条件概率

nullnull第五节 条件概率一. 条件概率 在一个随机事件已经发生的条件下另一个随机事件发生的概率。1. 定义1.5.1 A、B 是两个随机事件， 如果 P (A ) ＞ 0 ，则定义：是事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。 P (B | A ) = ———P (AB ) P (A )null事实上，无条件概率可以看成是条件概率的特例： P (B ) = P (B | S )例如， 0 ≤ P (B | A ) ≤ 1 ； P (B∪C | A ) = P (B | A ) + P (C | A ) – P (BC | A ) ； P ( | A ) = 1 – P (B | A ) ，等等。(1). 条件概率满足概率的所有性质与计算公式， 只需要把条件添加在相应的公式后面即可。null解. 分别用 A、B 表示两个随机事件： A = {第一次取出的是黑球}，B = {第二次取出的是黑球}； 问题转化为计算条件概率 P (B | A ) ，根据定义， 需要求出概率 P (AB ) 与 P (A ) 。例1.5.1 假定盒中装有 3 个黑球和 2 个白球，无放回 接连取两个小球，已经知道第一次取出的是黑球， 问第二次也取出黑球的概率是多少？ ① 交事件AB 含义是“ 从 3 个黑球和 2 个白球的 5 个 小球中无放回地接连取出两个，取到的都是黑球” 因此根据第三节例题 1.3.8 随机抽样的模型， P (AB ) = C32×C20 / C52 = 0.3 ；null② P (A ) 有两种不同的解法，依赖于如何构造 S 。 解法一：以两次抽样的结果来构造样本空间，需要 考虑顺序，因此样本空间的样本点总数是 P52 = 20 。 根据乘法原理，“第一次取出的是黑球”包含的样本 点个数有 3×4 = 12 ，因此 P (A ) = 12/20 = 0.6 ； 解法二：以第一次抽样的结果来构造样本空间， 从 5 个小球(包含了 3 个黑球) 中随机取出一个， 因此 P (A ) = 3/5 = 0.6 ；最后，根据条件概率的定义，有： P (B | A ) = 0.3 / 0.6 = 0.5 。□null例1.5.1的简单解法： 既然第一次已经取走一个黑球，而第二次取是从剩下的 4 个小球里随机取一个，有 2 个黑球和 2 个白球，因此所求条件概率就是 2/4 = 0.5 。 1.5.2 抛硬币两次，已知正面出现，求两次都是同一面的概率。练习1.5.3 假定随机找一个有 3 个小孩的家庭，已知有 1 个女孩，问这个家庭至少有一个男孩的概率。(2). 计算条件概率时“缩小样本空间”的思想null因此 A 发生的条件下 B 发生的条件概率就理解为 现在已知 A 发生，即是 Na 个样本点中的某个已发生 ( 究竟是哪一个样本点发生我们并不关心 ) 。这时如果把样本空间缩小成 A 包含的样本点(一共有 Na 个 ) , 其中显然将会有 Na b 个样本点可能导致随机事件 B 的发生 ， P (B | A ) = —— = ———— = ———— (3). 对条件概率定义的理解 假定样本空间中包含了 N 个样本点，事件 A 包含了 Na 个样本点，其中交事件 AB 包含样本点个数是 Na b ，Na b Na b / N P (AB ) Na Na / N P (A )null 条件概率中的“条件”，是一个已经发生了的随机 事件。如果没有这个信息，就必须作为交事件处理。 不能把逻辑上的条件误解成条件概率中的条件(4). 区别“条件概率” 与“交事件概率”的关键练习1.5.4 盒子里有奖与无奖彩票各 1 张，甲、乙两人顺序各取1 张。问有奖彩票被乙取走的概率是多少？提示： 在类似问题的处理中，必须注意区别“甲取无奖彩票”究竟与“乙取有奖彩票”同时发生还是事先已经发生？null2. 乘法公式 ( 计算随机事件交事件概率的公式 ) 乘法公式 如果 P (A ) ＞ 0，则有 P (AB ) = P (A ) P (B | A ) 一般的乘法公式 设 A1 ， A2 ，…，An 是任意的 n 个随机事件， 并且 P ( A1 A2 … An ) ＞0 ，则有： P ( A1 A2 … An ) = P (A1 )×P (A2 | A1 )×P (A3 | A1 A2 )×… ×P (An－1 | A1 A2…An－2 )×P (An | A1 A2 … An－1 ) null例1.5.5 假定 盒中有 1 个黑球与 n – 1 个白球， n 个人依次各取一个小球，问第 k ( 1 ≤ k ≤ n ) 个人取到这个黑球的概率是多少？ 解. 第一种解法：古典概型的理论。 不妨把黑球编成 1 号，其余白球依次为 2，…，n。 所有 n 个人的全部取球方式有 n ! 种，而第 k 个人 取到黑球则有 (n – 1 ) ! 