第四章 角动量与对称性
§4.1 角动量算符
§4.2 转动算符
§4.3 对称性与守恒律
§4.4 量子体系中特有的对称性
§4.1 角动量算符
一、角动量表象
二、角动量的耦合
三、Clebsch-Gordan系数
一、角动量一、角动量表象表象
1、 表象)ˆ,ˆ( 2 zJJ
r
任一角动量记为J(可以代表轨道、自旋等等)。
引入升降算符:
yx JiJJ ˆˆˆ ±=±
对易关系:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
±=
±−=
±
±±
±
0]ˆ,ˆ[
0]ˆ,ˆ[
ˆ]ˆ,ˆ[
ˆˆˆˆˆ
2
2
22
z
z
zz
JJ
JJ
JJJ
JJJJJ
r
r h
h
r
m
设 的共同本征态为 ,)ˆ,ˆ( 2 zJJ
r
mλ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
mmmJ
mmJ
z λλ
λλλ
h
h
r
ˆ
ˆ 22
由
mmmJJ z λλλ 2222 )(ˆˆ h
r −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
可以推知: 2m≥λ
由前面对易关系可以得到:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
±=
=
±±
±±
mJmmJJ
mJmJJ
z λλ
λλλ
ˆ)1(ˆˆ
ˆˆˆ 22
h
h
r
可见, 也是 的共同本征态,相应本征值分
别是 和 。
mJ λ±ˆ )ˆ,ˆ( 2 zJJr
2hλ h)1( ±m
对给定 ,设m上限为j,下限为j’。即:λ
0'ˆ,0ˆ == −+ jJjJ λλ
用J_左乘上面第一式,有
jjjjJJJjJJ zz λλλλ 2222 )()ˆˆˆ(ˆˆ0 hh
r −−=−−== +−
这样可以得到: )1( += jjλ
类似可以得到: )1'(' −= jjλ
以上两式联立,得到两个解:j’=-j(保留);j’=j+1(舍去)
改记: jmm →λ
态的作用:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
jmmjmJ
jmjjjmJ
z h
h
r
ˆ
)1(ˆ 22
m=-j,-j+1,…j-1,j,共2j+1个。
正交归一:
mmjjjmmj '''' δδ=
2、算符的矩阵元
1,)1)((ˆ ±+±=± mjmjmjjmJ hm
可见:
1,'')1)((ˆ'' ±± +±= mmjjmjmjjmJmj δδhm
几个算符的矩阵写法:(2j+1)阶矩阵
( )
的平均值。态上,计算)在(
的取值几率。和
,求同时测量若体系处于状态
们的共同本征矢的矩阵表示,并求出它、)求出(
时例题:当
y
x
xxx
J
J
J
mJJ
j
ˆ3
ˆ
ˆ1111
2
1)2(
1ˆˆ1
1
2
2
ψ
ψ r
r
−+=
=
习题4.1
( ) ( ) ( ) ( )−+−++ −− cJJcJcJJcJ z expexp;expexp
( )
( )( )[ ]( )( )( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] BA
AB
BABABσiAσi
CBAiCσBσAσ
BABσAσ
iσσσ ijkkji
sinsin2coscos2expexptr)3(
2tr
2tr)2(
2tr)1(
rrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrrr
⋅−=⋅⋅
⋅×=⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅
= ε
的矩阵表示。、、、时求出 zyx JJJJj ˆˆˆˆ2 2
r=
习题4.2 化简:
习题4.3
:
二、角动量的二、角动量的耦合耦合
1、合成角动量的对易关系:
设有两个独立的角动量J1,J2,它们的合成为:
21
ˆˆˆ JJJ
rrr +=
容易证明:
0]ˆ,ˆ[ 2 =JJ rr 0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 222212 == JJJJ
rrrr
0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 22
2
