方是正数，则它是负数D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数 7．若非空集合S {1,2,3,4,5}，且若a∈S，则必有6－a∈S，则所有满足上述条件的集合S共有 （ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 8．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B．若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C．若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形 D．若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形， 9．设有三个命题 甲：相交两直线m,n都在平面内，并且都不在平面内； 乙： m,n之中至少有一条与相交； 丙：与相交； 如果甲是真命题，那么 （ ） A．乙是丙的充分必要条件 B．乙是丙的必要不充分条件 C．乙是丙的充分不必要条件 D．乙是丙的既不充分又不必要条件 10．有下列四个命题 ①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。 其中真命题为 （ ） A．①② B．②③ C．①③　 D．③④ 11．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“ ”是“M＝N” ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 12．已知 ，不等式 的解集是 ，则 满足的关系是( ) A． B． C． D．a、b的关系不能确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．填在题中横线上． 13．小宁中午放学回家自己煮面条吃。有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟。以上各道工序，除④之外，一次只能进行一道工序。小宁要将面条煮好，最少要用________分钟。 14．已知集合M＝{x|1≤x≤10，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是 ． 15．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x<1或x>3}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝_______________。 16．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx+1=0}，则B A的一个充分不必要条件是_______。 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根。若p或q 为真，p且q为假。求实数m的取值范围。 18．（本小题满分12分）已知 ；​¬ 是​¬ 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知关于x的不等式(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3>0对任何实数x都成立，求实数k的取值范围。 20．（本小题满分12分） 在一次数学竞赛中，共出甲、乙、丙三题，在所有25个参赛的学生中，每个学生至少解出一题；在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍；只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1；只解一题的学生中，有一半没有解出甲题。问共有多少学生只解出乙题？ 21．（本小题满分12分）设a、b∈Z，E＝{(x,y)|(x－a)2＋3b≤6y}，点(2，1)∈E，但(1，0) E，(3，2) E。求a、b的值。 22．（本小题满分14分）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立． ⑴函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； ⑵设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M； ⑶若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围。 第二部分 函数 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若 ， ；问： 到 的 映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。 相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法： ① ，则 ； ② 则 ； ③ ，则 ； ④如： ，则 ； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。 （3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：① （2种方法）； ② （2种方法）；③ （2种方法）； 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x +T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换　y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过　　　　　平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换　y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称；y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 y=f(x)→y= f（|x|）把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称（注意它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数 的图象变换。 一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 如： 的图象如图，作出下列函数图象： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ；（9） 。 五、反函数： （1）定义： （ 2）函数存在反函数的条件： ； （3）互为反函数的定义域与值域 的关系： ； （4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 如：求下列函数的反函数： ； ； 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数； （2）一元二次函数： 一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ； 顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； ①一元二次函数的单调性： 当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数； ②二次函数求最值问题：首 先要采用配方法，化为 的形式， Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。如： (2)顶点含(即顶点 变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则： 根的情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。 （3）反比例函数： （ 4）指数函数： 指数运算法则： ； ； 。 指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和00且a≠1)满足f(9)=2，则f－1(loga2)等于( ) A．2 B． C． D．log2 3．​ 函数y=ln(1+ )，x∈(1,+∞)的反函数为( ) A．y= ，x∈(0,+∞) B．y= ，x∈(0,+∞) C．y= ，x∈(－∞，0) D．y= ，x∈(－∞，0) 4．​ 设a>0，a≠1，函数y= 的反函数的图象关于( ) A．x轴对称 B．y轴对称 C．y=x对称 D．原点对称 5．​ 函数f(x)=|2x－1|，若af(c)>f(b)，则下列四个式子是成立的是( ) A．a<0,b<0,c<0 B．a<0,b≥0,c>0 C．2－a<2c D．2c+2a<2 6．​ 当x∈(－2，－1)时，不等式(x+1)20,且a≠1)的解的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．视a的值而定 9．​ f(x)是定义域为R的增函数，且值域为R＋，则下列函数中为减函数的是( ) A．f(x)+ f(－x) B．f(x)－f(－x) C．f(x)·f(－x) D． 10．f( )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)=af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( ) A．