电磁波的辐射

null电动力学电动力学授课老师：赵圣之 E-mail: Shengzhi_zhao@sdu.edu.cn第五章 电磁波的辐射第五章 电磁波的辐射第一节 电磁场的矢势和标势 第二节 推迟势 第三节 电偶极子辐射 第四节 磁偶极子辐射和电四极子辐射 第五节 电磁波的衍射 第六节 电磁场的动量 第一节 电磁场的矢势和标势第一节 电磁场的矢势和标势一、用势描述电磁场 麦氏方程组： 静场： 一般情况下： 但E是有旋场。 令： 因此标势和矢势与电磁场的关系：null二、变换及规范不变性 对一定的E、B，A、Φ不是唯一的。做变换： E、B不变，此变换称为规范变换。当电磁势作规范变换时，所有的物理 量和物理规律保持不变的性质称为规范不变性。对一定的E、B，有许多 组（ A，Φ），每一组（ A，Φ）都是一种规范，可加一定的条件： ①库仑规范：取规范条件 。这种规范特点E=(E1+E2)较明显, E1是静电场（纵场），E2是感应场（横场）。 ②洛仑兹规范：取规范条件 这种规范特点是A、Φ满足方程的形式相同。null三、达朗贝尔方程 由麦氏方程组可导出电磁势所满足的方程。 因此：null①库仑规范 ： ②洛仑兹规范 ： （1）和（2）称为达朗贝尔方程。 例：求平面电磁波的势，并进而由势求场。 解：①洛仑兹规范 由达朗贝尔方程并考虑空间Jf=0、ρf=0 ，则： null平面波的解： 由规范条件可得出A、Φ的依赖关系。 由势求场。 虽然有洛仑兹规范， A、Φ还不能唯一确定。作变换：null②库仑规范 考虑空间Jf=0、ρf=0，则： 因此有： 平面波的解： 由势求场：第二节 推迟势第二节 推迟势一、达朗贝尔方程的解 电磁场与势： 洛仑兹规范： 静场的势方程： 达朗贝尔方程的解应与静场势的解类似。现以一点电荷Q(t) 置于坐 标系原点为例求解。因为ρf= Q(t)δ(x)，所以方程为： 电荷分布球对称：Φ=Φ(r,t)，球坐标系： null考虑r≠0的空间： 令Φ=U/r，可得： 这是波动方程，解： 势Φ的解第一项为向外辐射的球面波，第二项为向内汇聚的球面波。因 考虑辐射问题，可将第二项舍去。 与静场对比： 令解： null现在证明上面的解确为真解。 ① r≠0时： 显然Φ(r,t)满足方程。 ②r=0时， Φ(r,t)为奇点。以Q(t) 为心做一个半径为r →0的小球体：将 Φ(r,t)带入方程左边并对小球体积分： 计算上式右边第二项：null计算上式右边第一项： 因此有： 将方程右边对小球体积分： 所以, 方程左和右边对小球体积分后相等。 Φ(r,t)为真解。 对于一般的电荷分布：null同理可求： 二、推迟势及意义 对于x点t时刻的势，取决于电荷密度和电流密度[t-(r/c)]时的值，推迟 了(r/c)，这正是电磁波以速度c传播r所需的时间。因此称Φ(r,t)和A(r,t)为 推迟势。null例：证明：推迟势Φ(r,t)和A(r,t)满足洛仑兹规范。 证明： 令： 利用公式：null 因此有： 所以： 因为： 所以：null因此： 而： 利用t´时刻电荷守恒定律： 所以： 第三节 电偶极子辐射第三节 电偶极子辐射一、计算辐射场的一般公式 电荷、电流分布于小区域，线度用L示，L<>r，因(r/c)很小，推迟时间小，与静场近似； ②感应区： λ~r, 这是过渡区； ③辐射区（远区)： λ<>λ，取近似： 上式积分号中的分母： null上式积分号中的分子： 因此： 其中： 三、电偶极子辐射 1、展开式中 表示电偶极子辐射 电荷运动产生J(x´), 应等于区域中所有的带电粒子ev求和：null即： 因此： 表示电偶极子辐射。 2、电偶极子辐射场 ①辐射场 ②非辐射场 只求辐射场： null因此： 若： 则： 当θ=0时，E=B=0; 当θ=90˚时，E和B最大。 null四、平均辐射能流密度和平均辐射功率 平均辐射能流密度： 平均辐射功率： 若： 则： 因为：null例：一电偶极系统的电荷分布为：2q(0,0,a),-2q(0,0,-a)，设a<<λ,求此电偶极系统以频率ω振荡时的远区辐射场、平均辐射能流密度和平均辐射功率。 解：第四节 磁偶极子和电四极子辐射第四节 磁偶极子和电四极子辐射一、磁偶极子和电四极子辐射 考虑A展开式的第二项： 改变积分号内的形式： 改变x´J的形式，使之成为对称张量和反对称张量之和： 因此有： 先考虑上式右边的第二项： 利用公式：null将其代入积分号： 其中，系统的磁矩： 再考虑将第一项代入积分号： 其中，系统的电四极矩： 所以： 表示磁偶极子和电四极子辐射。null二、磁偶极子辐射 若：null则： 当θ=0时，E=B=0; 当θ=90˚时，E和B最大。 与同样情况下电偶极子辐射场对比： 将场中的量互换：p→(m/c)； E→cB； cB →(-E)；即换为磁偶极子辐 射场。 实际上，在麦氏方程组中： null 将(1): E→cB； cB →(-E)；即换为(2)。 这体现了电磁对称性。 平均辐射能流密度： 平均辐射功率： 若null三、电四极子辐射 令： 重新定义：null求辐射场时： ，因此求出的辐射场不变。 平均辐射能流密度： 辐射角分布因子由 确定，一般比较复杂。 