换元积分法

null第四节第四节二、第二类换元法一、第一类换元法（凑微分法）换元积分法 第五章 null 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧，本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。一、第一类换元法一、第一类换元法定理1.则(也称配元法, 凑微分法)null例1例2null例3例4null例 求解解（二）解（三）（一）null例5例6类似地，null或解例7null例8例9null常用凑微分公式：等等.null练习：null例10例11. 求例11. 求注意：分式拆项是常用的技巧null例 求原式例12. 求例12. 求例13. 求例13. 求解: 原式 =例14. 求解: 原式 =例15. 求例15. 求解:想到公式例16. 求例16. 求想到解:例17. 求例17. 求解:∴ 原式 =例18. 求例18. 求解法1解法2 两法结果一样例19. 求例19. 求解法1 解法 2 解法 2 同样可证null例20例21null例22null例23例24说明:三角函数为偶次幂时,可用倍角公式降低三角函数的幂次.说明:三角函数为奇次幂时,拿出一次去凑微分.null例25说明：当被积函数是 三角函数相乘 时，拆开奇次 项去凑微分.练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分（5）（5）解:null 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。1、常用的几种凑微分形式: 1、常用的几种凑微分形式: 万能凑幂法小结null更多的凑微分方法可参考P2122、常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如null(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法3、新推导的公式:（可直接应用）null作业：P221 2.(10)(12)(14)(16) (18)(20)(22)(24)(26)备用题1. 求备用题1. 求解: 原式 =2. 求2. 求解: 原式3. 求3. 求解: 令则故原式 =注: 当时4. 求4. 求提示:法1法2法3二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题:难求易求易求第二类换元法解决的问题：难求null定理2.称为第二换元法例. 求例. 求解: 令则∴ 原式null例 求解例. 求例. 求解: 令则∴ 原式例. 求例. 求解:令则∴ 原式null令于是null说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令null说明(2) 被积函数没有根式时，为了方便计 算也可采用三角换元.例null 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)解令null 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)令null例：解：null例 求解令null说明(4)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例 求解例. 求例. 求原式解: 令则原式当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .null解例. 求其他方法：例. 求解例. 求例. 求解小结:小结:1. 第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或2. 常用基本积分公式的补充 (P219)2. 常用基本积分公式的补充 (P219)(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒数代换 令null这些公式可直接应用.null例解：null例例例. 求例. 求解: 原式例. 求例. 求解: 原式 =例. 求思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分nullnull练习1解或解：null2. 求解:3.3.求不定积分解：利用凑微分法 ,原式 =令得4.分子分母同除以4.求不定积分解:令原式作业：作业：P222 习题5.4 2. (42) (48) (49)(50) (51) 例. 求例. 求解: 原式令2. 已知2. 已知求解: 两边求导, 得则(代回原变量) 备用题 1. 求下列积分:备用题 1. 求下列积分: