2011福建龙岩中考数学试题-解析版

福建省龙岩市2011年初中毕业、升学考试数学试题解析 一、选择题(本大题共l0题．每题4分．共40分) 1．（2011福建龙岩，1，4分）5的相反数是 A． B. 5 C. D. 【解题思路】直接求解5的相反数是 —5。 【】C 【点评】本题考查了相反数的概念，互为相反数的两个数绝对值相等，符号相反。所以5的相反数是 —5。 难度较小 2．（2011福建龙岩，2，4分）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【解题思路】分别运用不同的运算法则，求解：A： ； B： ；C： ；D： ，所以正确答案为C。 【答案】C 【点评】本题考查整式的运算包括整式的加法，同底数幂的乘、除、乘方运算，要理解、熟记相关运算法则。 难度中等 3．（2011福建龙岩，3，4分）下列图形中是中心对称图形的是 【解题思路】中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合。A、B、C、D中A需120°；B、C是轴对称图形，只有D绕着中心旋转180°后能与自身重合，所以选D。 【答案】D 【点评】考查中心对称图形的概念，要抓住旋转180°与自身重合这些要素，以保障与其它特征图形区分开来。 难度较小 4．（2011福建龙岩，4，4分） 的计算结果是 A． B． C． D． 【解题思路】原式 【答案】A 【点评】运算整式的乘法法则是：（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn，再合并同类项。是直接对运算技能的考查。 难度较小 5．（2011福建龙岩，5，4分）如图，该几何体的主视图是 【解题思路】A、C都是侧视图；D是俯视图。B是主视图。 【答案】B 【点评】本题考查三视图的主视图，即从正面看到的结果。利用主视图的定义和观察分析即可得到答案B。 难度较小 6．（2011福建龙岩，6，4分）如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上， 且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是 A．25° B．30° C．35° D．40° 【解题思路】利用方位得到平行，再利用三角形外角及等边对等角即可求解。 【答案】C 【点评】考查方位角、平行线的性质、三角形外角及等边对等角的知识，是一道较综合的基础题 难度中等 7．（2011福建龙岩，7，4分）数名射击运动员第一轮比赛成绩如下所示； 环数 7 8 9 10 人数 4 2 3 1 则他们本轮比赛的平均成绩是 A．7.8环 B．7.9环 C. 8.l环 D．8.2环 【解题思路】算加权平均数： （7×4+8×2+9×3+10×1）= 8.l环 【答案】C 【点评】考查加权平均数的算法。学生只要清楚：平均成绩=总环数÷总人数，就可以解决。 难度中等 8．（2011福建龙岩，8，4分）右图可以折叠成的几何体是 A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【解题思路】空间想象或动手操作。 【答案】A 【点评】考查学生对简单立体图形的空间想象的观念，也可以动手操作完成。 难度较小 9．（2011福建龙岩，9，4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是 【解题思路】A：直线y随x增大而增大；B：抛物线要一分为二得看增减；C：双曲线要强调在每个象限内（x≠0）.D、直线y随x增大而减小的是 【答案】D 【点评】分别考查一次、二次、反比例函数图象的增减性。认真观察并区分3种函数图像所具有的不同特征，即可求解。 难度较小 10．（2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b= ，如：3★5= ，若x★2=6，则实数x的值是 A． 或 B．4或 C．4或 D． 或2 【解题思路】将x和2代入定义运算，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程。 【答案】B 【点评】此题看似新定义运算，实则考查一元二次方程的解法，是对学生审题和基本运算能力的检验。 难度 二、填空题（本大题共7题，每题3分，共21 分。） 11．（2011福建龙岩，11，3分） 一组数据10，14，20，24．19，1 6的极差是____________。 【解题思路】找出本组数据中最大和最小的数，最大值—最小值=极差。 【答案】14 【点评】直接考查极差的概念 难度较小 12．（2011福建龙岩，12，3分）若式子 有意义，则实数 的取值范围是____________。 【解题思路】二次根式中被开方数 ，所以 。 【答案】 【点评】考查二次根式有意义的条件，即被开方数应大于或等于0，解不等式即可。 难度 13．（2011福建龙岩，13，3分）据第六次全国人口普查统计，我国人口总数约有l 370 000 000人，用科学记数法表示为___________人。 【解题思路】l 370 000 000= 。 【答案】 【点评】本题考查了科学计数法的知识。把一个较大或较小的数表示成科学计数法只需将小数点儿左移或右移到左边第一个不是0的整数后再乘以 左移时n为小数点移动的位数（为正整数），右移时n为小数点移动的位数的相反数（为负整数）。 难度较小 14．（2011福建龙岩，14，3分）袋子中有3个红球和6个白球，这些球除颇色外均完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是_________， 【解题思路】因为球共有3+6=9个，白球有6个，所以摸出一个球是白球的概率= 。 【答案】 【点评】摸出一个球是白球的概率即 ，只要弄清这一比例关系即可顺利求解。 难度较小 15. （2011福建龙岩，15，3分） 如图，菱形ABCD周长为8㎝．∠BAD=60°，则AC=___________cm。 【解题思路】由菱形的四边相等得AD=AB= =2，∠BAD=60°， 为等边三角形。又菱形的对角线互相垂直平分AO⊥BD,AC=2AO.在等边 中AO= ,所以AC=2AO= . 【答案】 【点评】本题考查菱形的边和对角线的有关性质，等边三角形的“三线合一”，特殊三角函数的计算。 难度中等 16．（2011福建龙岩，16，3分）如图．