数学选修1-1

数学必修5复习知识提纲 数学选修1-1复习知识提纲 （一）常用逻辑用语： 1.命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题； 2.四种命题： 结论：互为逆否的两个命题是等价的。因此，在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为原命题与逆否命题真假等价，逆命题与否命题真假等价。 2.充分条件与必要条件： ①若 ，但q p，则 是 的充分不必要条件（也可以说 的充分条件不必要条件是 ）； 从集合的角度来看，若p q，则 是 的充分条件不必要条件。 ②若 ，但q p，则 是 的必要不充分条件（也可以说 的必要不充分条件条是 ）； 从集合的角度来看，若q p，则 是 的必要不充分条件。 ③若 ，且q p，则 是 的充要条件（也可以说 是 的充要条件），记作 ； 从集合的角度来看，若 ，则 是 的充分要条件。 ④若 ，且q p，则 是 的既不充分也不必要条件； 从集合的角度来看，若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件。 注意：证明 是 的充要条件需分证明充分性（ ）和必要性（ ）两步。 3. 简单逻辑联结词 逻辑联结词：且、或、非； 复合命题三种形式：p且q ，p或q ，非p 真假判断：p、q同真， 真，其余均为假；p、q同假， 假，其余均为真； 与p的真假相反 4.全称量词与存在量词： 全称命题p： , 它的否定 ： 特称命题p： , 它的否定 ： 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 （二）圆锥曲线与方程： 1．椭圆： 1. 椭圆方程的第一定义： 2. 椭圆的方程： i.中心在原点，焦点在x轴上： . ii. 中心在原点，焦点在 轴上： . 一般方程： . 顶点： 或 . 对称轴：x轴， 轴；长轴长 ，短轴长 .焦点： 或 . 焦距： .准线： 或 . 离心率： . 3. 焦半径： i. 设 为椭圆 上的一点， 为左、右焦点， 则由椭圆方程的第二定义可以推出： ， ii.设 为椭圆 上的一点， 为上、下焦点， 则由椭圆方程的第二定义可以推出： ， 归结起来为“左加右减”、“下加上减”. 4. 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： 和 共离心率的椭圆系的方程：椭圆 的离心率是 ， 方程 的离心率也是 ，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5. 若P是椭圆： 上的点. 为焦点，若 ，则 的面积为 （用余弦定理与 可得）. 若是双曲线，则面积为 . 2．双曲线： 1. 双曲线的第一定义： 2. 双曲线标准方程： . 一般方程： . i. 焦点在x轴上： 顶点： . 焦点： . 准线方程 . 渐近线方程： 或 ii. 焦点在 轴上： 顶点： . 焦点： . 准线方程： .渐近线方程： 或 ， 轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率 . 准线距 （两准线的距离）； 通径 . 参数关系 . 3. 焦半径公式：对于双曲线方程 （ 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的 上下焦点）“长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 4. 等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 . 5. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的 共轭双曲线. 与 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： . 6. 共渐近线的双曲线系方程： 的渐近线方程为 ,因此，如果双曲线的渐近线为 时，它的双曲线方程可设为 . 例如：若双曲线一条渐近线为 且过 ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为： ，代入 得 . 7. 直线与双曲线的位置关系： 3．抛物线： 设 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0） 离心率 焦半径 注：① 则焦点半径 ； 则焦点半径为 . ②通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 4．圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线 的距离之比是一个常数 的点的轨迹是圆锥曲线，并且 当 时，轨迹为椭圆； 当 时，轨迹为双曲线； 当 时，轨迹为抛物线. 其中，点F是它的焦点，直线 是它的准线，比值 是它的离心率。 （三）导数及其应用： 1. 导数的定义：一般地，函数 在 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在 处的导数，记作 或 ， 即 = . 注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零. 2. 导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点 处的切线的斜率是 ，切线方程为 3.基本初等函数的导数公式： （ 为常数） （ ） 4.导数运算法则： 注： 必须是可导函数. 5. 函数的单调性与导数： 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减. 注：①如果函数 在区间 内恒有 ，则 为常数. ② 是f（x）递增的充分条件不必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外，即 时 ，同样 是 递减的充分不必要条件. ③一般地，如果 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 在该区间上仍就是单调增加（或单调减少）的. 6. 函数的极值与导数： 一般地，求函数 的极值的是：解方程 ，当 时： ①如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值； ②如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值. 注意：①：导数为0的点不一定是函数的极值点，但是若点 是可导函数 的极值点，则 . 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 例如：①函数 ， 使 ，但 不是极值点. ②函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点. 7. 函数的最大（小）值与导数： 一般地，求函数 在 的最大值与最小值的步骤如下：⑴求函数 在 内的极值； ⑵将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的的一个是最大值，最小的一个是最小值。 数学选修1-2复习知识提纲 一、基础知识梳理 １．回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数 →③写出回归直线方程 ，并利用回归直线方程进行预测说明. 2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是： ①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）. ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定估计回归方程中的参数 （最小二乘法）； ⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等. 3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤： （1）提出问题； （2）收集数据； （3）分析整理数据； （4）进行预测或决策。 