若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称． B．若a=－1，－21，则x0的取值范围是　　　　　　。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．已知a>0，b>0，x∈R且M= · ，N＝a+b，试比较M与N的大小，并说明理由。 18．已知f(x)=x2－x+k，若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1)。 ⑴确定k的值； ⑵求 的最小值及对应的x值。 19．已知函数 ， （ 为正常数），且函数 与 的图象在 轴上的截距相等。 ⑴求 的值； ⑵求函数 的单调递增区间 20．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，01； ⑵判断f(x)在R上的单调性； ⑶设集合A＝{(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)}，集合B＝{(x,y)|f(ax－y+2)=1,a∈R}，若A∩B＝ ，求a的取值范围。 21．如图，函数y= |x|在x∈[－1,1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M(1,m)(m是已知实数，且m> )是△ABC的边BC的中点。 ⑴写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S＝f(t)； ⑵求函数S＝f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标。 22．设y=f(x)是定义在区间[－1,1]上的函数，且满足条件： （i）f(－1)=f(1)=0； （ii）对任意的u,v∈[－1,1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|。 ⑴证明：对任意的x∈[－1,1]，都有x－1≤f(x)≤1－x； ⑵证明：对任意的u,v∈[－1,1]，都有|f(u)－f(v)|≤1； ⑶在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，且使得 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由． 第三部分 数列 一、基本概念： 1、​ 数列的定义及表示方法； 2、​ 数列的项与项数； 3、​ 有穷数列与无穷数列； 4、​ 递增（减）、摆动、循环数列； 5、​ 数列{an}的通项公式an；数列的前n项和公式Sn； 6、​ 等差数列、公差d、等差数列的结构； 7、​ 等比数列、公比q、等比数列的结构； 二、基本公式： 9、一般数 列的通项an与前 n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0） 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、…仍为等 差数列。 15、 等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S 3m、…仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的 数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d，a，a+d；四个数成等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d 23、三个数成等比的设法： ，a，aq； 四个数成等比的错误设法： , ，aq，aq3 （为什么？） 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an= 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： 1​ an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 2​  (an>0) 如an= 3​ ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中，有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：   （1）当  >0，d<0时，满足    的项数m使得 取最大值。 （2）当  <0，d>0时，满足    的项数m使得 取最小值，在解含绝对值的数 列最值问题时，注意转化思想的应用。 单元试题之三：数列 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．​ 若a、b、c成等差数列，则函数f(x)＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定 2．​ 在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( ) A．S17 B．S18 C．S19 D．S20 3．​ 某厂2004年12份产值

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为当年1月份产值的n倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为( ) A． B． －1 C． －1 D． 4．​ 等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2+a5＝4，an＝33，则n为( ) A．50 B．49 C．48 D．47 5．​ 已知数列{an}的首项a1＝1，an+1＝3Sn(n≥1)，则下列结论正确的是( ) A．数列a2，a3，…，an，…是等比数列 B．数列{an}是等比数列 C．数列a2，a3，…，an，…是等差数列 D．数列{an}是等差数列 6．​ 数列{an}的前n项和Sn＝5n－3n2(n∈N＊)，则有( ) A．Sn>na1>nan B．SnSn>na1 D．nan0且q 1，则集合{n| an= bn}的元素最多有　　　　个。 15．已知 (n∈N＋)，则在数列{an}的前50项中最大项的项数是　　　。 16．在等差数列{an}中，当ar＝as(r≠s)时，{an}必定是常数数列。然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s (r≠s)，当ar＝as时，非常数数列 的一个例子是____________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 ⑴求数列的公差； ⑵求前n项和Sn的最大值； ⑶当Sn>0时，求n的最大值。 18．{an}是等差数列，设fn(x)＝a1x+a2x2+…+anxn，n是正偶数，且已知fn(1)＝n2，fn(－1)＝n。 ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵证明 19．某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： ⑴该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ ⑵到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ？ 20．设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an－3n ． ⑴求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f(an)； ⑵先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列 是以A为公比的等比数列。”请你在⑴的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式； ⑶求数列{an}的前n项和Sn ． 21．某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16% ，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。 ⑴设该地区的面积为1，2002年绿洲面积为 ，经过一年绿洲面积为 ……经过n年绿洲面积为 求证： ⑵求证： 是等比数列； ⑶问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取 22．已知点Pn(an，bn)都在直线L：y=2x+2上，P1为直线L与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1(n∈N＊)。 ⑴求数列{an}，{bn}的通项公式； ⑵若f(n)＝ ，问是否存在k∈N＊，使得f(k+5)=2f(k)－2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由； ⑶求证： (n≥2，n∈N＊)。 第四部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。 