⊙O是△ABC的外接圆AC是⊙O的直径，OD⊥BC于点D．OD=2．则AB的长是_________ 【解题思路】直径AC所对的圆周角∠ABC=90°，OD⊥BC于点D则∠ODC=90°。所以∠ABC=∠ODC，又∠C为公共角，所以 ∽ , .所以AB=2OD=2×2=4. 【答案】4 【点评】此题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直性质，两个直角三角形相似对应边成比例，进而求出相关线段长。是将圆有关的性质和相似判定及性质相综合的重基础的综合题。 难度中等 17．（2011福建龙岩，17，3分）如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为 ，四边形与各圆重叠部分面积之和记为 ，…。n边形与各圆重叠部分面积之和记为 ．则 的值为_________．(结果保留π) 【解题思路】三角形与各圆重叠部分面积之和 = = ； 四边形与各圆重叠部分面积之和 = =π； …….所以 【答案】44π 【点评】此题既考查扇形面积，多边形的内角和的计算又涉及探究找规律的数学思想的考查。在学生原有遇到的情况下有所拓展、延伸，给人耳目一新之感。 难度中等 三、解答题 (本大题共8题．共89分．) 18．（2011福建龙岩，18， 10分) （1）计算： ： 【解题思路】原式= 【答案】（1）解：原式=2 【点评】此题把绝对值、算数平方根、特殊三角函数、数的平方运算相结合，具有一定的综合性。答题时一定要一步步做，把符号看仔细，才能做对。 难度中等 （2）先化简，再求值： ，其中 。（结果精确到0.01） 【解题思路】先化简，原式= = = = 当 时，原式= 【答案】（2）原式化简= ，当 时，原式 【点评】此题考查的分式加法计算：找最简公分母，将分式通分，再把分子相加减，最后约分。 分式的计算是初中数学中重要的技能，必须经过一定的专题训练，才能得熟练掌握。 难度中等 19．（2011福建龙岩，19， 8分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来。 【解题思路】解 得， ； 解 得， ＞0； 在数轴上表示 、 的解集为 公共部分为 ∴ 在数轴上表示解集如上图。 【答案】解：由①得， ，由②得 ，∴ ，画图略。 【点评】此题直接考查不等式组的解法，要按解不等式组的一般步骤求解（去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1）。尤其是系数化为1时若系数为负，不等号的方向要改变。 在数轴上表示不等式组的解集要注意方向及空心圆圈和实心圆点的准确性。 难度较小 20．（2011福建龙岩，20， 10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F。求证：AE=CF 【解题思路】利用平行四边形的性质证 ≌ (AAS),全等三角形的对应边相等。 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠ABC=∠CDA ，AB∥CD ∴∠BAC=∠DCA ∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F ∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC ∴∠ABE=∠CDF ∴ ≌ (AAS) ∴AE=CF 【点评】考查角平分线、平行四边形的性质，及全等三角形的判定、性质。 属于初中几何知识中的基础知识、基本技能（基本功）的考查。 难度中等 21．（2011福建龙岩，21，10分）为庆祝建党90周年，某校团委在“七·一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲。为此提供代号为A、B、C、D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图。请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题： ﹪ （1）本次抽样调查的学生有_________名，其中选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比是________%； （2）请将图②补充完整； （3）若该校共有1200名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少名学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程） 【解题思路】（1）分别观察扇形、条形统计图获取信息，利用唱D的人数及其占调查总人数的百分比，求出调查的总人数为：42÷ =180（人）， 再由唱A的人数与总调查人数的比计算A的百分比： 100﹪=20% （2）选C的有180 – 36 – 30 – 42 = 72人。 （3）由统计图发现喜欢唱人数最多的曲目为C， 则估计全校共有1200× =480（名）学生选择此必唱歌曲。 【答案】21、（1）180，20 （2）选C的有72人，如图 （3）1200× =480（名） 【点评】评析本题以学生在现实生活中的唱红歌为素材，以双图（扇形统计图+条形统计图）的形式交叉呈现数据。学生需要通过读图，分析图获得信息，进而深入分析两个图之间相互联系，互相补充获得数据，较好地考查了学生利用统计图获取、描述数据的能力，以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算问题，问题设计环环相扣，层层递进，这种考法有利于落实对学生的综合判断能力的考查． 难度中等 22. （2011福建龙岩，22，12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。 （1）如图①，α=______°时，BC∥DE； （2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。 【解题思路】（1）看图即可求解 =45°-30°=15° （2）动手操作，不难得到：图②中α=60°时，BC∥DA，图③中α=105°时，BC∥EA。 【答案】22、（1）15 （2）图②中α=60°时，BC∥DA，图③中α=105°时，BC∥EA 【点评】同样是一副三角板叠放，以独特视角呈现和考查，重视学生的基础知识和动手操作的能力，只要操作演示就可应答。 