种情况，因此， 所求的概率与 k 无关，为 1/n 。 第二种解法：条件概率的方法。抽签结果与抽签顺序无关nullP { 第一个人取到黑球}显然是 1/n ； P { 第二个人取到黑球} = P { (第一个人取到白球)∩(第二个人取到黑球) } = P (第一个人取到白球) ×P { (第二个人取到黑球) | (第一个人取到白球) }= —— × —— = — ；同理，第三个人取到黑球的概率是：—— × —— × —— = — ；n – 1 1 1 n n – 1 nn – 1 n – 2 1 1 n n – 1 n – 2 nnull · · · · · · 对于任意第 k 个人的情况，利用若干个随机事件 交事件的乘法公式，他取到黑球的概率仍然是：□ 实际上，如果有 m 个黑球，n – m 个白球，n 个人 依次无放回各取走一个小球。则任意的第 k 个人 取到黑球的概率就是 m / n ，与 k 无关。 —— × —— ×…× ———— × ———— = — 。n – 1 n – 2 n – k + 1 1 1 n n – 1 n – k + 2 n – k + 1 nnull二. 全概率公式与 Bayes ( 贝叶斯) 公式1. 样本空间 S 的划分 ( 或完备事件组 )样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和定义1.5.2 如果随机事件A1，A2，…，An 满足： (1) Ai∩Aj =  , 对所有的 i ≠ j ； (2) A1∪A2∪…∪An = S . 则称 A1，A2，…，An 是样本空间 S 的一个划分。思考 A – B、B – A、AB、 构成 S 的一个划分。 null2. 全概率公式与贝叶斯公式对任意的 m ≥ 1，有： 假定随机事件组 A1，…，An 是样本空间 S 的一个划分，B 是任意的一个随机事件，则：P (B ) = ∑kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak ) P (Am | B ) = ——————————— P (Am ) P (B | Am ) ∑kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak )全概率公式贝叶斯公式这两个公式也适用于对样本空间的无穷划分null全概率公式贝叶斯公式若干原因结果 如果把随机事件 B 看成是结果，随机事件组 A1，…，An 看成可能导致结果 B 发生的若干原因， 贝叶斯公式在决策理论中有重要应用： 不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。null例1.5.6 产品使用的元件由三个工厂提供，数据如下：厂家 次品率 所占份额 甲厂 0.02 0.15 乙厂 0.01 0.80 丙厂 0.03 0.05(1) 随机从仓库取一件，求取到次品的概率； (2) 如果取到次品，最可能是来自哪个工厂的产品？ 最不可能的又是哪个工厂的？解. 以 A、B、C 分别表示取到的这个元件来自工厂 甲、乙、丙，D 表示这个元件是次品。因此已知： P (A ) = 0.15, P (B ) = 0.8, P (C ) = 0.05 ; P (D | A ) = 0.02, P (D | B ) = 0.01,P (D | C ) = 0.03 .null(2) 根据 Bayes 公式， P ( A | D ) = —————— = ————— = 0.24 ， 同理，P (B | D ) = 0.64 ，P (C | D ) = 0.12 。 这个次品最有可能是乙厂，最不可能是丙厂的。□(1) 根据全概率公式， P (D ) = P (A ) P (D | A ) + P (B ) P (D | B ) + P (C ) P (D | C ) = 0.15×0.02 + 0.8×0.01 + 0.05×0.03 = 0.0125 ； 需要求出 P (D ) ，以及比较三个条件概率： P (A | D )，P (B | D )，P (C | D ) 的大小。P (A ) P (D | A ) 0.15×0.02 P (D ) 0.0125null“先验概率” 与 “后验概率”先验概率：过去经验或知识后验概率：有新的信息以后对过去认识的修正练习1.5.7 说明这里为什么 3 个条件概率的和等于 1 。厂家 次品率 所占份额 条件概率 甲厂 0.02 0.15 0.24 乙厂 0.01 0.80 0.64 丙厂 0.03 0.05 0.12null1. 教材 33 页 第 13 题 ；2. 教材 34 页 第 19 题 (2) ；3. 教材 34 页 第 21 题 ； 4. 教材 34 页 第 23 题 。习题 1.5