2011北方奥林匹克

《奥林匹克报》 www.mathoe.com Mathematical Olympiad Express 普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。 2011 第 7 届北方数学奥林匹克 2011 年 7 月 27 日吉林大学附属中学 9∶00～12∶00 1、已知数列{ }na 的通项 ( )23 2 nna = + ，n N +∈ ，设 1n n n b a a = + 。 （1）试求 2nb + ， 1nb + ， nb 之间的递推关系；（2）求 2001a 的整数部分的个位数字。 2、如图，△ ABC的内切圆分别切BC、CA、 AB于D、E、 F 点，P为内切圆内一点， 线段 PA、 PB、PC分别交内切圆于点 X 、Y 、Z 。 求证： XD、YE、 ZF三条直线相交于一点。 Z Y X E D F A B C P 3、求不定方程 21 2 7x y z+ ⋅ = 的全部正整数解 ( ), ,x y z 。 4、设n个集合是集合 1A， 2A ，……， nA 是集合 { }1, 2,3, , 29A = " 的一个分划， 且 iA（ i＝1，2，……， n）中任意个元素之和都不等于 30，求n的最小可能值。 注：若集合 A的非空子集 1A ， 2A ，……， nA （ n N +∈ ， n≥2）满足： i jA A =∅∩ （ i≠ j ），且 1 2 nA A A A=∪ ∪"∪ ，则称 1A， 2A ，……， nA 是集合 A的一个分划。 《数学奥林匹克报》 www.mathoe.com Mathematical Olympiad Express 普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。 2011 第 7 届北方数学奥林匹克 2011 年 7 月 28 日吉林大学附属中学 9∶00～12∶00 5、若正整数a，b， c满足 2 2 2a b c+ = ，则称 ( ), ,a b c 为勾股数组。求含有 30 的所有勾股数组。 6、如图，过点P引圆O的切线PA和割线 PBC ， AD⊥PO，垂足为D。 求证： AC是△ ABD外接圆的切线。 B D O A P C 7、在△ ABC中，求证： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos cos 1 cos cos 1 cos cosA B B C C A + ++ + + + + + ≤2。 8、已知n是正整数，实数 x满足 ( )1 2 3 1n n x x− − − − − − =" 。求 x的值。