自然数

生的二次曲枝 歌有成射影对应的两个轴不共面的点列 及 。 如果 及 。 之无穷远点不相对应 , 刻这个曲面阱做 单叶双曲面 , 此时两族母换均不在无穷远 , 换言之无穷 远钱不是母钱 , 另一方面如果无穷远点相对应 , 哄做 双曲抛物面 , 此时有一条 , 钱在无穷远 由于任何平 面握过 , 钱必含 钱 , 故此时无穷远面含 钱及 , 接 , 而与曲面相切 单叶双曲面的切面与曲面交于两值钱 , 任何平行 于切面之有穷平面与曲面相交的二次曲使有两个无穷 远点而是一个双曲挑 如果切面之切点为无穷远点 , 亦印切面之 “ 技与 , 拢互相平行 , 此时平行平面的截 钱将为一抛物钱 任何不平行于切面的有穷平面与所 有母钱均交于有穷点 , 故交陇是椭圆 双曲抛物面的 一个平截徒是双曲钱或抛物钱 , 系依此截面与无穷远 面上两母钱相交于两个不同点或樱过它们 的 交 点 而 定 未完 自 然 数 吴 品 三 在数学概念中 , 我们接触最早的并且也是最熟悉 的应触算是自然数了 每个人不 渝是在 日常生 活中 , 还是在生产实践中 , 都随时随 地的与 自然 数发 生关 系 人护,对自然数的运算熟悉到这样程度 几乎不用 思考就能进行 对自然数的性盾 , 也能够运用自如 这 样琳悉的概念 , 按道理耕 , 似乎应孩了解得 一 一分透彻 , 不会发生什么简题 , 然而 , 仔袖考虑一下 , 事情井不是 这样 我仍对于一些最熟悉的概念 , 往往由于这些概 念本身比较商单 , 不容易发生简题 但是 , 一 旦发生简 邃 , 往往不容易解决 例如 , 以白颜色为例 , 这是我们 每个人都非常熟悉的 , 很容易刹别一个东西是白的或 者不是白的 然而 , 如果追阴一下 什么是“ 白 ,’ 那末 , 就不是人人都能回答的简题了 一靛到 “ 白 ” , 焉上联 想到一些具体的东西 白的机 , 白色的粉笔 , 白色的墙 等等 , 但是 , 抽象的“ 白 ”的概念究竟是什么呢 用数学 上所习惯的提阴题的方式来简 , 就是 “ 白是怎样定义 的 ’’再举一个例子来看 , “尺 ”也是我们所熟悉的东西 , 一尺长的布 , 一尺长的棍子 , 我介,都知道“一尺 ,是长的 度量单位 , 一歌到“ 一尺 ” , 焉上联想到量布用的尺的具 体形象 , 或者是一尺长的具体东西 , 但是 , 如果要简 抽 象的尺的概念是怎样定义的 那末 , 这又是一个不容 搜, 回答的阴题 对于 自然数 , 也有类似情况 自然数 是什么 容易回答靛 , 自然数就是 , , , ⋯⋯ 仔袖 研究一下 , 就会发现这个答案不 能令人 满意 , 因为 , , , , ⋯⋯只不付是示 自然数 的符号 , 正象对于 “平行四边形是什么 ,钠简题 , 回答为“ 平行四边形就是 口 ” 一样的不能令人满意 在中学教科书上我刊可以 看到 有一对对边平行且相等的四边形哄做平行四边 形 , 并且用符号口表示它 由于 自然数的定 义超出 中 · 总 甲夕 · 学数学的范围 , 因而在中学教科书上找不到“ 自然数是 什么 ”的回答 解放前流行的教本范氏代数的第一篇数 系中有关于 自然数的理渝 , 但是 , 一般习惯都是从第二 篇开始耕授 , 因而也接触不到这个简题 本来 , 人类 由于樱济生活的需要 , 在很长很长的过程中 , 逐渐形成 了自然数的檄念 , 在数学上一道把它当作最明显 、最基 本的概念来应用 , 多少世祀以来 , 没有发生用更商单的 概念来靛明它 、定义它的简题 值到十 , 世纪中叶 , 在 数学的公理发展的影响下 , 才提出 “ 自然数是什 么 ,节勺阴题 , 按照公理法的要求 , 数学上每一个概念都 希望用更商单的概念来定义 , 最后归桔为几个最基本 的不定 义的概念 已知概念的每一个性盾 , 也希望由几 个不加推导的最墓本的性盾 公理 推导出来 对于 自 然数 , 自然也发生这个简蹬 , 自然数可以用什么样的最 奎本概念来定 义呢 哪些是自然数的最 基本的 性盾 , 其余性质均可由这儿个最基本的性厦推导出来 由于 自然数有两种功用 表示个数和表示次序 , 因而产生了 自然数的两种理渝 自然数的荃数理渝以及 自然数的 序数理渝 , 这个工作是在十 九世耙中 、末叶分别由德国 数学家康托尔 以及意大利数学家匹阿藉 。 