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04_角动量对称性

2011-10-10 7页 pdf 235KB 121阅读

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is_253467

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04_角动量对称性 第四章 角动量与对称性 §4.1 角动量算符 §4.2 转动算符 §4.3 对称性与守恒律 §4.4 量子体系中特有的对称性 §4.1 角动量算符 一、角动量表象 二、角动量的耦合 三、Clebsch-Gordan系数 一、角动量一、角动量表象表象 1、 表象)ˆ,ˆ( 2 zJJ r 任一角动量记为J(可以代表轨道、自旋等等)。 引入升降算符: yx JiJJ ˆˆˆ ±=± 对易关系: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ±= ±−= ± ±± ± 0]ˆ,ˆ[ 0]ˆ,ˆ[ ˆ]...
04_角动量对称性
第四章 角动量与对称性 §4.1 角动量算符 §4.2 转动算符 §4.3 对称性与守恒律 §4.4 量子体系中特有的对称性 §4.1 角动量算符 一、角动量表象 二、角动量的耦合 三、Clebsch-Gordan系数 一、角动量一、角动量表象表象 1、 表象)ˆ,ˆ( 2 zJJ r 任一角动量记为J(可以代表轨道、自旋等等)。 引入升降算符: yx JiJJ ˆˆˆ ±=± 对易关系: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ±= ±−= ± ±± ± 0]ˆ,ˆ[ 0]ˆ,ˆ[ ˆ]ˆ,ˆ[ ˆˆˆˆˆ 2 2 22 z z zz JJ JJ JJJ JJJJJ r r h h r m 设 的共同本征态为 ,)ˆ,ˆ( 2 zJJ r mλ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = mmmJ mmJ z λλ λλλ h h r ˆ ˆ 22 由 mmmJJ z λλλ 2222 )(ˆˆ h r −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 可以推知: 2m≥λ 由前面对易关系可以得到: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ±= = ±± ±± mJmmJJ mJmJJ z λλ λλλ ˆ)1(ˆˆ ˆˆˆ 22 h h r 可见, 也是 的共同本征态,相应本征值分 别是 和 。 mJ λ±ˆ )ˆ,ˆ( 2 zJJr 2hλ h)1( ±m 对给定 ,设m上限为j,下限为j’。即:λ 0'ˆ,0ˆ == −+ jJjJ λλ 用J_左乘上面第一式,有 jjjjJJJjJJ zz λλλλ 2222 )()ˆˆˆ(ˆˆ0 hh r −−=−−== +− 这样可以得到: )1( += jjλ 类似可以得到: )1'(' −= jjλ 以上两式联立,得到两个解:j’=-j(保留);j’=j+1(舍去) 改记: jmm →λ 态的作用: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += jmmjmJ jmjjjmJ z h h r ˆ )1(ˆ 22 m=-j,-j+1,…j-1,j,共2j+1个。 正交归一: mmjjjmmj '''' δδ= 2、算符的矩阵元 1,)1)((ˆ ±+±=± mjmjmjjmJ hm 可见: 1,'')1)((ˆ'' ±± +±= mmjjmjmjjmJmj δδhm 几个算符的矩阵写法:(2j+1)阶矩阵 ( ) 的平均值。态上,计算)在( 的取值几率。和 ,求同时测量若体系处于状态 们的共同本征矢的矩阵表示,并求出它、)求出( 时例题:当 y x xxx J J J mJJ j ˆ3 ˆ ˆ1111 2 1)2( 1ˆˆ1 1 2 2 ψ ψ r r −+= = 习题4.1 ( ) ( ) ( ) ( )−+−++ −− cJJcJcJJcJ z expexp;expexp ( ) ( )( )[ ]( )( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] BA AB BABABσiAσi CBAiCσBσAσ BABσAσ iσσσ ijkkji sinsin2coscos2expexptr)3( 2tr 2tr)2( 2tr)1( rrrrrr rrrrrrrrr rrrrrr ⋅−=⋅⋅ ⋅×=⋅⋅⋅ ⋅=⋅⋅ = ε 的矩阵表示。、、、时求出 zyx JJJJj ˆˆˆˆ2 2 r= 习题4.2 化简: 习题4.3 : 二、角动量的二、角动量的耦合耦合 1、合成角动量的对易关系: 设有两个独立的角动量J1,J2,它们的合成为: 21 ˆˆˆ JJJ rrr += 容易证明: 0]ˆ,ˆ[ 2 =JJ rr 0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 222212 == JJJJ rrrr 0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 22 2 1 == JJJJ rrrr 0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 22 2 1 == JJJJ rrrr 0...]