1 == JJJJ
rrrr
0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 22
2
1 == JJJJ
rrrr 0...]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 21 === zzzz JJJJ
但: 0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[ 2212 ≠≠ JJJJ
rrrr
角动量合成的实例:
1)一个粒子,考虑轨道、自旋后的总角动量: SLJ ˆˆˆ
rrr +=
2)两个全同粒子,总自旋为:
21
ˆˆˆ SSS
rrr +=
2、直乘表象和耦合表象
根据对易关系,由 之间两两对易,可以
建立以它们的共同本征态作为基矢的表象,称直乘表象。
zz JJJJ 2
2
21
2
1
ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
rr
221122112211 , mjmjmjmjmjmj ⊗≡=
1)直乘表象
直积(张量积),所以称为直乘表象。
本征方程:
2211222112
2211122111
2211
2
2222112
2211
2
1122111
,,ˆ
,,ˆ
,)1(,ˆ
,)1(,ˆ
mjmjmmjmjJ
mjmjmmjmjJ
mjmjjjmjmjJ
mjmjjjmjmjJ
z
z
h
h
h
r
h
r
=
=
+=
+=
对任意态展开: ∑ ∑
−= −=
= 1
11
2
22
22112211 ,,
j
jm
j
jm
mjmjmjmj ψψ
2)耦合表象
根据对易关系,由 之间两两对易,可以
建立以它们的共同本征态作为基矢的表象,称耦合表象。
2
2
2
1
2 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ JJJJ z
rrr
jmjj ,21
由于两个角动量耦合在一起,所以称为耦合表象。
本征方程:
jmjjjjjmjjJ
jmjjjjjmjjJ
jmjjmjmjjJ
jmjjjjjmjjJ
z
,)1(,ˆ
,)1(,ˆ
,,ˆ
,)1(,ˆ
21
2
2221
2
2
21
2
1121
2
1
2121
21
2
21
2
h
r
h
r
h
r
h
r
+=
+=
=
+=
j、m的取值问题
三、三、ClebschClebsch--GordanGordan系数系数
1、C-G系数的定义:
如何从直乘表象转到耦合表象?要考察它们之间的变换矩阵。
通过完备性条件:
1,,
21 ,
22112211 =∑
mm
mjmjmjmj
可知:
∑=
21
,,,, 212211221121
mm
jmjjmjmjmjmjjmjj
以上两组基之间的幺正变换矩阵元
即称为Clebsch-Gordan系数(C-G系数)。
C-G系数的个数:(2j1+1)(2j2+1)
jmjjmjmj ,, 212211
2、C-G系数的性质
21 mmm +=
1)三个磁量子数之间的关系
2)三个角量子数之间的关系
2121 jjjjj +≤≤−
上式当j=j’,m’=m=m1+m2时,有
''212211212211
''212211212211
21
2211
'',,,,
,',',,
mmjj
mm
mmmm
j
mjjjmjmjjmjjmjmj
jmjjmjmjjmjjmjmj
δδ
δδ
=
=
∑
∑
3)正交归一性质
1,,
21 ,
2
212211 =∑
mm
jmjjmjmj
4) jmjjmjmjjmjjmjmj jjj ,,)1(,, 121122212211 21 −+−=
5)Wigner 3-j 符号
mjjjmjmj
jmmm
jjj mjj −+
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
,,,
12
)1(
212211
21
21
21
6)两个常用的C-G系数:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
213
213
132
132
321
321
mmm
jjj
mmm
jjj
mmm
jjj
此种记号的优点是具有轮换对称性:
2/1
33111
)12()1(00,,,
,000,
3131
−− +−=−
=
jjjmjjm
mjjmj
mj
mmjj δδ
