电磁波的传播

电动力学授课老师：赵圣之E-mail:Shengzhi_zhao@sdu.edu.cnShengzhi_zhao@sdu.edu.cn第四章电磁波的传播 第一节平面电磁波 第二节电磁波在介质界面的反射和折射 第三节有导体存在时电磁波的传播 第四节谐振腔 第五节波导管Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第一节平面电磁波一、电磁波的波动方程一般麦克斯韦方程组：在自由空间中：ρf=0,Jf=0:1、真空中因为ρf=0,Jf=0，由麦氏方程组第一个方程，两边取旋度得：由真空中电磁性质方程及麦氏第二和第三方程：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn因此有：同理有：这是波动方程，无波源，适用于任何波长，c是传播波速。2、介质中介质中：对不同频率的电磁波，ε、μ不同，ε、μ随频率变化的现象称为色散。色散使电磁场非正弦变化时：这时，不能导出与真空情况下类似的波动方程：ε0μ0→με。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn二、定态波动方程在介质中仅讨论有一定频率的正弦波的传播，给定的这种波称为定态波，示式：这时，D=εE、B=μH成立。由麦氏方程组可得：对定态波，麦氏方程不独立，因为对前两个方程取散度可得后两个。如果对第一个方程取旋度并利用第二和第三个方程可得：E满足亥姆霍兹方程：同理可得：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn三、平面电磁波方程：1、E仅是一维空间的函数（如沿x方向传播）方程及解为：满足：即:E的振动方向与波矢量k的传播方向垂直。所以有：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn取E的实部：E=E0cos(kx-ωt)。对任一时刻的t，取kx=常数，即与x轴垂直的面——等相位点组成的面为平面。取t=0、x=0为波峰，经过t时刻波峰传到了x处，则：（kx–ωt）=0，x=ωt/k。波速即相速度：2、沿任意方向传播的平面波以一确定的时刻t，取k·x=常数=kx’，这表示与k或x’轴垂直的平面，在此平面上，相位相等。（1）（2）Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn总之：①；E×B的方向为k的方向；横波；②；E和B同相位。四、平面电磁波的能量与能流能量密度：能流密度：w、S均为E、B的二次式，其瞬时值及时间平均值应代E、B的实数，不能代复数。随时间迅速脉动量二次式求平均值的公式：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn因而有：例：地球上测得太阳光能流密度的周期平均值为每平方米1300W，设太阳光为定态平面线偏振光：（1）试估算太阳光中电场、磁场的振幅；（2）求太阳的平均辐射功率（日地距离为）；（3）估计太阳表面中太阳光中电磁场的振幅（太阳半径为）。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn解：（1）（2）（3）太阳表面：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第二节电磁波在介质界面的反射和折射一、反射和折射定律1、边值关系对绝缘介质：σf=0,αf=0。对于定态波：麦氏方程不独立，前两个方程两边取散度可导出后两个方程。因此，对定态波，边值关系的四个方程也不独立，由前两个同样可导出后两个。2、反射折射定律界面为z=0的无限大平面（界面的限度比波长大很多）。入射波、反射波和折射波均为平面波：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn由z=0处边值关系:即：上式对任意的x、y、t都成立，要求：kx=kx´=kx´´,ky=ky´=ky´´,ω=ω´=ω´´(频率相同）。选入射面为xz平面，则有：ky=ky´=ky´´=0,即入射线、反射线和折射线在同一平面内。反射定律。折射定律。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn二、菲涅尔公式边值关系：E×H的方向为k的方向。1、E垂直入射面的振动由（1）和（2）可得：以代入（4）并利用（3）式：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn对非铁磁质，μ1≈μ2≈μ0，且θ=θ´，所以：2、E在入射面内振动由（1）和（2）可得：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn以代入（6），并考虑非铁磁质，μ1≈μ2≈μ0和θ=θ´，再与（5）联立可得：讨论：（1）当入射光为自然光，由于垂直和平行两个分量的反射、折射波强度不同，反射波和折射波均为部分偏振光；（2）当反射光为全偏振光，振动方向与入射面垂直，θ称为布儒斯特角。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn（3）当ε1<ε2——从光疏到光密：反射波的电场与入射波的电场反相——半波损失。三、全反射当ε1>ε2——从光密到光疏：若若变为复角——发生全反射。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn设界面为xy(z=0)平面，入射面为xz(y=0)平面。入射波和折射波：边值关系（z=0):波沿x方向传播，振幅沿z方向衰减。当：，振幅衰减为(1/e)，称δ为穿透深度。一般δ∽λ1,波存在界面附近薄层内。