D-最优设计

最优设计工作主要包括两方面的内容： ( 1)将实际问题的物理模型转换为数学模型。 建立数学模型的时候，要注意选取合适的设 计变量，列出目标函数和约束条件。 目标函数是指设计问题所要求 的设计变量与最优指标之间的关系式。 ( 2)采用合适的最优化设计方法， 求解数学模型，问题就转化为在给定的约束条件下求目标函数的极大极小值或最大最小值问题。 为了生产发展的需要，人们提出了很多不同的试验设计， 其中包括已有广泛应用的回归旋转设计和回归正交设计， 这样就产生了以下两个问题： 对现有的各种不同试验设计， 通过什么比较它们的优劣？ 是否能够建立一定意义下的最优试验设计？ 回归的正交设计能够适当有效地减少试验的次数，并且使统计得到简化；回归的旋转设计则保证了因子区域中同一球面上的点的预测值方差相同，这样可以排除掉某些误差的干扰， 但是， 这两种试验设计都并没有从统计的角度比较不同试验设计的优劣以及建立最优的试验设计。 从五十年代开始， 人们就不断地提出了很多标准来比较不同试验设计的优劣，比如E-最优性 、G - 最优性以及D-最优性等。目前，D - 最优性越来越引起人们的关注 。 由于不同的的优化策略标准， 产生了不同的优化设计方法， 在最优设计中主要包含： ( 1)D-最优化设计： 选择试验设计使信息矩阵的行列式达到极大； ( 2)A-最优化设计： 选择试验设计使信息矩阵的迹达到极大， 这里的迹为信息 矩阵  对角 线元素之和 ； ( 3)E- 最优化设计： 选择试验设计使信息矩阵的最大特征根达到极小； ( 4)G- 最优化设计： 选择试验设计使响应预报值的最大方差达到极小。 在这里， 需要注意的是， 设计的最优化是依赖于模型的，在最优设计产生之前， 必须为设计指定模型和期望的点数，由计算机算法产生的设计只是针对该模型的最优化。 试验设计的一般性定义 定义1由因子区域 χ中的一组点 和一组与其相对应的自然数 构成的集体， 称为一张离散试验设计。 定义2由因子区域 χ中的一组点 和一组与其相对应的自然数 构成的集体，称为一张连续试验设计。 每一个离散设计都可以转化为一个连续设计， 但是一个连续设计一般只能转化成一个近似的离散设计。 在实际应用中使用的是较多的是离散设计，  但在很多情况下，  直接编一个离散设计是非常困难的， 而做出一个连续设计却是可能的， 因此，实际应用中，  往往是先做出一个连续设计，  然后再将它转化为一个离散设计， 而D-最优设计就是这样制定的 。 研究的回归模型是： 构造D- 最优设计的基本思想很类似于组合设计，该方法在一些最为简单的情况下是寻找 D- 最优设计可行的，但是在一般情况下却不然。 所谓D-最优化的数值方法， 是指在给定因子区域 χ和模型 ( 1-  1) 的情况下， 用最优化技术去寻找使信息矩阵的行列式达到最大的设计点，  常采取的方法是随机寻找法 、 梯  度法和最速下降法等 。 由饱和D 最优设计建立的回归方程的预测值具有较高的拟合精度, 且试验次数较少。以三 因素五水平寻优为例, 采用正交法需要进行125次试验; 采用旋转回归设计时试验次数为23次; 而饱和D 最优设计试验次数为11次。 饱和D最优设计在青椒干燥试验中的应用 在青椒厚层穿流干燥中, 采用3个因素饱和D 最优试验设计, 通过回归分析建立多目标函数的数学模型, 然后用多目标约束优化法确定最佳干燥工艺参数。本试验以干燥介质温度、物料堆积厚度和介质平均速度作为试验因子, 以体现干燥能力的单位失水量和体现能耗的单位耗热量为试验指标。 确定3个因子的极限值, 并按三因素饱和D 最优设计因素水平编码表( 表1) 进行试验安排 首先对青椒进行预处理, 经切割、漂烫、浸硫后捞出, 按表1的风温、风速和物料厚度调整试验台进行试验。记下初始质量并开始计时, 到终了含水量( 5%) 时, 计时结束并记下终了质量; 每隔10min废气的温度, 计算出单位失水量和单位耗热量。试验数据见表2。 2. 2　因素对单位失水量的影响 为了分析两因素之间交互作用对各项指标的影响, 采用二维等值线图进行分析。降维分析时将各因素分别固定在零水平, 依其数学模型绘制等值线图。图1a是x1、x2 对单位失水量的影响曲线。从图中可以看出单位失水量随着风温与物料厚度的增加而增大。图1b是x1、x3 对单位失水量的影响曲线, 单位失水量随风温的增加而增加。当风温较高时风速强烈影响指标的变化, 其影响程度高于风温, 此时提高风速对提高单位失水量有利, 而在低温段, 风速的影响较小, 提高风速只能增加能耗。调整风温为70℃,风速与物料厚度对指标的影响如图1c, 单位失水量随风速与物料厚度增加而增加, 当风速较低、物料厚度较小时, 两者影响程度接近, 当风速低于0. 4m/ s且厚度高于6. 5cm时, 风速较为强烈地影响单位失水量, 而风速高于0. 4m/ s或厚度低于6. 5cm时, 风速的影响较弱, 物料厚度的影响则很强。综上分析可以看出, 在一定的参数范围内, 3个因素中风速对单位失水量的影响最大, 其次是物料厚度和风温, 单位失水量均随因素水平的增加而增加。 2. 3　因素对单位耗热量的影响 在保证干燥品质的前提下, 应尽可能地提高单位失水量, 降低耗热量。图2a为风温与物料厚度对单位耗热量的影响。从图中可看出, 在物料厚度薄条件下, 随着风温的增加能耗增加, 而在物料厚度厚条件下, 能耗先是随着风温的增加而减少, 然后随着风温的增加而增加。当风温为72. 5℃、厚度为9. 15cm时取得最小单位耗热量。图2b为风温与风速对单位耗热量的影响, 在低风速区与高风温区热耗较低, 在高风温高风速区能耗较高。当风温低于62. 5℃时,风速的影响小于风温的影响, 反之, 风速的影响程度高于风温的影响。图2c为物料厚度与风速对单位耗热量指标的影响, 当物料厚度为9. 2cm左右、风速为0. 4m/ s左右时能耗较低, 在物料厚度为6. 5cm左右、风速较低时能耗较低; 而在物料厚度薄、高风速区, 能耗最高。上述分析得知, 只有风温、风速及厚度合理取值, 才能保证能耗较低。 工艺参数的优化 单位失水量代表干燥机的生产能力, 应力求最大; 单位耗热量代表干燥机的能量消耗水平, 应尽量降低。因此, 为寻求风温、风速与物料厚度的最佳组合, 使得两项指标较好地统一, 以各因素变化范围为约束条件, 以单位失水量和单位耗热量为目标函数进行迭代寻优， 结果为: X1=80℃、X2=10cm、X3=0. 56 m/ s 时W= 0. 896 kg/ h; X1 = 76℃、X2 =6. 5cm、X3= 0. 2m/ s时q=3. 322MJ/ ( kgH2O) 。