2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则： 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦； 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不（改）变，符号看象限”； 5．⑴ 对称轴： ；对称中心： ； ⑵ 对称轴： ；对称中心： ； 6．同角三角函数的基本关系： ； 7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① ② ③ 。 8．二倍角公式：① ； ② ；③ 。 9．正、余弦定理⑴正弦定理 （ 是 外接圆直径） 注：① ；② ；③ 。 ⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。 10。几个公式:⑴三角形面积公式： ； ⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R= 11．已知 时三角形解的个数的判定： 单元试题之四：三角函数 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） A． B． C． D． 2．ω是正实数，函数 在 上是增函数，那么 （ ） A． B． C． D． 3．对于函数 则下列正确的是 （ ） A．该函数的值域是[－1，1] B．当且仅当 时，该函数取得最大值1 C．当且仅当 D．该函数是以π为最小正周期的周期函数 4．若 ，则α是 （ ） A．第二象限角 B．第三象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第三象限角 5．函数 的值域是 （ ） A．[－2，2] B．（0，2） C． D． 6．函数 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A． B． C． D． 7．函数 有 （ ） A．最大值3，最小值2 B．最大值5，最小值3 C．最大值5，最小值2 D．最大值3，最小值 8．若 的值的范围是 （ ） A． B． C． D．[0，1] 9．要使函数 在区间[ ] 上出现的次数不少于4次，不多于8次，则k的值是 （ ） A．2 B．3 C．4或5 D．2或3 10． 是第四象限角， 则 的值是 （ ） A． B． C． D． 11．函数f(x)＝|sinx+cosx|－|sinx－cosx|是 （ ） A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 12．将函数y=sin(2x+ )(x∈R)的图象上所有点向右平移 个单位(纵坐标不变)，则所得到 的图象的解析式是 ( ) A．y=－cos2x B．y=cos2x C．y=sin(2x+ ) D．y=sin(2x－ ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．函数 的最小正周期T= 。 14．若 ． 15．计算 ，所得数值等于 _。 16．函数y=sin2x+2cosx在区间 上的最小值为 ，则 的取值范围是 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知 为锐角，求 的值。 18．（本小题满分12分）已知函数 的部分图象如图所示： ⑴求此函数的解析式 ； ⑵与 的图象关于x=8对称的 函数解析式 单增区间． 19．（本小题满分12分）设 ⑴用 表示 的最大值 ； ⑵当 时，求 的值。 20．（本小题满分12分） 已知函数 ⑴求f（x）的最小正周期； ⑵求f（x）的单调递减区间； ⑶函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？ 21．（本小题满分12分）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若 求A、B、C的大小。 22．（本小题满分14分） 设a，b为常数， ：把平面上任意一点(a，b)映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当 ，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值 ，得 ，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象． 第五部分、平面向量 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．​ 加法与减法 的代数运算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有︱ ︱－︱ ︱≤︱ ︱≤︱ ︱+︱ ︱． 向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）； +0= ＋(－ )=0. 3．实数与向量的积 ：实数 与向量 的积是一个向量。 (1)︱ ︱=︱ ︱·︱ ︱; (2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0． (3)若 =（ ），则 · =（ ）． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ∥b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2。 4．P分有向 线段 所成的比： 设P 1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于 P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ． 5．​ 向量的数量积： （1）向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角 （2）两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=︱ ︱·︱b︱cos ． 其中︱b︱cos 称为向量b在 方向上 的投影． （ 3）向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=︱ ︱cos (e为单位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;︱ ︱= ; cos = = ． (4)向量的数量积的运算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形 转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 单元试题之五：平面向量 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1．已知△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足 ，则点P与△ABC的关系为是 （ ） A．P在△ABC内部 B． P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D． P在△ABC的AC边的一个三等分点上 2．已知向量 ，且P2点分有向线段 所成的比为－2，则 的坐标是 （ ） A．( B．( ) C．（7，－9） D．（9，－7） 3．设 分别是 轴， 轴正方向上的单位向量， ， 。若用来表示 与 的夹角，则等于 （ ） A． B． C． D． 4．若向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，则a与b一定满足 （ ） A．a与b的夹角等于－ B．(a＋b)⊥(a－b) C．a∥b D．a⊥b 5．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（ 则△ABC的形状是 （ ） A．直角三角形　　　B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形 6．设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 （　　） （１）a＋b＝0 （２）a－b的方向与a的方向一致 （３）a＋b的方向与a的方向一致 （４）若a＋b的方向与b一致，则|a|<|b| A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 7．已知|p|= ，|q|=3，p、q的夹角为45°，则以a=5p+2q，b=p－3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长为 （ ） A．14 B． C．15 D．16 8．下列命题中： ① ∥ 存在唯一的实数 ，使得 ； ② 为单位向量，且 ∥ ，则 =±| |· ；③ ； ④ 与 共线， 与 共线，则 与 共线；⑤若 其中正确命题的序号是 （ ） A．①⑤ B．②③④ C．②③ D．①④⑤ 9．在△ABC中，已知 的值为 （ ） A．－2 B．2 C．±4 D．±2 10．已知，A（2，3），B（－4，5），则与 共线的单位向量是 （ ） A． B． C． D． 11．设点P分有向线段 所成的比为 ，则点P1分 所成的比为 （ ） A． B． C． D． 12．已知 垂直时k值为 （ ） A．17 B．18 C．19 D．20 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．） 13．已知向量 的夹角为 ， ． 14．把一个函数图像按向量 平移后，得到的图象的表达式为 ， 则原函数的解析式为 ． 15．