勾股定理经典例题

知识点一：勾股定理　　如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一：勾股定理 　　如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 　　　　　　　 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 　　　　　　　 （3）理解勾股定理的一些变式： 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，　　c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 　　一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 　　　　　　 图（1）中 ，所以 。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 　　　　　　 图（2）中 ，所以 。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 　　　　　　　　　　　　 　　　 　　 　　　　　　 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 　　　　　　 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 　　　　　　 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即： . 　　方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ，所以 。 知识点三：勾股定理的作用 　　1．已知直角三角形的两条边长求第三边；　2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 　　3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为 的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 　　满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 　　熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：　 　　①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 　　如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 　　1、在Rt△ABC中，∠C=90° 　　(1)已知a=6， c=10，求b，　(2)已知a=40，b=9，求c；　(3)已知c=25，b=15，求a. 　　思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 　　解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= 　　　　　(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= 　　　　　(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 　　总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 　　　　　　∴AC=5 　　　　　　又∵∠ABC=90°且BC=3 　　　　　　∴由勾股定理可得 　　　　　　AB2=AC2－BC2 　　　　　　　 =52－32 　　　　　　　 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 　　2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有 ， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 　　解析：作 于D，则因 ， 　　　　　∴ （ 的两个锐角互余） 　　　　　∴ （在 中，如果一个锐角等于 ， 　　　　　那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 　　　　　根据勾股定理，在 中， 　　　　　 . 　　　　　根据勾股定理，在 中， 　　　　　 . 　　　　　∴ . 　　总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 　　举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 　　解析：连结BM，根据勾股定理，在 中， 　　　　　 . 　　　　　而在 中，则根据勾股定理有 　　　　　 . 　　　　　∴ 　　　　　又∵ （已知）， 　　　　　∴ . 　　　　　在 中，根据勾股定理有 　　　　　 ， 　　　　　∴ . 　　【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 　　解析：延长AD、BC交于E。 　　　　　∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 　　　　　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， 　　　　　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。 　　　　　∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。 　　　　　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用 　　（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 　　3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 　　（1）求A、C两点之间的距离。 　　（2）确定目的地C在营地A的什么方向。 思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 　　解析：（1）过B点作BE//AD 　　　　　　　 ∴∠DAB=∠ABE=60°　　　　　　　 ∵30°+∠CBA+∠ABE=180° 　　　　　　　 ∴∠CBA=90°　　　　　　　 即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向 　　总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。 举一反三 　　【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 　　解：OC＝1米　(大门宽度一半)， 　　　　OD＝0.8米　（卡车宽度一半） 　　　　在Rt△OCD中，由勾股定理得： 　　　　CD＝ ＝ ＝０.６米， 　　　　CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 　　　　因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． 　　（二）用勾股定理求最短问题 　　4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 　　　　　　　　　 　　思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论． 　　解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 　　　　　AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 　　　　　图（3）中，在Rt△ABC中 　　　　　 　 　　　　　同理 　　　　　∴图（3）中的路线长为 　 　　　　　图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 　　　　　由∠FBH＝ 　及勾股定理得： 　　　　　EA＝ED＝FB＝FC＝ 　　　　　∴EF＝1－2FH＝1－ 　　　　　∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 　　　　　 3＞2.828>2.732 　　　　　∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线． 　　总结升华：在实际生产工作中，往往设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质． 　　举一反三 　　【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　解： 　　　　　　　　 　　如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，　根据勾股定理得　 　　（提问：勾股定理） 　　∴ AC＝ ＝ ＝ ≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 　　答：最短路程约为１０．７７cm． 类型四：利用勾股定理作长为 的线段 　　5、作长为 、 、 的线段。 　　思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。 　　作法：如图所示 　　　　　 　　（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； 　　（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ； 　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 　　　　 、 、 、 。 　　总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。 　　举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。 　　解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 　　　　　为了有利于画图让其他两边的长为整数， 　　　　　而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 　　　　　　　　　　　　 　　作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 　　　　　以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 　　6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确）　　2．原命题：对顶角相等（正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）　　4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 　　思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 　　总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 　7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 　　思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 　　解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：　　　　　a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。