高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ►重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3)​ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2． 通项公式与前n项和公式 为等差数列： 为等比数列： （q 3． 常用性质 为等差数列，则有 （1）​ 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项， （n>1） （2）​  （3）​ 若m+n = p+q , 则： ，特殊的：若m+n=2r ,则有： （4）​ 若 则有： （5）​ 若 （6）​  为等差数列 为常数) （7） ┅┅仍成等差数列 （8） 为等差数列，则 为等差数列（p，q为常数） （9）若项数为偶数2n， ， 若项数奇数2n－1， ， （10） 为等比数列，则有 （1）​ 只有同号的两数才存在等比中项 （2）​  （3）​ 若m+n = p+q , 则： ，特殊的：若m+n=2r ,则有： （4）​  为等比数列，则 ， ，{ }为等比数列（ ） （5）​ 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当 时，连续项之和仍为等比数列 （6）​  二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数， （定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数， 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证： 2、等差数列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用 确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。 等差数列当首项a1<0且公差d>0时（递增数列），前n项和存在最小值。 3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用 4、满足 的数列，求通项用累加（消项）法， 如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ； 满足 的数列，求通项用累乘（消项）法， 如：已知数列{an}中，a1=1,an+1= an, 求an ； 三、数列求和的常用： (1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等差数列： ； 等比数列： ； (2)分组求和：如：求1+1, , ,…, ,…的前n项和 可进行分组即： 前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和 （注： ） (3)裂项法：如 ，求Sn ，常用的裂项 ， ； (4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中{an}是等差，{bn}是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1 注意讨论x， (5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+… +(2n—1) Cnn=(n+1)2n ►名题归类例释 错位相减法： 例1 求和 例2 求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和． 　解：因 Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1， (1) 　　 (1)×a得 aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2） 　　两式相减得 　　 (1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an 　　 =2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1 　　 = 所以: 例3．已知数列 的首项 ， ， …． （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）数列 的前 项和 ． 解：（Ⅰ） ， ， 又 ， ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即 ， ． 设 … ， ① 则 … ，② 由① ②得 … ， ．又 … ． 数列 的前 项和 ． 例4：已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+ a2+ a3=12，令bn= anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式。 裂项相消法： 例1 求和： 解： ， 例2：数列{an}通项公式是 ，若前n项的和为10，求项数。 例3：求和 分部求和法： 例1 已知等差数列 的首项为1，前10项的和为145，求 解：首先由 则 例2已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和Sn 例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n； 例4： 倒序相加法： 例1 sin21°+ sin22°+ sin23°+……+ sin288°+ sin289°的值 例2 设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，求和： 解：因为 （1） （2） （1）+（2）得 例3设 ，利用课本推导等差数列的前n项和公式的方法，可求得f(-5)+ f(-4)+…+ f(5)+ f(6)的值。