4.残差变量 的主要来源： （1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述 与 之间的关系，但是现在却用线性函数来述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在 中。 （2）忽略了某些因素的影响。影响变量 的因素不只变量 一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在 中。 （3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的 的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在 中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。 二、例题选讲 例1：研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下： 水深 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求 对 的回归直线方程； （2）预测水深为1.95 时水的流速是多少？ 分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。 解： （1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图： 由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程 来反映这种关系。由计算器求得 。 对 的回归直线方程为 。 （2）由（1）中求出的回归直线方程，把 代入，易得 。 计算结果表示，当水深为 时可以预测渠水的流速为 。 评注：建立回归模型的一般步骤： （1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量； （2）画出散点图，观察它们之间的关系； （3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 2.1合情推理与演绎推理 知识要点梳理 知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。 1.归纳推理 （1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。 （2）一般模式：部分 整体，个体 一般 （3）一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题； ③检验猜想. （4）归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理 （1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　 （2）一般模式：特殊 特殊　 （3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　 （4）一般步骤： ①找出两类对象之间的相似性或一致性； ②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）； ③检验猜想.　　 （5）类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。 知识点三：演绎推理 （1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．　 （2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式 1​ 大前提——已知的一般原理； 2​ 小前提——所研究的特殊情况； 3​ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论. （3）用集合的观点理解“三段论”　 若集合 的所有元素都具有性质 ， 是 的子集，那么 中所有元素都具有性质 （4）演绎推理的结论一定正确　　 演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。 规律方法指导 合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看： ①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看： ①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 （3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 3.1数系的扩充与复数的引入　 知识要点梳理 知识点一：复数的基本概念 1．虚数单位 :（1）它的平方等于 ，即 ； （2） 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另一个根是 ； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4） 的周期性： ， ， ， （ ）. 2. 概念形如 （ ）的数叫复数，记作： （ ）；其中： 叫复数的实部， 叫复数的虚部. 说明：这里 容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. 3．复数的分类 （ ） 4．复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示；复数集与其它数集之间的关系： 5．复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数 （ ）， 当且仅当 时，复数 是实数； 当且仅当 时，复数 叫做虚数； 当且仅当 且 时，复数 叫做纯虚数； 当且仅当 时，复数 就是实数0. 6．复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果 ，那么 .特别地: .　　说明： （1） （2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. （4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小. 6．共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数.复数 的共轭复数记作： （ ）. 知识点二：复数的代数表示法及其四则运算 1．复数的代数形式: 把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式. 2．四则运算　　 设 ， （a，b，c，d∈R）　　 　　 　　 注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数. 知识点三：复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数 （ ）可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 2．复数的几何表示 （1）坐标表示:在复平面内以点 表示复数 （ ）； （2）向量表示:以原点 为起点，点 为终点的向量 表示复数 .　　　　 向量 的长度叫做复数 的模，记作 .即 . 理解： （1）向量 与点 以及复数 一一对应； （2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 3．复数加减法的几何意义： 如果复数 、 分别对应于向量 、 ，那么以 、 为两边作平行四边形 ，对角线 表示的向量 就是 的和所对应的向量.对角线 表示的向量 就是两个复数的差 所对应的向量.