∴ a=3，b=4，c=5。∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 　　由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 　　总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 　　举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 　　【答案】：连结AC 　　　　　　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4 　　　　　　　∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） 　　　　　　　∴AC=5 　　　　　　　∵AC2+CD2=169，AD2=169 　　　　　　　∴AC2+CD2=AD2 　　　　　　　∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） 　　　　　　　 　　【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 　　分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 　　证明： 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 所以△ABC是直角三角形. 　　【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。 　　　　　　 请问FE与DE是否垂直?请说明。 　　【答案】答：DE⊥EF。 　　证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, 　　　　　∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； 　　　　　DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 　　　　　连接DF（如图） 　　　　　DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 　　　　　∴ DF2=EF2+DE2, 　　　　　∴ FE⊥DE。 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 　　1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 　　思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 　　解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： 　　　　　 （3x）2+（4x）2＝202 　　　　　 化简得x2＝16； 　　　　　 ∴直角三角形的面积＝ ×3x×4x＝6x2＝96 　总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 　　举一反三　【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 　　【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D 　　　　　　则：BD＝ BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） 　　　　　　∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） 　　　　　　∴BD＝1 　　　　　　在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3 　　　　　　∴AD＝ 　　　　　　S△ABC＝ BC·AD＝ 　　注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。 　　【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 　　【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得： 　　　　　　 　　　　　　由（1）得：x+y＝7， 　　　　　　（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3) 　　　　　　(3)－(2)，得：xy＝12 　　　　　　∴直角三角形的面积是 xy＝ ×12＝6（cm2） 　　【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 　　思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 　　解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： 　　　　（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2 　　　　化简得：n2＝4 　　　　∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2 　　总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 　　【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） 　　A、8，15，17 　　　B、4，5，6　　　 C、5，8，10 　　　D、8，39，40 　　解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 　　　　　对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。 　　　　　例如：对于选择D， 　　　　　∵82≠（40+39）×（40－39）， 　　　　　∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 　　　　　同理可以判断其它选项。　【答案】：A 　　【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 　　解：连结AC 　　　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4 　　　　∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） 　　　　∴AC=5 　　　　∵AC2+CD2=169，AD2=169 　　　　∴AC2+CD2=AD2 　　　　∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） 　　　　∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB·BC+ AC·CD=36 类型二：勾股定理的应用 　　2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 　　解析：作AB⊥MN，垂足为B。 　　　　　在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160， 　　　　　∴ AB＝ AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） 　　　　　∵点 A到直线MN的距离小于100m, 　　　　　∴这所中学会受到噪声的影响。 　　　　　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 　　　　　由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), 　　　　　∴CD＝120(m)。 　　　　　拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s 　　　　　t＝120m÷5m/s＝24s。 　　答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 　　总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 　　举一反三　【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　解析：他们原来走的路为3+4＝7(m) 　　　　　设走“捷径”的路长为xm，则 　　　　　故少走的路长为7－5＝2(m) 　　　　　又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 　　【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 　　（1）直接写出单位正三角形的高与面积。 　　（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ 　　（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【答案】（1）单位正三角形的高为 ，面积是 。 　　　　　　（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。 　　　　　　（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中， ， 　　　　　　　　 ，故 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 　　3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 　　解：连接AD． 　　　　因为∠BAC=90°，AB=AC．　又因为AD为△ABC的中线， 　　　　所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 　　　　且∠BAD=∠C=45°． 　　　　因为∠EDA+∠ADF=90°．　又因为∠CDF+∠ADF=90°． 　　　　所以∠EDA=∠CDF．　所以△AED≌△CFD（ASA）． 　　　　所以AE=FC=5． 　　　　同理：AF=BE=12． 　　　　在Rt△AEF中，根据勾股定理得： 　　　　 ，所以EF=13。 　　总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 　　（二）方程的思想方法 　　4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、 、 的值。　　　　　　 　 　　思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。 　　解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 　　　　则 ，由勾股定理，得 。 　　　　因为 ，所以 ， 　　　　 ， ， 。 　　总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 　　举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 　　解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 　　　　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 　　　　在Rt△ABF中，　AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 　　　　所以 。　所以 。 　　　　设 ，则 。 　　　　在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。 　　　　 　即EF的长为5cm。