完成的 本文打算在中学数学的基础上 , 介招自然数的理渝 , 对于通常所熟悉的自然数的性盾 , 渝征它们的根据 , 这里很少有新的事实介耙抬液者 , 但 是 , 菠者在本文中可以了解到 自然数的性盾哪些是应 敲视明的以及如何荻明 自然数的定义 为了介招 自然数的定 义 , 我们先考查一下前面提 出过的“ 白 ’,和“ 一尺 , ,这两个概念的形成 先看“ 白”这 个概念 最初人俏没有抽象的“ 白 ” , 只是通过比较 , 敲 撤各种物体都有颤色 , 有的颇色相同 , 有的颜色不同 此处可坎不需要知道 “颜色 ” 这个概念 , 只是所考查物 体的某种具体属性 , 通过比蛟 , 知道它们相同或不同 然后 , 把所有颜色相同的物体放在一类 , 这样 , 就把人 类所能看到的物体分成若干种不同的类 , 任何一种物 体都属于某一类 , 同一类中的物体颜色都相同 , 而不同 类中物体颜色不同 径过这样分类以后 , 我们可以靓 , 每一类中的所有物体都具有一个共同的属性 , 这个属 性就是颇色 “ 白 ,嗽是含有某个特定物体 例如粉笔 的某一类所具有的共同属性 人类就是通岔‘比较 ”和 “分类 , 而得出抽象的“ 白 ,钠概念的 至于“ 一尺 ”的确 定 , 也有类似趁程 首先把人类所考查到的所有物体夕 按长度相同来分类 , 此处也不需耍知道长度是怎样一 个概念 , 只是通过比较 , 就可确定两个物体是否等长 这样 , 就得到若千类 , 和前面一样 , 任一物体均属于一 个确定的类 , 同一类中物体均等长 , 而不同类的物体不 等长 所稍长度 , 就是每一类中所有物体所具有的共 同属性 “ 一尺 ,嗽是我们心目中将耍把它的长阱做一 尺的某个特定对象所在的类所具有的共同性质 以上 决老‘一尺 ”的两个步砚 先用等长分类 , 然后再选择特 定对象 , 在实际进行时只有后一步 , 前者是抽象的思 考过程 关于形蜜‘白 ”的概念时也是如此 通过以上 描远 注意 , 此处仅是描远而不是定 义 , 我们会想到定 义自然数的途径 把若千个物体的集体 集合 当作我 们思考的对象 , 涌过比蛟来确定所考虑的集合中物体 个数是否相同 , 利用个数相同把集合分类 , 使得每一个 集合均属于某一类 , 同属于一类的集合中物体个数相 同 , 属于不同类的集合中的物体个数不同 所稍数 , 就 是每一类的所有集合所具有的共同性盾 这也仅是描 远而不是定义 , 因为 , 我们还未拾个数相同下定 义 , 直 观地可以理娜‘三个人 ”的集合与“ 三本书”的集合的个 数相同 , 但是 , “平面上的所有点” 的集合与“值拢上的 所有点” 的集合是否个数相同 这就超出了我们平常 对个数相同了解的范围了 因此 , 需耍拾 “个数相同 ” 这个概念下定义 , 这是容易办到的 以下我们将要介 貂的一一对应 , 实盾上就是个数相同这个概念的一般 情形 。 其次 , 用每一类的所有集合所具有的共同性盾 来作为数的定义 , 还有两个简题需要解决 什么是 “性 质 ,’ 如何知道同一类的集合仅有一个共同性质 为 了避免这两个不容易回答的简题 , 有人主张用整个类 作为数的定义 , 也就是挽 , 按照上述分类 , 每一个集合 均在且仅在一类 , 把这个类 阱做 此类 中每一 集合的 个 数 或基数 但是 , 由于集合瑜上避免歌渝一切 集合的集合这样简题 它将导至矛盾 , 而且通过这样 定义得到的是一般基数而不 仅限 于 自然数 有 限玺 数 , 故这里我们不打算祥袖封豁这个定义 , 以下将朵 取另外一种办法 , 类似于上面提到的决定 “ 一尺 ”的实 际途径 省略分类 。 我们需要先介招集合与一一对应这两个概念 集合是数学上最基本的不加定 义的概念之一 , 通 常用大写拉丁字母 汉 , , , ⋯表示 , 可以描述为 “若 干个个体所构成的一个整体 集合 ”每一个个体 , 作为 我仍思考对象 , 均称之为元素 , 通常用小写拉丁字母 。 , 石, 。 , ⋯表示 , 元素的基本性质就是能判别其异同 所稠一个集合刁 已抬出 , 就是靛 , 能够钊别每一个元素 “ 属于过 表为 哎刃或者不属于才 表示 。 峡刃 集 合也常用指出元素的办法抬出 , 例如 才 , 才 。 , , , 月 , , , ⋯ 需耍注意 , 仅含有单独一个元素 ‘ 的集合 二 。 与 仅含有集合 才 作为其元素的集合 人 ‘ 的差别 , 因为 , 。〔肉 , 但 。 曦 当且仅当两个集合中 任一集合的每一元素都是另一集合的元素时 , 定 义这 两个集合为相等的 上面的两个集合 才 , 几 是不相等 的 如果刁 的每一元素均属于 , 锐汉 含于 , 或 者靛涯 是 的一个子集 , 表为 汉二 如果 汉 , 但 才气 , 靛涯 是 的一个真子集 , 表为 才 由所有 或属于才 或属于 石 或同时属于二者 的元素所祖成的 集合阱做 汉 , 的和 , 表为 刁 由同时属于 , 的 一切元素所粗成的集合 , 阱做 才 , 的交 , 表为 一一对应也是数学上最重要的荃本概念之一 , 通 常用法 来定 义它 定义 殷 汉 , 是两个集合 , 一个法刻 阱做 , 简的一个一一对应 , 如果 了具有以下三个性质 对于 中每一元素 。 , 通过 , 在 中可唯一确 定一个元素 , 叫 ‘ 做 “ 在 下的象 , 表为 。 对于才 中任意两个元素 , , , 如果 , 气 , 朋 有 戈 对于 中每一元素 , 座 中存在一个元素 。 , 使 占 存在一一对应的两个集合 注 , 叫做等价的 , 表为 注 。 容易征明 , 集合的等价具有以下三个性盾 汉 汉 若 过 , 若 刁 , , 只 月 于是 , 利用等价 , 可以把我们所封输的所有集合分类 , 使得每一集 合都属于一个确定的类 , 同一类中所有集 合彼此等价 , 属于不同类的集合不等价 按照前面叙述过的步麟 , 以下需要选择特定集合 · 总 呼 了 作为我护,心日中的自然数 , 为此 , 先介韶几个名祠 我们把不含任何元素的集合哄做一个室集 , 用符 号 中衣示 换句韶歌 , 中是这样的一个集合 , 对于任何 元龚 二 , 均有 二 咬价 这是唯一确定的集 合 定义 殷 是任意集合 , 我们把集合 才 阱 做川均后艇集合 , 用符号 表示 , 郎 才 才 才 用符号 。表示 叻 , 表示 , 表示 , 加此批植 下去 , 即 币 , 二 户 , “ , , , , , , 等等 “ 等等 ”是通常习惯的靛法 , 严格的靛 , 我们达需耍一个 公理 , 郎 无穷公理 存在一个集合 , 含有 。, 并且含有其每 一元紊的后耀者 注意 , 此命题断言存在的这个集合 , 其元素仍是集 合 , 故所稠每一元素的后艇者 , 实际指后艇集合 为什么把这个命题阱做公理 这是很 明 显 的 “ 等等”产如此凝艘下去 ”的含意 , 涌过这个公理 , 得到 确切的意义 至于这个公理之所以哄做无穷公理 , 也 容易理解 , 我仍将把公理所断言存在的集合叫 一 做无穷 集合。 定义 一个集合 阱做后艇者集合 , 如果 。〔, 井且 , 当 , 〔 时 , 饭有 二 无穷公理表示后麟者集合的存在 定理 一切后社者集合的交仍 是一个 后推者集 合 , 这是唯一的一个最小后耀者集合 「在 〕歌 甲 表示一切后凝者集合的交 , 由于每一 后耀者集合均含有 。, 故 妊 其次 , 殷 戏 砰 , 二 属于每一后雄者集合 , 故 砂 也属于每一后耀者集合 , 因而 二 属于 甲 , 郎诊是一个后糙者集合 唯一 生和 最小性是非常明显的 定义 命 。表示 珍 中不等于 的所有元素所粗 成的集合 , 。的元紊阱做自然数 , 。哄做自然数系 按照这个定义 , 自然数是我们选定的一系列特殊 的集合 , 它们是由唯一的室集开始 , 逐次把自身作为元 案添加进去而得出的 自然数系可作为我们数数的标准 定义 如果集合 能与 自然数系 。 中某 个 元素 ” 等价 , 那末 , 就靛 二 是 的元素的个数 人类握过长 期的社会实践 , 才逐场靳得到完整 的数 数的 标准 集合 一一自然数系 , 我们考查一下儿童学习数数的社程 , 也 · 料 总 乎 乎 能祝明一一对应与标准集合的重要性 , 首先能够背涌 出部分的自然数系 , 例如 一 。, 才能够正确地数出十 个东西 , 而数数的过程 , 不过是作一一对应的过程 , 例 如在数十个指头时 , 搬第一个指头 , 口 中歌一 , 搬第二 个指头 , 口 中靛二 , 搬最后一个指头 , 「孑中靓十 , 数数的 过程胳止 , 文际是把指头的集合与 自然数系中的元紊 , , ⋯ , 作一一对应 , 由于一一对应存在 , 郎 指头集合与 等价 , 得到指头的个数 匹 阿 菇 公 理 前面得出的自然数系具有以下最墓本比责 , 所有 其它性质都能由此推导出 定理 。具有以下性质 〔 ‘ 、 若 , 佗。 , 只任二 〔“ 川 若 占 是 。 的具有以下两个性质的子集 一 一 , 一 若 , 〔 , 员 二 〔 , 贝叮 田 对 。 中任何元素 , , 均有 砂等 若 , , , 〔。 , , 。 , 员小。 ” , , 成立 , 是十分明显的 , 通常哄 做数学归钠法原理 , 它是数学上一种很重要的征明方 法 —数学归把法的根据 我们知道 , 凡是对任意自 然数都成立的命题 , 一般都应熟用数学归柳法荻明 , 它 有种种形式 第一数学归栖法 , 第二数学归钠法 , 倒准 归纳法等等 中学代数上介招的是第 一数学归 纳法 , 它是达样叙述的 第一数学归栩法 教在某个命题 广勺陈述中含有 任意 自然数 二 , 用符号 双哟表示这个 命题 如果 约 尸 、 , 当 刀 时戊立 从 列川的正确性能推出 尸 矿 的正确性 , 那 末 , 尸 司对任何 自然数都成立 一般 , 对这个方法的正确性是 这徉 征明的 “ 由 , 成立 , 再由 , 从 的正确性能推出 自 的正确性 , 由 的正确性又能推出 川 郎 以 的正确性 , 如此艳被下去 , 故对于任意 二 , 尸 哟都成立 ” 严格的靓 , 这种救述不能当作征明 , 因为 , “如此艇植下去 ” 不是一个数学概念 , 如果要简 , 勺什么如此超授下去就能得出对全部自然数都成立为 姑瑜呢 那末 , 通常只能回答靛 , 这是自然数的基本险 盾 , 到此为止 , 不能再解释了 现在我们可以看出 , 由 自然数的定义 , 可知 川 成立 , 而由 川 , 可江明第一 归袖法 拨 是使得命题成立的所有 自然数的 集合 , 由 一 , 〔 由 当 , 〔 时饭有 。 好 掇据 、, “ , 郎对一切 自然数 , 都成立 现在来蔽明 毅 是所有具有性盾 砂续 的 自然数 ‘ 的集合 , 因为 , 故 气 若 二 , 贝甘 , 于是 , 有 , 宫口 〔 , 矛盾 , 因之 , 〔￡ 假定 。〔 , 已口, 共 , 由于 。 十 矿 , 如果 。 十 二 , 员叮 。 ” 。 , 由 此得 犷二 , 但 矿 恒含有 。 , 而 , 故 矿 不是 的真于集 , 于是 , 得出 砂 , 与归柳假定相矛盾 , 此 矛盾靛明 砂〔 由 , 二 , 郎对于一切 自然数 , 均有 。 气 为了征明 , 需耍先征两个引理 引理 任意自然数都不是它的元素的于集 我诩先解释一下引理 的意义 由定义 , 自然数是 我们选定的特殊的一类集合 , 而这些集合中的元素仍 然是集合 引理表明 , 若 , 是自然数 , 二 是 , 的任意元 素 二 也是集合 , 不含于 二 用式子表示 , 郎 若 , 〔“ , 且 。龚二 〔征 毅 是所有不是其元素的子集的 自然数的 集合 〔 因为 , 的元紊只有 书 而 价不含任何元素 , 故 缤 假定 , 〔 夕 即 , 不是其 任何元素的于集 , 但 二里 。 , 故 , 哄。 我们将征明 , 砂 也不是其任何元紊的子集 用反征法 如果存在 硬 , 。 , , 那末 , 由于 。 。 , 故有 , 或 分 , 如果 二 〔。 , 由归扔假定 , 。龚二 , 由此得 矿笙 , 矛盾 如果 , , 那宋 , 。 二 。 , 自 , 。 二 , , 从而有 。印 , 与归扔假定 。 峡。 矛盾 因此 , 砂 不能是其任何 元素的子集 , 即 矿郎 由 川 , ‘ 。 , 引理被趾明 引理 自然数的任一元素均是自然数的子集 征 歌 是所有这样自然数 的集合 对任意 , 〔, , 均有 二 , 于是 因 于 二 二 , 而 一的元素只有 。, 但 。二 , 假定 二 〔 , 自 二 〔二 , 饭有 二 , 如果 二 〔。 , 员 二 〔二 或 二 二 。 , 在前 一情形 , 由妇柳假定 , 有 二 ” , 故 砂 , 在后一情形 , 也有 二二砂 因之 , 砂 〔 郎 , 引理被征明 现在可以视明 。 歌 。 二 , 由于 , 。 , 故 。〔二 , 。 , 于 是 二 , 或 。 。 同样方法 , 得到 二臼 或 , , 如果 二气 。 , , 〔。 , 〔帐 达将导至矛盾 , 因为 , 〔。 , 因引理 , 得到 ” 但 枷 , 由引理 , 恒有 等二 , 矛后 此矛盾盆明 气 赴我们指出 一 是自然数的最荃 本性 盾 , 所有其它性度 , 均可由这五个性质导出 , 因此 , 也可以 用这五个性质来定义 自然数 , 换言之 , 定理 可以采取 作为最基本的不加征明的命题 , 郎公理 , 匹阿豁是这样 做的 所以油常称 一 为匹阿滞公理 他利用两 个不定义的基本概念 “ ” 和“后面一个 ,’后耀者 , 前 者是不定义的名祠 , 后者是不定义的关系 凡是具有 上述五个性盾的集合都叫做自然数系 , 自然数系中的 元素阱自然数 这样 , 自然数系不是唯一的 , 但是 , 可 以赶明 任意两个自然数系 , 对于关系 “后面一个 ”来 靛 , 都是同构的 很多书上关于自然数理渝的叙述 , 是从匹阿皓公 理开始的 例如 , 后面提到的参考书 的第三章 , 它 比杖简单 , 容易为人们所接受 自然数的运算 有人在形容事件的真实性不容怀疑的时候税 , “就 象 加 