§4.2 转动算符
一、转动算符与转动态
二、转动算符的矩阵表示
一、转动算符与转动态一、转动算符与转动态
1、转动算符与转动态
将一个态绕空间一个轴转过一定角度后,粒子仍处于一个完全确
定的态,则称其为原来态的转动态。
pRprRr r
rrrrr )(',)(' θθ ==
例:如果 则zer
r θθ =
rR
z
y
x
z
y
x
r r
rr )(
100
0cossin
0sincos
'
'
'
' θθθ
θθ
≡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
( ) ( )rRr rrr ψθψ )(' =
这里的 称为转动算符。对态有:)(θrR
2、标量算符与矢量算符
FRFRF == −1'
1)标量算符:如果一个算符经转动变换后不变,
则该算符为矢量算符。如:坐标、动量、角动量等算符。
)(' 1 是矩阵MMFRFRF == −
2)矢量算符:如果一个算符经转动后满足:
则该算符为标量算符。如:动能算符等。
3、转动算符的形式
)()()()()()( rrLirrR rr
rrrrr
h
rrrrr ψθδψθδψψθδ ×+⋅−=
( ) ( ) jikikjkikjjkjjikkjijki iSSi εψδθψδθεψδθεψθδ hhrr −=−=−==× )(其中
)()()()()(')( rrrrrRrr r
rrrrrrrrrrrrrrr ×−×+×−=≡→ θδψθδθδψψθδψψ
对于矢量波函数,作无穷小展开:
代入前式,有
JiSLiR
rr
h
rrr
h
r ⋅−=+⋅−= θδθδθδ 1)(1)(
上式中的第三分量可化为:
利用Taylor展开:
( )hrr /exp)( JiR ⋅−= θθ
可以扩展到有限角度转动情况:
二、转动算符的矩阵表示二、转动算符的矩阵表示
jmR )(θr 2Jr
1、D矩阵
转动算符在角动量表象中的矩阵元为:
jmejmjmRjmD Jij mm
h
rrrr
/
' ')(')(
⋅−== θθθ
上式称为Wigner函数。例如:绕z轴转动的Wigner函数为:
mm
imJi
z
j
mm ejmejmeD z '
/
' ')( δθ θθ −− == hr
0])(,[
!
1],[)](,[ 2/22 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −== ∑⋅− kk
k
Ji JnJi
k
eJRJ
rrr
h
rrr hrr θθ θ
∑∑ ==
'
'
'
')('')(
m
j
mm
m
jmDjmRjmjmjmR θθ rr
所以转动态 也是 的本征态,本征值为 。
由:
2)1( h+jj
2、Euler转动
)()()(),,()( '' αβγγβαθ zyz RRRRR ==
r
。角轴转动绕
;角轴转动绕
;,角轴转动绕
)(,')3
)(,')2
)()1
'
'
γγ
ββ
αα
z
y
z
Rz
Ry
RzEuler转动:
利用
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
−
−
)()()()(
)()()()(
1
'''
1
'
βγβγ
αβαβ
yzyz
zyzy
RRRR
RRRR
采用Euler转角表示时,有:
hhh ///)()()(),,( zyz JiJiJizyz eeeRRRR
γβαγβαγβα −−−==
可以证明:
3、d矩阵
jmejmd yJij mm
h/
' ')(
ββ −=
γαγβα
γβα
β
γβαγβα
imj
mm
imimJiim
JiJiJij
mm
edeejmejme
jmeeejmjmRjmD
y
zyz
−−−−−
−−−
==
==
)('
'),,('),,(
'
'/'
///
'
h
hhh
( )zJJ ,2v
Euler角表示下的D矩阵元:
可见:当d矩阵确定了,D矩阵也确定了,反之亦然。计算
D矩阵的关键在于计算绕y方向转动算符在 表象中
的矩阵元。
其中记:
)(,)( 1 '
2/1
' ββ mmmm dd例题:求 的形式。
4、D矩阵与球谐函数
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
==
+=
+==
−
=
==
)()0,,(
),(
12
4)(
),(
12
4)0,,(
00
*
0
,
*
0
βγβα