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn透射波的能流：上式为纯虚数，因此,位相差为90°，所以：即：沿z方向能流密度的平均值为0（瞬时值不为0）。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cnE与E´有位相差，平行、垂直时位相差不同。四、反射系数和透射系数定义反射系数和透射系数：因此：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn当入射波波矢与分界面垂直时：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第三节有导体存在时电磁波的传播一、导体内自由电荷的分布均匀导体中：t=0时,ρ=ρ0，t=τ=(ε/σ)时,ρ=ρ0/e。一般金属：只要电磁波的频率，导体内可视为：ρ=0。二、导体内的电磁波麦氏方程组：对一定频率的电磁波：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn因此，导体内的亥姆霍兹方程：平面波的解：因为k为复数，令：k=β+iα,则：当电磁波在α方向前进了(1/α)时，振幅衰减为（1/e),称δ=(1/α)为透射深度，α为透射常数；当电磁波在β方向前进了时，波的相位增加了，称β为相位常数，相速度为（ω/β）。三、α和β表示式及透射深度加入边值关系，可解得α和β。例：电磁波由真空入射到导体，入射面为xz平面，界面为z=0平面，求α和β。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn解：边值关系：所以α=αz。利用α和β的关系可得：若入射波波矢与分界面垂直时，则：α=αz、β=βz：对良导体，只要，展开α和β的表示式：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn透射深度：；对一定的导体，ω越大，δ越小，趋肤效应；导体导电性能越好，σ越大，δ越小，超导σ→∞，电流在表面。磁场：磁场的位相比电场落后45°。四、导体表面对电磁波的反射（垂直入射）入射面为xz平面，界面为z=0，并以E与入射面垂直为例。边值关系：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn将下面关系式代入：反射系数：σ越大，R越接近1。如铜Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：计算高频下良导体的表面电阻。解：穿透深度：σ越大，δ越小，电流在表面薄层内。取z轴沿导体内部法线方向，E与表面相切。则导体内：因为J的厚度约为δ，将J对z积分——体电流化为面电流αf,且z>>δ时，J→0,因此：导体内平均损耗功率密度：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn导体表面单位面积损耗的功率：式中αf0为αf的峰值。将α≈β=(1/δ)代入：R相当于厚度为δ的直流电阻。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第四节谐振腔一、谐振腔的作用低频无线电波，用LC振荡产生，这是固有频率。当频率高时，不能用LC振荡，原因：（1）LC器件不易做；（2）频率高时的辐射；（3）趋肤效应产生焦耳热。可用谐振腔产生高频电磁场，它是一个振荡器件，结构为中空的金属腔。二、矩形谐振腔的电磁振荡腔壁是理想导体，6个面为：x=0,L1;y=0,L2;z=0,L3;Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn设腔内的电磁场为：电场E满足方程：用U(x,y,z)表示电场E的任一直角分量，则：令：U=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入得：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn解为：式中：C1、C2、C3、D1、D2、D3为任意常数。边界条件：导体表面：E1t=E2t；因理想导体内E1=0，所以：E2t=0;只有E2n≠0；所以导体表面：因而6个导体面：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn设U=Ex，边界条件：所以：同理：边界条件：同理：A1、A2、A3只有两个是独立的。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn利用公式：可求出磁场：讨论：①腔内为驻波，m、n、p为三边的半波数；对每一确定的(m,n,p),有两个独立的偏振波型（可选一个：Ez=0,Hz≠0；另一个：Ez≠0,Hz=0）；但当(m,n,p)中一个为0，只有一种波型。②由于,所以(m,n,p)中不能有2个同时为0，否则场全部为0。如：m=0,n=0,p≠0,kx=0,ky=0,kz≠0,A3=0,Ez=0,由于kx=0,ky=0，依据Ex，Ey的表示式可知：Ex=0，Ey=0。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn三、谐振腔的谐振频率ωm,n,p为腔的本征频率，相应的波长：若L1>L2>L3，则最低的谐振频率：若腔为真空，则：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：腔L1=2cm,L2=3cm,L3=1cm,求在波段内电磁波的模式及相应的波长、电场。