等于 , 那样正确 ” , 可晃 二 已成为不可 反驳 、无可争拼的范例 的确 , 由于人们亿万次的实践 两本书加三本书等于五本书 , 两个人加三个人等于五 个人 , 等等 , 得出这个概括性的抽象命题 两个加三 卜 等于五个 , 是不容怀疑的 , 但是 , 从数学体系的越朝性 耍求来看 , 对于一个永远成立的命脱 , 常常要简 这是 可以题明的 定理 还是采取作为荃本命题而不加征 明的 公理 因此 , 我们需耍回 咨 ‘ , 十 ”是定理还 是定义的简题 为此 , 我们需要先考虑一下自然数的 加法是什么 也静有人靛 , 加法是一种代数运算 , 那 末 , 我们就需要弄清楚什么是代数运算 这里我们不 打算介貂一般的代数廷算 可以参看参考书【 的第二 章 , , 主要弄清 自然数的加法和乘法是什么 我们 靛 , 我俐会做自然数加法 , 这是什么意思呢 这就是 就 , 我们掌握了一种方法 , 或者靛一种规 , 对于任意 两个 自然数 , 通过这种规 , 能得出一个唯一确定的自 然数 这种观 是大家都会的 , 但是 , 并不是每个人都 能很好地叙述倪 的内容 我和回忆一下小学一年极 算术 ,其主耍内容就是介韶这种规 先致十以内的孜 的加法 一共 条 , 必需背熟 , 然后教整十 , 整百 , 格 千 , ⋯的加法 , 在这个基础上 , 就得出加法的一般规则 例如 二 , 烧则是按位数相加 , 满 十进 一位 实际根据是 等于二个 与四个 , 等于 一 个 与八个 , 利用桔合律 , 交换律 , 根据这个规 , 我们就能舒算任意两 个自然 数的和 这种描述 , 是儿童所能接受的 , 但不能作为加法的定 义 , 因为 , 规 本身就利用了加法 , 例如 , 十 , 而且利用了算律 , 自然又发生精合律是定理还是公理 的简题 当然 , 我们可以象 以内加法那样 , 列举出 任意两个自然数的和是什么 , 来拾出加法的规 , 但 是 , 这样一来 , 在教述上我们将要遇到困难 匹阿豁发现 , 利用数学归韧法 , 可以很好地胎出 自 · 总 多 然数的力口法定义 , 郎 定义 自然数的加法是指具有下 述性盾 的对应 规 对于任意自然数 。 , , , 的 是唯一确定的 自然数 对于任意自然数 , , 对任意自然数 , , , , 石 干 可以证明 , 具有上述性质的规则 是存在的 , 并且是唯 一的 , 我们把这个唯一确定的新浪吐 , 用 “ ”表示 , 把 , 石 鼠作 , 哄做 。 , 石的和 类似地 , 我介,可以定 义自然数的乘法 定义 自然数的乘法是指具有下述 性质 的对应 规 对于任意自然数 。 , , 或 , 句是唯一确定的自 然数 对于任意自然数 , , 。 对于任意自然数 , , , 召 , 可以征明 , 具有上述性厦的规刻 召 是存在的 , 并且是唯 一的 , 我们把这个唯一确定的规具 , 用“ ”或‘ · ”表 示 , 把 。 , 靛作 石或 。 · , 阱做 , 的积 由这两个定义出发 , 可以征明我俏所熟悉的五个 算律 , 即加法桔合律 、加法交换律 、乘法桔合律 、乘法交 换律 、 加法对乘法的分配律 这些荻明可以在后面提 到的参考书〔习的第三章中找到 利用加法定义 , 我们可以征明 , 了 我们 先写出自然数系中前 个数 飞, , , , 斗 首先 , 加法定义 的定义 其次 , 的定义 加法定义 等式 礴的定义 最后 , 的定义 加法定义 等式 的定义 自然数的顺序 “顺序 ” 或者次序 也是我们非常熟悉 的一 个概 念 但是 , 如果要简 ‘ , 厦序 ”是什么 那末 , 这又是一 个不容易回答的阴题 。 我俐对于一些最 基本 的概念 , 往往是这样 ,熟悉它 , 也能够运用 ,但不易靛出它的确切 定 义 也歌有人会靛 , 学习数学的目的是为了应用 , 为 了解决实际简题 , 对于一些爹本概念 , 既然能够惫用也 · 总 · 就够了 , 不必追根简底 , 定义是什么 这括是有道理 的 但是 , 另一方面 , “含甘够运用 ”夕一般的靛 , 是一个相 对的简题 , 我们了解得不十分透的概念 , 运用起来 , 一 定耍受到某种限制 , 在这个范围内能运用 , 在另一范围 内 , 也静运用得不够好 , 更进一步 , 可能又不会应用了 。 