ϕθπβ
ϕθπγβα
α
βθ
ϕ
αϕβθ
l
m
iml
m
im
lm
l
m
lm
l
m
deD
eY
l
d
Y
l
D
0,,
0
* ),,(
4
12),(
===
+=
γθβϕα
γβαπϕθ
l
mlm D
lY
或:
§4.3 对称性与守恒律
一、对称性与守恒量一般描述
二、空间平移不变性与动量守恒
三、空间转动不变性与角动量守恒
四、时间平移不变性与能量守恒
一、对称性与守恒量的一般描述一、对称性与守恒量的一般描述
1、对称性的含义
Einstein:”自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的。”
Weyl:”对称性是这样一种意念,人们长年累月地试图以它
去理解并创造秩序、美和完善。”
从量子力学的观点上看,对称性通常意味者在某种操作或
变换下系统依然保持不变,表现为系统的哈密顿量在这些
变换下保持不变。
研究对称性的意义:
1)拟定和发展理论;
2)增强人们的物理直觉,有利于迅速抓住问题的要点;
3)简化一些具体问题的计算。
2、对称性的分类
1)按变换的连续或离散的分法:
空间平移变换、空间转动变换、时间平移变换等属于连续变换;
空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换、晶体对称变换等属于离
散变换。
2)按变换不同属性的分法:
空间平移变换、空间转动变换、时间平移变换、空间反射变换、时间反演
变换等属于粒子外在属性(时空性质)的变换;
全同粒子置换、晶体对称变换、同位旋变换等属于粒子内禀属性的变换。
3、对称性和守恒量的关系
对称性往往预示着有某种守恒量的存在。
设Ψ的演化满足薛定谔方程, ψψ H
t
i =∂
∂h
考虑某种线性变换Q,使得Ψ’=Q Ψ仍满足上述薛定谔方程。
则会发现 0],[ =HQ 即 HHQQ =−1
Q应是么正算符 IQQQQ == ++
可以证明,一个连续变化的么正算符总可以写成以下形式:
FiIeQ Fi εε +≈=
这里的F 为厄米算符,称为变换Q的无穷小算符。
可以证明:必有[F,H]=0。这样F就是体系的一个守恒量。
二、空间平移不变性与动量守恒二、空间平移不变性与动量守恒
考虑体系沿x方向的无穷小平移 xxxx δ+=→ '
波函数变化为 ψψψ D=→ '
可证 )/ˆexp()( hxpxixD δδ −=
其中动量算符的x分量 为无穷小算符。xipx ∂
∂−= hˆ
若扩展到三维情况,无穷小算符就是三维动量算符。
如果存在空间平移变换不变性,即[D,H]=0,则必有:
0],ˆ[ =Hpr
即动量守恒定律。
即:空间平移变换不变性(空间均匀性)将导致动量守恒律。
三、空间转动不变性与角动量守恒三、空间转动不变性与角动量守恒
考虑体系绕z轴旋转的无穷小角度 δϕϕϕϕ +=→ '
波函数变化为 ψψψ R=→ '
可证 )/ˆexp()( hzliR δϕδϕ −=
其中角动量算符的z分量为无穷小算符。
若扩展到三维情况,无穷小算符就是三维角动量算符。
如果存在空间转动变换不变性,即[R,H]=0,则必有:
0],ˆ[ =Hlr
即角动量守恒定律。
即:空间转动变换不变性(空间各向同性)将导致角动量
守恒律。
四、时间平移不变性与能量守恒四、时间平移不变性与能量守恒
考虑对体系中态的时间作一平移变换
)()()()(:)( τψψτψτ −=→ ttUtU
利用薛定谔方程不难证明
)/exp()( hHiU ττ =
它的无穷小算符就是哈密顿算符,当然满足与自己对易。
即:时间平移不变性(时间均匀性)导致能量守恒定律。
§4.4 量子体系中特有的对称性
一、空间反射与宇称守恒
二、时间反演不变性
三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒
四、全同粒子系置换对称性
一、空间反射与宇称守恒一、空间反射与宇称守恒
空间反射变换 pprr rrrr −→−→
宇称算符:对任意态Ψ(r)
)()(ˆ,)()(ˆ ppPrrP rrrr −=−= ϕϕψψ
可以看出:宇称算符是么正、厄米、自逆算符:
由 可得宇称算符两个本征值:+1和-1。分别对应于空
间反射下对称态和反对称态。(注意:一个任意态总可以
分解为一个对称态和一个反对称态的和)
1ˆˆˆ −+ == PPP
1ˆ 2 =P
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
