角平分线、垂直平分线

角平分线、垂直平分线 角平分线、垂直平分线 跟踪训练： 一、填空： 1、如图，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝ 。 2、如图，已知AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 。 3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝ 。 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝ 。 5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么 例4. 已知：如图1所示，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：     （1）BD+EC=DE 图1     （2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。 图2     （3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。 图3     证明：（1）∵DE//BC，∴∠2=∠3     ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3     ∴BD=DF，同理FE=EC     ∴BD+EC=DF+FE=DE     （2）DE=BD－CE     （3）DE=BD+CE     例5. 如图所示，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE     证明：过D作DN⊥AC垂足为N，连结DB、DC     则DN=DE，DB=DC     又∵DE⊥AB，DN⊥AC             例6. 已知：如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。     证明：过P作PE⊥AC于E     ∵PA、PC分别是∠MAC     与∠NCA的平分线且PD⊥BM，PF⊥BN     ∴PD=PE，PF=PE     ∴PD=PF     又∵PD⊥BM，PF⊥BN     ∴点P在∠MBN的平分线上     即BP为∠MBN的平分线   【模拟】（答题时间：50分钟） 一. 选择题   1. 如图所示，AM是△ABC的角平分线，N为BM的中点，NE//AM交AB于D交CA延长线于E，下列结论正确的是（    ）     A. BM=MC                                        B. AE=BD     C. AM=DE                                        D. DN=BN   2. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是（    ）     A. ∠B=∠CAE                                  B. ∠DEA=∠CEA     C. ∠B=∠BAE                                  D. AC=2EC   3. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（    ）     A. 锐角三角形                                  B. 钝角三角形     C. 直角三角形                                  D. 不能确定   4. 如图所示，直线 示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）     A. 一处                B. 二处                C. 三处                       D. 四处   5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，则△AEF是（    ）     A. 等边三角形                                  B. 等腰三角形     C. 不等边三角形                              D. 无法确定   二. 填空题   1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。   2. 如图所示，点C是∠AOB平分线上一点，点P，P’分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP’需添加以下各条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号___________。     （1）∠OCP=∠OCP’     （2）∠OPC=∠OP’C     （3）PC=P’C     （4）PP’⊥OC   3. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。   4. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。   5. 如图所示，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=6cm，则△BCF的周长=_________，∠EFC=_________。   三. 证明题   1. 如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，求证：   2. 已知：如图所示，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上且 ，求证：AD垂直平分EC。   3. 如图所示，BD、CE分别是△ABC的高，M、N分别是BC、DE的中点，求证：MN⊥ED。   4. 如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。   5. 已知：如图所示，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。 ∠P＝ 。 二、选择题： 1、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝600，则∠BFC等于（ ） A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、520 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上都不对 4、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0组 B、2组 C、3组 D、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题： 1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。 2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。 3、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝ ，AE⊥BC于点E，求EC的长。 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。 参考答案 一、填空题： 1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过A作AN⊥BC于N，证∠D＝∠DAM； 2、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG 3、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝ ，∠B＝∠DAB＝22.50 ∴∠ADE＝450，AE＝ AD＝ ＝6 又∵∠C＝600 ∴EC＝ 4、证△ACD≌△CBF