例如 , 如果仅仅会解某些方程 , 而不知道方程的定义 、 解方程的确切含义 , 那末 , 进一步豁渝方程时一定耍发 生简题 , 如果不知道数目顺序的确切定义 , 那末 , 例如 在进一步豁渝复数时一定弄不清楚为什么复数没有大 小 为了知道自然数顺序的确切意义 , 我哟先从一般 的顺序歌起 例如 , 某公共汽审站有五个人等候汽窜, 我们能 , 这五个人 已有了上卑的顺序 , 这句括的确切含 义是 已有了一种方法 , 或者靛一种规 , 通过它 , 对于 这五个人中任意两个 , 可以决定哪一个先上审 自然 , 如果 在 石先上审 , 又在 ‘ 先上审 , 那末 , 应有 ‘ 在 ‘ 先上审 这种规则通常是用排队拾出的 , 郎排好了 队 , 依队中的先后次序上丰 但排不排队 , 并不是主要 的 , 不耕队也可以胎出说刻 , 例如 , 这五个人是一家人 , 那末 , 依长幼次序上本也可以胎出这种规明 由此可 晃 , 顺序的本盾是拾出具有上述条件的规则 一种规 则就是一种顺序 , 不同的规员 , 就是不同的顺序 例 如 , 这五个人已排好了队 , 规 是按队 中的先后次序上 草 , 但在汽审到来后 , 当中一人先上了事 , 其余仍搜先 后次序 , 我哟歌 , 这个人未按顺序 , 其突 , 就上率来貌 , 仍然是有顺序的 , 不过不是前一顺序而已 定义 歌 是拾定的一个集合 , 我们魏 , 月 有 一 一种顺序 , 就是就 , 存在一个规 , 通过它 , 可以确定 才 中任意两个不同的元素阴适不适合某种关 书 当 。 , 石 朋适合某种关系时 , 用祀号 。 表示 , 这种关系具 有以下性盾 对 才 中任意两个元素 。 , 气 二 石一 , 石 , 三者必居其一且仅居其一 若 , 。 , ‘ 具有顺序的集合阱做一个有序集 例如 , 汪 表示前面五个人的集合 , 关系是 ‘ , 在 先上审 ” , 规只的内容是 · 按到达审站的先后次序 此处 我们假定不尤养有两人同时上审 如果恰好有两个 人同时到达 , 那末 , 这个规 不能胎出一种顺序 , 因为 , 通过这个观则 , 无法确定这两个人简是否适 合这种关 系 如果在规 中再补充一点内容 , 即同时到达的按 长幼次序 如果可分出长幼的钻 上审 , 那末 , 才 就有了 顺序 , 因而是有序集 如果这五个人已排好了队 , 规 内容是 “按队中先后次序上事 , , 这是一种顺序 , 若规 内容是“当中的人先上 , 其余按后先次序 , , , 这又是一种 顺序 由此可见 , 同一集合 , 可以有不同顺序 , 因而做 威不同的有序集 上例中的 才 , 有 二 种顺序 自然数的顺序是什么 换言之 , 具有上述性盾的 规 是什么 容易看出 , 自然数作为一个集合来耕 , 有 很多很多种顺序 , 但是 , 我们所熟悉的自然数顺序是唯 一的 , 因之 , 自然数顺序 , 不仅是上述意义下的顺序 , 而 且应敲有进一步要求 , 达种要求 , 使得自然数顺序是唯 一的 由于 自然数有运算 , 使我们想到用 自然数的运 算来描述这种要求 定义 自然数的顺序是指具有以下性 质的 一种 顺序 集合 。的顺序 若 , 员 这个定义表明 , 自然数顺序 , 不仅是一般的顺序 适合定义 中的 , , 而且有进一 步的要求 适合 , 自然发生这样简题 能否对 自然数集合。定 义一 ’ 种顺序 , 使之适合条件 , 其次 , 还要征明适合条 件 , 的顺序是唯一的 下面定理解决 自然数顺序的存在简题 定理 对于任意自然数 。 , 石, 下而三种情形有一 种且仅有一种成立 。 “ 石 存在自然数 左, 使得 。 十 七 存在 自然数 , 使得 。 十 趾明可参看参考书【 第三章 利用定理 , 可在“ 中引人顺序 当 。 左时 , 规定 。 , 于是 , 不难髓靓 , 定义 中的 , 成立 , 并 且 , 定义 的 , 也成立 , 这样 , 我们便有了一种自 然数的顺序 。 为了在明 自然数顺序的唯一性 , 我积弓先征明 , 任一 种自然数顺序 , 都具有以下性盾 若 。 , 具对于任意 , 均有 。 。 。 成 色 或 二 , 是任意 自然数 若 。 , 员任 占 若 , 存在且仅存在一个 , , 使 广 二 占 我们把这个由 唯一确定的 , 表为 一 以上所提到的字母 , 均表示自然数 利用数学归钠法 原理 , 很容易视明这些性厦 , 此处我们仅征明 及 , 其余可留作栋习 。 的礼明 敖 是使得命题成立的所有 自然数 ‘ 的集合 , 由定义 , , 〔 歌 〔月了, 自盯, 由 , 甸 知 。 。 , 仍然由定义 , , 由加法定义 , 。 。 , 。 , 自口 , 也就是靛 , 〔 因之 , 。 , 良口 得征 的靓明 此处我们假定 一 已被赶明 。 