解：相应的波长分别为：由：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn再利用，当(m,n,p)=(1,3,0)时：同理可得：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第五节波导管一、波导管的作用波导管是传导电磁波的装置，为空心的金属管，截面为矩形或圆形。波有三种形式：1、横波(TEM)，波沿z轴传播，Ez=Hz=0;2、横电波(TE)，波沿z轴传播，Ez=0，Hz≠0;3、横磁波(TM)，波沿z轴传播，Ez≠0，Hz=0;TE或TM波在传播方向上有磁场或电场分量。二、矩形波导管中的电磁场波导管内壁：x=0,a,y=0,b;电磁波沿z轴传播，管中的电磁场：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn电场E满足：用U(x,y)exp[i(kzz-ωt)表示E的任一直角分量，代入：令：U(x,y)=X(x)Y(y),代入分离变量：解为：因此：设U=Ex，边界条件：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn同理可得：因此有：A1、A2、A3只有两个是独立的。利用公式：可求磁场：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn讨论:①管中不存在TEM波对TEM波：而：②TE、TM波存在TE波：Ez=0、Hz≠0；TM波：Ez≠0、Hz=0；③对每一确定的(m,n)，有两个独立的偏振波型，一为TE波，另一为TM波，但当(m,n)中有一个为0，只有一种波型。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn三、截至频率由：,kz为实数，，波沿z轴传播；,kz为虚数，波不能沿z轴传播，振幅沿z向衰减；,kz=0,,驻波；称ωc,m,n为截至频率。当ω>ωc,m,n时，，波可以TEmn或TMmn模式传播；Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn当ω<ωc,m,n时，，波不可以TEmn或TMmn模式传播；因此，波导管是高通滤波器，m,n大截至频率高；若对同一种频率，如m=1、n=1，有TE11和TM11，称为简并。最低的截至频率TE波的TE10和TE01是存在的。如TE10波：Ez=0,m=1,n=0:→电磁场：如TE01波：Ez=0,m=0,n=1:→Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn电磁场：若a>b,TE10为主波，即截至频率最低：只有波长λ<2a的波才能传播。若a<b,TE01为主波，即截至频率最低：只有波长λ<2b的波才能传播。TM波不存在TM10和TM01。如TM10：Hz=0,m=1,n=0:→Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn最低截至频率的波为TM11：电磁波在波导中的波长λ比自由空间中的波长λ0长：因此，电磁波在波导管中的相速度将大于真空的光速c。Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：为了使真空中的方型波导管只能以TE模式传播频率为15千兆的微波，问波导管的边长l范围？解：l下限：TE10、TE01：l上限：TE11、TM11：因此:Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：波导管长为a，宽为b,激发沿z向的TE10波，腔内为真空，纵向磁场为：，求：（1）TE10波其它分量及z向传输的平均功率；（2）波导管单位长度电场和磁场能量的平均值；（3）群速度vg和相速度vp,并证明：解：（1）TE10波的电磁场：因此：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn电磁场分量：（2）Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn波导管单位长度电磁场能量的平均值：因此有：we=wm(3)Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：有相距为L的两无穷大理想导体板，设x轴垂直板面，波在导体板间沿z轴传播，波场与y无关：（1）写出传播的TE型、TM型、TEM型电磁场表示式；（2）计及导体的电导率σ和磁导率μ，求TE波单位面积的能耗。解:（1）因为波沿z轴传播，E与y无关，设：满足：用U(x)exp[i(kzz-ωt)]表示E的任一直角分量，代入：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn设：当x=L时，Ey=Ez=0；因此：A2是独立的。由Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn①TE波：Ez=0,Hz≠0；→A3=0；A1kx=ikzA3,kx≠0；→A1=0；②TM波：Ez≠0,Hz=0；→A2kx=0；∵kx≠0；→A2=0；③TEM波:Ez=0;→A3=0；∵A1kx=ikzA3；→A1kx=0；Hz=0；→A2kx=0；除非kx=0，否则，kx≠0，A1=0，A2=0；Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn（2）TE波能耗：由面电流振幅：导体板单位面积的阻抗：所以两板单位面积能耗：Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn例：写出矩形波导管磁场H的边界条件。解：对于磁场，虽然金属内为0，但由于面传导电流的存在，因而切向方向不连续，H的边值不是已知的。可先求E，再求H，进而求边界条件。由矩形波导管内的电场可求得：边界条件：