平均辐射功率：null例：一半径为a的圆电流线圈，激发的电流振幅为I0，角频率为ω， 设a<<λ，求此电流的辐射场、平均辐射能流密度、平均辐射功率。 解：取m在z轴，则： 比电偶极子辐射小 数量级。 null例：求图示的电四极子以频率ω振荡时的辐射场、平均辐射能流密度、平均辐射功率（设a<<λ)。 解： 与磁偶极子辐射同级。第五节 电磁波的衍射第五节 电磁波的衍射一、衍射问题 1、衍射理论的一般问题是计算通过障碍物或小孔后的电磁场的角分布，讨论问题的基本公式是基尔霍夫公式； 2、基尔霍夫方程是标量场的衍射问题，而电磁场是矢量，因而把场的每一个分量当作标量； 3、方程是近似的。 二、基尔霍夫方程 真空中的电磁波，用Ψ(x,t)表示场的任一分量， 令： 则： 取S面上任意一点x´， 令： 则： 称G(x,x´) 为亥姆霍兹方程的格林函数。null证明：① r≠0时，δ(x - x´)=0； ② r=0时，奇点，以r=0为中心做一个半径为r(r→0)的小球体ΔV，方程两边对小球体积分，并考虑： 左边： 右边： 方程左右两边相等，得证。 将Ψ(x´) 和G(x,x´) 代入格林公式，并认为x´为变量： null式中，dS´是dS´面的外法线方向。因此将Ψ和G满足的方程代入： 因此： n表示dS´的内法线方向。将上两式代入: 上式称为基尔霍夫方程。null方程的意义： ① 把区域内每一点的值用S面的场Ψ和Ψ的梯度表示出来，与光学的惠更斯——菲涅尔原理同； ② 因子表示由x´发出的波向x点传播，（r/c)是推迟的时间。 ③ Ψ(x,t)仅是一个函数，而不是边值问题的解。 null三、小孔衍射 小孔衍射问题可由基尔霍夫方程讨论。 如图所示，求P点的Ψ(x)。 S´ = S1+S2+S0，S1是屏的面，S2是以O为心 半径为无穷大的半球面，S0是小孔的面积。 假定：① 在S0面上，当面的线度远远大于波长时，忽略S0的边缘效应， 如Ψi为入射波，则： ② 在S1面上，忽略小孔的边缘效应： ③ 在S2面上，当半径→∞时： 因此：null设入射波为平面波： 观察k2方向的场: 忽略(1/R)的高次项： θ 1表示k1与n的夹角，θ2表示k2与n的夹角。null因此： 称为倾斜因子。 用 表示光强， 与θ2的关系与实验值相符。 第六节 电磁场的动量第六节 电磁场的动量 能量守恒： 洛仑兹力密度： 能流密度： 能量密度： 一、电磁场的动量密度和动量流密度 取体积V，界面为S，V中有ρ、J。 1、用E和B表示f null因此： 将方程改写为E、B的对称形式，并考虑: 利用公式： 由公式：null由公式： 因此： 同理： 所以： 2、动量密度和动量流密度 令： null则： 对此式取体积分，并假设V不变： ：V内机械动量的变化率，f为力密度（动量的变化率) ； ：V内动量的变化率， 为场的动量密度； ： 从S面外流入S面内的动量流， T为动量流密度; 因此，整个公式表示了动量守恒。 ① 场动量的减小等于机械动量增加。null② 稳恒场 流进去的全部动量变为机械动量的增加； 对平面电磁波: 量子光学，光子： 为光子的动量。 例：说明动量流密度T的意义 解： 做体元OABC,面元ABC的三个分量 OAB、OBC、OAC。考察流入OAB、OBC、OAC 的动量。 null因为： 同理： 当体元→0时，从ABC流出的动量应等于流入的动量： 若任取一闭合曲面S，从S中流出的动量： Tij的意义是通过垂直于i轴单位面积流过的动量j分量。null例：讨论平面电磁波的T 解： 同理： 而： T中的第二个k表示电磁波的动量沿波矢方向，第一个k表示只有垂直波矢 的面才有动量通过。电磁波的动量密度为g，传播速度为c，单位时间流过 垂直单位面积的动量为cg。null二、辐射压力 由于电磁波有动量，射入物体上必有压力——辐射压力。 ：表示流出dS内的动量——单位时间由dS后方流 向前方的电磁动量； ：表示流入dS内的动量——单位时间由dS前方流 向后方的电磁动量； -T称为麦克斯韦应力张量，因此物体表面受到电磁辐射的作用力： 例：平面电磁波斜入射到理想导体表面，求发生完全反射时导体表面所受的作用力。 解：（1）入射导体后，动量的切向分量不变， 法向分量变号。电磁波波速为c，单位时间通过 单位横截面的动量： ，这里 为入射null电磁波平均能量密度。动量法向分量： ，因 所以，入射导体表面单位面积动量的法向分量： 反射的动量： ，单位面积的辐射压力： （2）用T计算 设Ei垂直入射面，由边值关系： 因： 导体外部总电场： 总磁场： B的方向与界面相切。设n为指向导体内部的方向（n与dS方向相反）：null例：在静电场中，证明： ①若面元dS与E平行，则dS前方的电场对后方的电场的作用力是一拉力； ②若面元dS与E垂直，则dS前方的电场对后方的电场的作用力是一推力。 证明： ①当dS与E平行时： 方向沿dS方向，拉力； ②当dS与E垂直时： 方向沿(-dS)方向，推力。null例：一半径为R0的导体球置于电场E0之中，求垂直电场方向分为两个半球所受的力。 解：分离变量法求得球表面场强： 该处动量流密度： 前半球受力： 同理，后半球受力，对θ积分：