27.巧妙构造 旧貌换新颜(车树勤)

示．由 此联想到方程根与系数的关系．便可 构造出一个方程．利用“方程有解铮 10 I数学金刊·高中版 △>t0”，即可求 出k的范 围，使 问题得 以解 决． 二、巧构向量妙证不等式 例2 设a，b，c，d∈R，求证： + 6c≤、／ +6 -、／c +d2． 证明：设m=(口，b)，，l=(d，C)， 则m·n=ad+bc，lmI：、／ +6 ， IriI=x／-U~ ， 由性质m·，l≤ImI·InI，可得 + bc≤、／ +6 ·、／cz+ ，故命题得证． 点评 ：根 据需证 式子的特点 ，构 造向量．并利用向量的数量积与 向量 模之 间的关系，使命题得证．用此法 解题 时需要观察题 目是否能构造 出 两个向量．再结合向量模的运算以及 向量的数量积的性质等知识 ，向 解的问题靠拢． 三、巧构不等式妙证不等式 例3 若。，b∈ ，a+b=2，求证： 、／ +、／ 丽 ≤2、／了． 证明：何 一v 3 3- 3(v3-C~ )一 ≤ 3·丁3+2a+1=孚( ， 2 3 暇 2x／YgTi-≤孚(6+2)， 所以2VYgi-+2x／Yb7≤半 2)+ (6+2)：2、／了，故命题得证． 点评：由0。b在已知条件中的对称 性可知，只有当 =l，~F2a+l=2b+l=3 时，等号 才成立 ，所 以解题 时 ．-j-构造 局部不等 式．证 明本题这样的不等 式，若从整体上考虑则难以下手，如 果构造若干个结构 完全相 同的局部 不等式，并逐一加以证明，再利用同 向不等式相加的性质．便可使命题得 四、巧构斜率妙求函数值域 倒4 求函数 )= =兰 的值域． Z+COSX 解析 ：今 =一co鲋，O=sinx，贝 )= -旦 ， 1表示单位圆． Z-／z 此时，令k=f(x)，则 表示连结定 点P(2，3)与单位圆上任意一点 ，0) 所得的直线的斜率。显然该直线与圆 相切时， 取得最值．此时，圆心(0，0) 到直线0 一(3—2k)--0~距 离为1，即 ：1，所 2±T2V'3- 1 ．+k 、／ 3 故2一—2X／ — - 3-≤k≤2+—2N／ — - 3 ． 3 3 点评：由函数 )的形式，可以联 想到直线的斜率公式，于是颧 )构 造成斜率公式的形式，即将厂( )看作 定点(2，3)与动点(--COS．a；，sinx)连线的 斜率，gCf(x)~值域为斜率的范围．此 法适 用 于分 式三 角函数 求值域 ．且 分子和分母一个是sinx．另一个是COSX 的情况． 五、巧构函数妙解“恒成立" 例5 若对一切实数 ．不等式 x％ ( 2 x％ 2 4)1>l~ ?r，求实数m的取值 范围． 解析 ：由题 意，知m>0，因此原不 等式恒成立等价于m≤ 2+ 鬲4 =( 2+2)+ 4 —2恒成立 ， 令 f= ，~'Jy----t+ ( ≥2)，即 + 在[2， +∞)上 为增 函数 ，所以t=2，~l'x---O时 ， ym--4．要使不等式m≤( 2+2)+鬲4 — 2恒成立 ，只要m≤ 一2，所 以m≤2， 又，栅 ．故实数，n的取值范围是∞ n≤2． 点评 ：求解恒成立问题 时，可构 造同学们熟悉的函数类型 ．然后根据 函数的性质解题．就本题 而言 ，首先 由观察题干可得m为正数．接着分离 变量，并构造 函数y +旦 ，最后利 用 函数的单调性 求出m的范围．求解这 类问题时经常要用变量分离的方法， 而应用这一方法的关键是分清参数 与 变量 ． 六、巧构数列妙解三角函数 例6已知sin +c。s ÷， (0， 'IT)，求tan0~值 ． 解析 ：由条件si 。。s ，可知 sin ， ，c。s 构成一个等差数列． 设 其公 差 为d，则si胡= _d， c。s ： +d， 由sin +c。s20：1， "-r~r 10 (古一d 古+d 解得扭而7． 又因为 ∈(0 )’所rzZsin ，故d- 舍去 ． 所以拓一 ，则sin8= ．c0s皓一三 ． 10 5 5 故t 皇 ：一 ． cosO 3 点评 ：因为sin0，cos0&间存在 关 系sinZ0+cosZ0=l，所以本题利用等差 数列的性质 ，巧妙 地构造 了sin ， ， cos0~样一个等差数列．从而解出 sin0，cosO~值．注意 ，在求解后还应 枪 盼 三 角 函数 的 取 佶 带．围 七、巧构定值妙求最值 倒7 已知 ，6>0，且 =1， 求n、／丽 的最大值． 解析：因为 ：1，所以2 ， 。 = ／I (2aZ)(1+b：)≤ 2 · ： ． 三：—3X／ — - 2 ． 当且 f2aZ=-l+b ， 即 、／3 I6I= — — ． 2 时 取 6： 2 “ ： ” ，故。 的最大值是 ． 点评：若对扒／T 直接使用均 值不等式，则有n、／ ≤ ± ， 面矾 塑兰坌 堡 显然 +6 不是定值 ．不易求解．观 察 条件 =l，可得2a％bZ=-2，于是 需要 对 与6z的系数进行配凑．构造出2日2+ 6 的形式．利用定值求解．同学们在 应用均值不等式求最值时，应使所构 式子的和或积为定值．而此时往往需要 运用拆项、添项、变系数等变形技巧． 八、巧构图形妙证三角函数 例8设 (0，詈)，试证明： sinot