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则 ． 16．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x运动，则使 取得最小值的点P的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应有证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）已知△ABC中,∠C＝120°，c=7,a+b=8,求 的值。 18．（本题12分）设向量 ，向量 垂直于向量 ，向量 平行于 ，试求 的坐标． 19．（本题12分）已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1， sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y= · (O是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)； ⑵若x∈[0， ]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+ )的图象经过怎样的变换而得到． 20．（本题12分）已知A（－1，0），B（1，0）两点，C点在直线 上，且 ， 成等差数列，记θ为 的夹角，求tanθ． 21．（本题12分）已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2） ⑴若| | ，且 ，求 的坐标； ⑵若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角θ. 22．（本题14分）已知向量 ⑴ ; ⑵（理科做）若 （文科做）求函数 的最小值。 第六部分、不等式 一、不等式的基本性质： 注意：(1)特值法是判断不等式命题是否 成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ① 若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 ④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们 的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ，则 （当且仅当 时取等号） 基本变形：① ； ②若 ，则 ， 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当 （常数），当且仅当 时， ； 当 （常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数 的最小值 。 ②若正数 满足 ，则 的最小值 。 三、绝对值不等式： 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四 、常用的基本不等式： （1）设 ，则 （当且仅当 时取等号） （2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号） （3） ； ； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： 1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）

分析

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法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （ 4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放 缩法的方法有： 1）添加或舍去一些项，如： ； 2）将分子或分母放大（或缩小） 3）利用基本不等式，如： ； 4）利用常用结论： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； （程度大） Ⅲ、 ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ( )； 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 六、不等式的解法： （1）一元一次不等式： Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； （2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （3）绝对值不等式：若 ，则 ； ； 注 意：(1)几何意义： ： ； ： ； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： a.对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ； b.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 c.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； 1) ；2） ； 3） ；4） ； （5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （6）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性； ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数 进行讨 论； 4​ 在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。 单元试题之六：不等式 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．关于x的不等式|x－1|>m的解集为R的充要条件是 （ ） A．m＜0 B．m≤－1 C．m≤0 D．m≤1 2．设00的解区间是 （ ） A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．“a>1”是“ ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若a,b∈R，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是 （ ） A．|a+b|≥1 B．b<－1 C．|a|≥1 D． 8．已知 ,设M= 则M与N的大小关系是 （ ） A．M>N B．Mb，在① ；②a3>b3；③ ；④ 中，正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．已知点A（5，0）、B（5，4）、C（0，4），P是线段BC上的点，Q是线段AB上的点， 且∠POQ=45°，O为原点，则点P横坐标活动的范围是______。 14．观察下列式子： ，则可以猜想的结论为：_______ ． 15．不等式 的解集是_______.　 16．已知a,b均为实数，给出下列四个论断： ①|a+b|＝|a|+|b|；②|a－b|≤|a+b|；③ ；④|a+b|>5。 以其中两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出一个正确的命题 。（用序号填写即可） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）若函数f(x)＝logax(其中a>0且a≠1)在x∈[2,+∞)上总有|f(x)|>1成立，求a的取值范围。 18．（本小题满分12分）已知实数 满足不等式 ，试判断方程 有无实根，并给出证明． 19．（本小题满分12分）（1）已知 是正常数， ， ，求证： ，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数 （ ）的最小值，指出取最小值时 的值． 20．（本小题满分12分）已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. 21．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)的二次项系数为正且f(2－x)＝f(2＋x). （理科）求不等式f(2－2ax2)a和条件 ，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 第七、八部分、平面解析几何 （一）直线与圆知识要点 1．直线的倾斜角与斜率k=tgα，直线的倾斜角α一定存在，范围是[0，π]，但斜率不一定存在。牢记下列图像。 斜率的求法：依据直线方程　　依据倾斜角　　依据两点的坐标 2．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。 3．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。 会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合） 4．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。 5．点到直线的距离公式。 6．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7．曲线与方程的概念，会由几何条件列出