±=
+=
±
−+
ψψ
ψψψ
Pˆ1
2
1
1、宇称算符
2、宇称算符对态与算符的变换
在宇称变换下:
SPSPLPLPpPpPrPrP
rrrrrrrr ==−=−= −−−− 1111 ,,,
在宇称变换下变号的称为奇宇称,不变的称为偶宇称。
宇称与矢量算符与标量算符:
矢量算符:奇宇称—矢量算符,偶宇称—赝矢量算符;
标量算符:奇宇称—赝标量算符,偶宇称—标量算符;
3、宇称守恒定律:粒子反应前后总宇称应相等。
弱相互作用下的宇称不守恒。 杨振宁李政道 吴健雄
∏∏ −=− f ki j N
k
k
l
N
j
j
l PP )1()1(
二、时间反演不变性二、时间反演不变性
时间反演: tt −→
薛定谔方程: ),(*),(* trHtr
t
i −=−∂
∂ rrh ψψ
这意味着:在时间反演下,态函数的变化为:
定义一个时间反演算符T,把一个态变成它的时间反演态:
),(*),( trtr −→ rr ψψ
ααα T=→ ~
1、时间反演算符
2、时间反演算符的性质
时间反演不是通常的幺正算符,而是一个反幺正算符。
βαβα
αβαβ
TcTcccT *2
*
121 )()2
*~~)1
+=+
=
一个反幺正算符可以写成一个幺正算符和一个复共轭算符
的乘积:
3、时间反演变换
UKT =
在时间反演变换下,哈密顿量、坐标变换不变,动量、角动
量反号:
STSTLTLTpTpT
rTrTHTHT
rrrrrr
r
−=−=−=
==
−−−
−−
111
11
,,
,
4、时间反演对称性带来的后果
1)Kramers简并:晶体中原子的电子能级因邻近原子静电
场带来的劈裂,当电子数为奇数时,至少有二重简并。
2)反应过程中的到易定理与细致平衡:
3)粒子发射与吸收矩阵元是实数
22
~~
2
~~
2
~~~~
2
~~
)()(
)(,)(
abbaba
a
ba
b
ba
abababbaba
baba
abba
AAA
E
P
E
P
EAPEAP
AA
AA
==
=
≈≈
=
=
:细致平衡原理
:跃迁几率的倒易定理
:由
:时间反演不变性要求
:反应前后的跃迁矩阵元
ρρ
ρρ
ψψ
4)时间反演态相因子的约定及应用
5、CPT定理
C—电荷共轭(电荷反号),P —宇称,T—时间反演
1956年宇称不守恒的发现;
CPT定理:
根据相对论与量子场论的基本原理,系统在CPT联合变换
下是守恒的。
1964年CP不守恒的发现。
三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒
根据核力与电荷无关的事实,可以将质子和中子考虑成同一
个粒子(称为核子)的两个可能的状态。设核子波函数为:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
)(
)(
2
1
r
r
r
r
ϕ
ϕϕ
其中
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
)(
0
,
0
)(
2
1
r
r
np r
r
ϕϕ
ϕϕ
在三个泡利矩阵作用下,波函数的变化为:
nnpnpn
ppnpnp
i
i
ϕϕσϕϕσϕϕσ
ϕϕσϕϕσϕϕσ
−=−==
===
321
321
,,
;,,
1、同位旋算符
同位旋算符:
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Θ=
00
01
1
22
1ˆ
33 e
eeQ σ
可见:质子与中子只是同位旋第三分量不同的两个状态。
2、电荷算符
可用同位旋第三分量构造电荷算符:
σrr
2
1=Θ
0ˆ,ˆ == npp QeQ ϕϕϕ
显然,有:
四、全同粒子系置换对称性四、全同粒子系置换对称性
量子力学第五公设:
系统中任意两个全同粒子的交换,都不改变系统的状态。
引入置换算符Pij
...),...,...(...),...,...(...),...,...(ˆ 111 jiijijjiij qqqqqqqqqP ψλψψ ==
不难证明: 1ˆ 22 == ijijP λ
即: 1±=ijλ
而且: +− == ijijij PPP ˆˆˆ 1
置换算符是一个厄密、么正、自逆算符,本征值为1、-1。
推论1
系统中任意两个全同粒子交换的结果是:系统的波函数或不变,
或只改变一个负号。
推论2
系统中任意两个全同粒子交换的结果是:系统的哈密顿算符不变。
系统能级的这种简并性质称为“交换简并”。