的唯一性是明显的 , 因为 , 若 尹 二 占, 尹 朽 则 , , 由定理 得 , ” 殷 是使得命题成立的所有 以及 的集合 , 靛 石〔 , 由 , 蕊 若 , 只 , 自口 〔 , 若 , 具存在 , 使 夕 , 由于 , , 郎 , , 且 , 故 〔 又由 〔 , 故 二 。 , 自口 得征 。 现在可靓 自然数顺序的唯一性 , 郎 自然数的任意 一种顺序 , 均与上面引入的顺序是一致的 , 郎是 定理 殷 ‘ 占, 存在 自然数 寿, 使 友 征 〕歌 是使得定理成立的所有 自然数 “ 的集 合 , 由于 , 当 占时 , 存在 舜, 使 女 , 自口 灸, 这就赶明了 毅 〔 , 自当 时 , 有 。 及, 希望题明 , 当 时 , 有 。 由 , 但 。 , 故 由 , 毛 , 而 ‘ 。 , 故 由 , 存在 , 占 二 但 , 仓口 由 , 得 , 但 〔 , 故 二 。 左 于 是 , 二 左, 自 ‘ 斗 友, 也就是靛 , 当 〔 时 , 也有 〔 , 自 。 , 定理蔽毕 由定理 , 可得出以下将耍用到的一个 。 推输 若 。 , 员 , 成 〔征 因 , 故 。 友 由 , 瞬左 当 左时 , 有 , 当 气 左时 , 有 冷 由 。 左 。 , 郎 , 总之 , 有 靓毕 现在 , 可涎明我们所熟悉的关于 自然数顺序的一 个重要定理 定理 夏序原 自然数的非室集合 月 一定含 有最小者 , 郎涯 中存在一个 自然数 。 , 对于 刁 中任意 二 , 均有 。续 「征 歌 是所有具有性盾 成 , 的 自然数 , 的 集合 , 此处 二 是涯 中任意 自然数 由 〔 因 非室 , 故存在 〔才 , 由 , , 故 士峡 若 〔 , 剧 提 , 矛盾 这就是就 , 等“ 我们靓 , 存在一 个 自然数 。 〔 , 毕 , 因为 , 如果不是这样的韶 , 郎 对于任意 〔 , 均有 〔 , 又由 〔 , 那宋 , 将有 二 。 , 矛盾 可靓这个 “ 就适合我们的要求 区为 。〔 , 故对于 滩 中任意 , , 有 。提气 其次 , 需耍证明 。 如果不是这样的韶 , 那末 , 对于 刁 中任意 二 , 将有 , 由定理 斗 , 推渝 , 〔 , 因而 将在对 中 , 这与 下姐第 直 · 总 甲 函 咬 图 又 面性 、 回答简题的耀辑性方面是有很大价值 的 一般靛来 , 达类简距的答案可分为 成 立 、不成立 、不一定成立三种 在回答孩类阴题时 , 应当教抬学生这样 的思想方法 欲貌明成立时 , 必须靛明所封希 的对象的集合中的各种情况都是成立的 即 要求赶明 欲就明不成立时 , 只需举出一个 特例就足够了 欲渝明不一定时 , 需例举出所 在第三种情况下 , 速 , 艺 月 乙 , 即 乙 。“ 所以 乙 建 所对的弧必 大千半圆 尹 一 、 故工件 刁 ”旧 小于半周 因此 , 在第二种 · 清况下表明刨得太多 夕在第三种情 况下表明刨得太少 , 只有第一种隋况才是合格的 上述三例可分别归桔为作图题 , 针算题和征明涯 它们的解答的书写格式亦如上述 此外 , 有些题目要求回答操作方法 , 例如 “ 怎样用 三角板来找一个圆的圆心” 对此 , 答出操作顺序就行 了 图 的 【解 将三角板的 值角值置于圆 圆周 上 , 使其二直角边与 圆相 交 , 豁下交点为 , 将三角板换一个位 登 , 按上述同样方法韶下 二值角边 与圆 交点 为 月 ‘ 速 , ‘ ’ , 才 与 刀 ‘了 之交点郎为所抬圆 的圆心 总之 , 对解桔合实际的习题 , 要求学生 第一 , 能把 它化为数学简题 第二 , 能够明白 、确切地表达出来 五 时摘肠 这类阴题在帮助学生加深理解与运 用几何概念 、定理方面 , 以及在培养学生考虑简题的全 封渝的对象的集合中威立的情况以 及不成立的 节敬兄, 或者是当着成立的情况比较明显时 , 只需举出不成立 的特例也就行了 教科书中有不少这样的题目 , 在教学过程中应歌 很好地利用它 , 同时也可适当挑选一些类似的题目 理‘相似形 , , 一章为例 , 教科书中有如下一些题目 所有的正方形是不是都相似 所有的姜形呢 所有的矩形呢 为什么 能不能肯定 功 所有的等腰三角 形都相似 所有的等腰道角三角形都相似 所有的等边三角形都相似 除上述题目外 , 还 一 可桐选如下一些题目 能不能断定矩形和正方形是相似的 正方形与 菱形呢 为什么 矩形境框的内矩形与外矩形是不是相似的 梯形的中位钱把原梯形分成两个小梯形 , 它们 是不是相似的 为什么 斗 平行于平行四边形一祖对边的值钱 吧原平行四 边形分成两个小平行四边形 , 它仍是不是相似的 两个等腰三角形都有一个角等于 。 , 它护,是 不是相似的 为什么 两个等腰三角形都有一个角等于 。“ , 它们是 不是相似的 为什么 上接第 直 。 的选择相矛盾 靓毕 利用良序原 , 可以征明 第二教学归栩法 毅尸 哟是涉及任意自然数的一 个命题 , 如果 当 。 一时 , 。 成立 在 友 对于任意小于 ” 。牛 的自然数 左都 成立的假定下 , 可以靓明 哟也成立 那末 , 司对于任意自然数都成立 蔽 如果 尸 哟不是对于所有自然数都成立 , 那 末 , 使得 尸 的 不成立的一切 自然数 , 的集 合 不是空 集 由定理 嘴 , 含有最小者 。 由于 以 成立 , 故 咬 , 郎 策 因 , 故 不成立 由 是 的 最小者 , 故对于任意 掩 , , 均有 女峡 , 即 尸 劝 成立 , 由 可知 也成立 , 矛盾 , 此矛盾证明 是空集 , 郎对于任意 自然数 二 , 尸 哟均成立 数学归韧法还有其它种种形式 , 例如 第一教学归韧法的变形 殷 以的 对于某个自然 数 友成立 , 井且在 尸 司 左蕊司 成立的假定下 , 可能 下娜第 百 总 罕 用和差化积公式可化为 , 一 斌万 ,‘· 二 劲 , 井告新学生可作为公式韶忆 , 观察方法是同名函数或 互为余甭数 , 系数为 乙 , 谊 称 淤 可以用倍角公式化为 , 二 止 。 。刃 丙 , 丫了 、 二 土 “ , · 可用和角公式化为 士 用 的形式 , 观察方 法是 合乎特殊角函 数的 观律 , 在一 般 情况 下 , 在 梦 。 丈占二士 士 。 , , 占, , 的图象的作用 , 是关 系它的极大值和极小值 , 只关系到周期 , , 。 只关 系到图象向左右或上下移动 把上述这些作图的墓础掌握好以后 , 才能作好图 象 作图象的一般步欣 第一步 化成 , 二 , 士 士 利用公式 第二步 化成 , 一‘ · ” 二 士号士 二 第三步 作 谊 的图象 第四步 把纵轴向右或左 正号向右 , 负号向左 移 第五步 再把横轴向上 、 下平移 正号向下 , 负号 向上 , 郎得 , 。 占二 土 士 ‘ 的图象 。 反三角函数的解题规律 分类 这一章的简题就形式可分为舒算和蔽 明两大类 , 但就解题所应用的原理和为学生容易接受 和掌握 , 最好分为以下二类 根据这一单元分三类 甲 应用概念解题 定义及主值范围 求值 , 如 一韵一 , ⋯⋯ 下列 , , 里的 · 应在什么区 背 如 , 。。 一 劝 , ⋯⋯ 属于解不等式 乙 应用运算法。 求值 , 如 · 音 一‘ 普一 求 一 如 一 , · 二 一 ‘ , 一 普解方 程 及 勺 ‘ 明题 , 如一了号 一 丙 · 应用通值公式 考 , , 勺 二 介汀 一卜汀 一 斌万 丫了 万 口 , 二 。万 土 , 刃 二 ”万 尝 二 , 淤 即万 思考方法 乙类的 甲 应用运算法员的三种类型 , 用第一 、 二类先考 虑 应用和差化积或倍角公式 乙 第二 、三类可先在前面反三角函数前面加以反 三角函数的符号 , 而且是反正弦加上芷弦符号变正弦 函数 丙 第一类型若括弧内角度是特殊角 , 道接用角 度代替 三角方程的解题步肆一般是 第一步 应用公式化成相同未知数 第二步 应用公式化成同名函数 第三步 分解因式 不能分解则用公式 第四步 化成最简单的三角方程 第五步 解出最简单的三角方程 第六步 检脸 若方程变形时 要检脸 由于重视了基础知撒的教学 , 每个单元将习题分 类 , 按类提示解题规律 , 指出了解题步欣与思考方法 本学期学生所学的知撒已较过去掌握得牢固 , 运用也 校为熟栋了 上接第 砚 矿 成立 , 那末 , 川司对于任意大于或等于 冷的自然 数 。 均成立 第二数学归栩法的变形 歌 以哟 对于某个 自然 数 友成立 , 并且在 以的对于一切 城左簇二 哟成立的假 定下 , 可征 以 ,, 成立 , 那末 , 以司对于任意大于或等于 女的自然数 , 均成立 倒推数学归栩法 殷 尸 哟 是涉及任意自然数 。 的一个命题 , 如果 心对于任意拾定的自然数 玲, 均存在 一个 自然数 , 友 , 成立 从 到司的正确性能推出 烈广 的正确性 , 那 · 总 甲夕 宋 , 叹司 对于任意自然数 二 均成立 这里 , 我们只举 出最常用的几种 , 其它还有所鹉双归柳法等等 以上 几种归扔法的征明 , 留胎蔽者作为栋习 参 考 文 献 范氏代数 , 第一编 数与多复式 高等教育出版社出版 , 泣 访 实数采原 第二翻 , 数的意义 有朱言 韵萍本 , 商务版 , ,‘兮﹄ ‘