19重叠问题

重叠问题 在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图像法 公式法： 运用容斥原理一：C=A+B一AB．这一公式可计算出两个集合圈的有关问题． 运用容斥原理．二：D=A+B+C—AB一AC—BC+ABC．这一公式可计算出三个集合圈的有关问题． 图像法： 不是利用容斥原理的公式计算．而是根据题意画图，并借助图形帮助，逐个地计算出各个部分．从而解答问题． 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有l7人，问有几个同学两题都不对? 某班有学生48人．其中21人参加数学竞赛．l3人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么 (1)只参加数学竞赛的有多少人? (2)参加竞赛的一共有多少人? (3)没有参加竞赛的一共有多少人? (1)京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有l9人，两种标本都采集的有8人，全班共40人，没有采集标本的有多少人? (2)工厂有—批工人，每人至少会门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有2l8人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有l9人，求全厂共有多少工人? 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人?最多有多少人? 某校对五年级l00名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语．而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人．喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科．间有多少同学只喜欢语文? (1)图19—4中A、B、C分别代面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分(即阴影部分)的面积． 图19—4 (2)学校教导处对l00名同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看的有l2人，只喜欢看电影的有多少人? 分母是1001的最简真分数有多少个?它们的和是多少？ 如图19-5,某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人．选学日语的有19人，选学俄语的有10人．其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时迸学法语和日语的有多少人? 图19-5 某班学生中78％喜欢游泳，80％喜欢玩游戏机，84％喜欢下棋，88％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少? (1)求从l到1995中能被5整除，也能被6或7整除的自然数的个数． (2)某学校有学生l050人，其中600人订阅《语文报》，450人订阅《数学报》，有210人订阅《科技报》．全校学生中有350人订阅两种报刊，有88人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊? (3)在自然数中，不超过105，且与105互质的数共有多少个? 练 习 题 1、有50名同学在操场上活动，其中有18名是女生，活动的项目是短跑和打球，如果有31名同学打球，有14名男生短跑，那么女生打球的有多少名? 2、某小学六年级共有l20名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有135人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣．有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8人既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人? 3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，l0人参加排球队，已知没有一个人同时参加三个队，且每人至少参加一个队，有6个人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参自口排球队的有多少人? 4、甲、乙、丙给l00盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水? 5、前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛．有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛问只参加独唱比赛的有多少人? 6、某大学有外语教师l30人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有60人．既教英语又教日语有20人，既教英语又教法语有15人，既教日语又教法语有13人，有7人英语、日语和法语三门课都会教．则不教这三门课的外语教师有多少人? 7、某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑白行车，42人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会? 8、求小于lOOl且与l001互质的所有自然数的和． 9、夏日的一天，有10个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有3个人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁．其中一定有多少个人什么冷饮也没有要? 10、某校参加数学竞赛的有l20名男生，80名女生．参加语文竞赛的有l20名女生，80名男生．已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了．那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人? 11、求从l到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数． 12、某厂装配30辆汽车，可供选择的设备是收录机、空调机和对讲机，已知其中有15辆汽车装收录机，8辆汽车装空调机，6辆汽车装对讲机，其中3辆汽车三种设备都装，则至少有多少辆汽车三种设备都没有装? 13、甲，乙两人骑自行车，分别从A、B两地同时出发．相向而行。甲每小时行11千米，乙每小时行l5千米，两人在中途相遇后又继续前进，已知出发了4小时以后，两人相距30千米． A、B两地相距多少千米? 14、新华小学在某活动中心搞活动，其中参加划船的有l56人，比乘电动火车的少40人，比玩电子游戏的多26人；既参加划船又玩电子游戏的有74人；既乘电动火车又划船的有80人，是既玩电子游戏又乘电动火车人数的2倍，三种活动都参加的有30人．新华小学共去学生多少人? 15、在130位旅客中．每人至少懂法语、英语、日语这三种语言中的一种，75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有l0人，那么懂得两种以上语言的旅客有多少人? 16、某班有学生50人，参加各项体育比赛，结果每人至少得了一项名次，而且没有人重复得同一名次，已知：只得第一名次的有8人，得到第二名次的有25人，同时得到第一名次和第三名次有10人，同时得到第二名次和第三名次有9人，同时得到第一名次、第二名次而没有得到第三名次的人数比同时得到第一、二、三名次的人少l人，只得到第三名次的人数是同时得到第一、二、三名次人的2倍．同时得到第一、二、三名次的有多少人? 17、全班有25个学生，其中17人会骑自行车．13人会游泳，8人会滑冰，这三项运动项目没有人全会．至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀如果全班有6个人数学不及格，问： (1)全班数学成绩优秀的有几人? (2)全班有几个人既会游泳又会滑冰？ 18、如图l9-6所示，△ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC= AC，以BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积． 图l9-6 19、若干个人参加语文和数学两科竞赛，其中参加数学竞赛的占竞赛总人数的 ，参加语文竞赛的占竞赛总人数的 ，两科都参加的有45人．参加数学竞赛而未参加语文竞赛的有多少人? 20、六年级开展跳绳和跳高竞赛，已知参加竞赛的人数正好占全年级人数的 ，参加跳高的占全体参加竞赛人数的 ，参加跳绳的占全体参加竞赛人数的 ，两项都参加的有l2人．问参加跳绳和跳高竞赛的各有多少人?全年级共有多少人?