难度中等 23．（2011福建龙岩，23， 12分) 周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段CD所表示的函敛关系式； (3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程， 【解题思路】（1）由点（1，30）得小明去基地乘车的平均速度， 由28÷(2÷4)=56得到爸爸开车的平均速度千米/小时。 （2）由题意C（3.7，28），D（4.2，0），待定系数法得线段CD的表达式。 （3）计算全程的时间为4.2小时，从8:00经过4.2小时已经过了12:00，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米） 所以不能。 【答案】（1）30，56 （2）线段CD的表达式： （3）不能。小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+2÷4×2=4.2（小时），从8:00经过4.2小时已经过了12:00， ∴不能再12:00前回家，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米） 【点评】抓住图像中的关键点，题目中的关键词是解决图像信息题的法宝，要数形结合综合考虑。 此题涉及的基本数量关系：运动时间、运动速度、运动路程。 难度中等 24．（2011福建龙岩，24， 13分)如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线 ，且与x轴交于点D，AO=1． (1) 填空：b=_______。c=_______， 点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长； (3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解题思路】（1）由抛物线 ，其对称轴为直线 ，即 =2 得b值，且与x轴交于点D，AO=1得A、B坐标，代入一个即可求出c值。 （2）求出C的坐标，易求直线BC的表达式， 再由线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F， 得直线EF的表达式，令y=0，得 ，∴F( ，0) ∴FC=FB= （3）作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于点P ，也满足条件，坐标求法一样。 【答案】24、（1） ，B(5，0) （2）由（1）求得 ∴C（2，4） ∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2） 易求直线BC的表达式为 ，整理得 设直线EF的表达式为 ∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴ 把E（3.5，2）代入求得 ∴直线EF的表达式为 ， 在 中，令y=0，得 ∴F( ，0) ∴FC=FB= （3）存在，作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角的平分线交DC于点P’，也满足条件，坐标求法一样。 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离。（用到点到直线的距离公式） ∴ ∴ ∴ 或 解得 或 ∴P（2， ）或P（2， ）。 【点评】此题第（1）问，很简单就是代入对称轴 求值，逐步确定函数式中系数的值，充分利用条件得到B的坐标。 （2）结合问题利用二次函数的顶点公式求顶点，进而利用待定系数法求出直线的解析式，充分体现数形结合思想方法。 （3）结合圆与直线相切，考查角平分线的性质。用用到点到直线的距离公式来求距离，此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的基础知识要学生有很好的综合技能方可解决。 难度较大 25．（2011福建龙岩，25， 14分)如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9， 点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运 动到C时，EF与AC重合巫台)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x， △GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。 (1) 求CD的长及∠1的度数； (2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值； (3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少? 【解题思路】（1）过A做梯形的高，构造直角三角形，顺用、逆用三角函数计算求解线段长和角度。 （2）化动为静，抓住不同直角三角形边角间的数量关系（从不同角度表示有特殊关系的线段），建立等量关系，解方程。 （3）分情况讨论，求出x不同取值范围下二次函数式的最值，比较得出。 【答案】（1）CD= ∠1=30° （2）若点G恰好在BC上， 则有GE=DE=x，EC= ∵∠1=30°，∴∠FED=60° ∴∠GEF=60° ∴∠GEC=60° ∴GE=2CE ∴ ∴ （3）∵△EFG≌△EFD （1）当 时，随着x的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当 时，达到最大值，为 。 （2）当 ，△EFG就有一部分在梯形外，如图3， ∵GE=DE=x，EC= 易求 ，∴ ∴NG= ∴ 此时 = 当 时， 综上所述。当 时， 。 【点评】（1）构造直角三角形，顺用、逆用三角函数计算求解线段长和角度，考查学生的基本计算技能。 （2）化动为静，抓住不同直角三角形边角间的数量关系（从不同角度表示有特殊关系的线段），建立等量关系，解方程。求自变量的值要想办法建立等量关系，充分挖掘题目中的条件及进而推出的结论。 （3）考查分情况讨论的数学思想，用含x的代数式表示相关线段、三角形面积公式，二次函数的最值等基础知识充分体现数形结合的数学思想和基本技能的考查。对学生要求较高。