高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想之一.高考数学试中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下均为已知 的范围，求 的范围： 定理1  不等式 恒成立 （求解 的最小值）；不等式 恒成立 （求解 的最大值）. 定理2  不等式 存在解 （求解 的最大值）；不等式 存在解 （即求解 的最小值）. 定理3  方程 有解 的范围 的值域（求解 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 2、若f(x)= 在 上有 恒成立，求a的取值范围。 3、若f(x)= 在 上有 恒成立，求a的取值范围。 4、若方程 有解，请求a的取值范围 5、已知 是 上的单调递增函数，则 的取值范围是（    ） 6、求使不等式 恒成立的实数a的范围。 再现性题组： 1、解：原不等式 当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 ，设 则 ∴ 2、解： 恒成立，即 在 上恒成立, 只需 ，解得 3、解： 在 上恒成立 在 上恒成立 4、解:令   (t>0)，则 5、解： 在 上恒成立 在 上恒成立 6、解：由于函 ，显然函数有最大值 ， 。 示范性题组： 例1. 已知函数 ,且 恒成立,求 的取值范围. 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组 恒成立  在 上的最大值与最小值    以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低. 法二(分离变量):问题转化为 在 上恒成立(除 时注意符号),    由定理1得 .求相应函数最值,正确率较高. 例2.已知函数 若 存在单调递增 区间，求 的取值范围. 【分析】问题转化为 在 上有解,即 在 上有解. 解：法一(二次函数):此题 ,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂. 法二(分离变量):问题转化为 在 上有(存在)解    由定理1.2得 .求解相应范围上的最小值,正确率较高. 例3.已知 是实数，函数 如果函数 在区间 上有零点，求 的取值范围. 【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组. 方法二(分离变量):问题转化为 在 上恒有解    分离变量得 , 有解    由定理1.3得只需求函数 在 上的值域即可, 单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加. 通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。 例4、已知函数 的导函数为 ， . （1）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围. 解：（1）   即 对一切 恒成立 即 对一切 恒成立 记 ，则在 上 恒成立， 在 上恒大于0， 在 上单调递增，   （2）即 对一切 恒成立 若 ，则 不满足 若 ，则 对一切 恒成立 若 ，则 对一切 恒成立 综上所述： 巩固性题组： 1、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值范围。 2、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。 3、已知函数 , .若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围. 4、设函数 ，其中常数 . （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 5、在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。 6、求使不等式 恒成立的实数a的范围。 7、设 其中 ，如果 时， 恒有意义，求 的取值范围。 8、设函数是定义在 上的增函数，如果不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围。 分离变量法巩固训练题答案： 1、解：根据题意得： 在 上恒成立， 即： 在 上恒成立， 设 ，则 当 时，   所以 2、解：令 ，     所以原不等式可化为： ， 要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。 3、解： 即 若 ，则 恒成立， 若 ，则 ， ， 综上所述： 4、解：（1） ，又 ，由 得： ，由 得 ，因此 的单调增区间有 与 ， 的单调减区间有 （2） 时， 恒成立 时， 恒成立。 时， 恒成立 时， 恒成立， 5、解: ， ， 恒成立， ， 即 恒成立， 6、解：由于函 ，令 ，则由于 的最大值取不到 ，即a取 也满足条件，所以 7、解：如果 时， 恒有意义 ，对 恒成立. 恒成立。令 ， 又 则 对 恒成立， 又 在 上为减函数， ， 。 8、分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 对于任意 恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 解： 是增函数 对于任意 恒成立 对于任意 恒成立 对于任意 恒成立， 令 ， ，所以原问题 ， 又 即 易求得 。