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ 21 === zzzz JJJJ 但: 0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[ 2212 ≠≠ JJJJ rrrr 角动量合成的实例: 1)一个粒子,考虑轨道、自旋后的总角动量: SLJ ˆˆˆ rrr += 2)两个全同粒子,总自旋为: 21 ˆˆˆ SSS rrr += 2、直乘表象和耦合表象 根据对易关系,由 之间两两对易,可以 建立以它们的共同本征态作为基矢的表象,称直乘表象。 zz JJJJ 2 2 21 2 1 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ rr 221122112211 , mjmjmjmjmjmj ⊗≡= 1)直乘表象 直积(张量积),所以称为直乘表象。 本征方程: 2211222112 2211122111 2211 2 2222112 2211 2 1122111 ,,ˆ ,,ˆ ,)1(,ˆ ,)1(,ˆ mjmjmmjmjJ mjmjmmjmjJ mjmjjjmjmjJ mjmjjjmjmjJ z z h h h r h r = = += += 对任意态展开: ∑ ∑ −= −= = 1 11 2 22 22112211 ,, j jm j jm mjmjmjmj ψψ 2)耦合表象 根据对易关系,由 之间两两对易,可以 建立以它们的共同本征态作为基矢的表象,称耦合表象。 2 2 2 1 2 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ JJJJ z rrr jmjj ,21 由于两个角动量耦合在一起,所以称为耦合表象。 本征方程: jmjjjjjmjjJ jmjjjjjmjjJ jmjjmjmjjJ jmjjjjjmjjJ z ,)1(,ˆ ,)1(,ˆ ,,ˆ ,)1(,ˆ 21 2 2221 2 2 21 2 1121 2 1 2121 21 2 21 2 h r h r h r h r += += = += j、m的取值问题 三、三、ClebschClebsch--GordanGordan系数系数 1、C-G系数的定义: 如何从直乘表象转到耦合表象?要考察它们之间的变换矩阵。 通过完备性条件: 1,, 21 , 22112211 =∑ mm mjmjmjmj 可知: ∑= 21 ,,,, 212211221121 mm jmjjmjmjmjmjjmjj 以上两组基之间的幺正变换矩阵元 即称为Clebsch-Gordan系数(C-G系数)。 C-G系数的个数:(2j1+1)(2j2+1) jmjjmjmj ,, 212211 2、C-G系数的性质 21 mmm += 1)三个磁量子数之间的关系 2)三个角量子数之间的关系 2121 jjjjj +≤≤− 上式当j=j’,m’=m=m1+m2时,有 ''212211212211 ''212211212211 21 2211 '',,,, ,',',, mmjj mm mmmm j mjjjmjmjjmjjmjmj jmjjmjmjjmjjmjmj δδ δδ = = ∑ ∑ 3)正交归一性质 1,, 21 , 2 212211 =∑ mm jmjjmjmj 4) jmjjmjmjjmjjmjmj jjj ,,)1(,, 121122212211 21 −+−= 5)Wigner 3-j 符号 mjjjmjmj jmmm jjj mjj −+ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− ,,, 12 )1( 212211 21 21 21 6)两个常用的C-G系数: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 213 213 132 132 321 321 mmm jjj mmm jjj mmm jjj 此种记号的优点是具有轮换对称性: 2/1 33111 )12()1(00,,, ,000, 3131 −− +−=− = jjjmjjm mjjmj mj mmjj δδ §4.2 转动算符 一、转动算符与转动态 二、转动算符的矩阵表示 一、转动算符与转动态一、转动算符与转动态 1、转动算符与转动态 将一个态绕空间一个轴转过一定角度后,粒子仍处于一个完全确 定的态,则称其为原来态的转动态。 pRprRr r rrrrr )(',)(' θθ == 例:如果 则zer r θθ = rR z y x z y x r r rr )( 100 0cossin 0sincos ' ' ' ' θθθ θθ ≡ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ( )rRr rrr ψθψ )(' = 这里的 称为转动算符。对态有:)(θrR 2、标量算符与矢量算符 FRFRF == −1' 1)标量算符:如果一个算符经转动变换后不变, 则该算符为矢量算符。如:坐标、动量、角动量等算符。 )(' 1 是矩阵MMFRFRF == − 2)矢量算符:如果一个算符经转动后满足: 则该算符为标量算符。如:动能算符等。 3、转动算符的形式 )()()()()()( rrLirrR rr rrrrr h rrrrr ψθδψθδψψθδ ×+⋅−= ( ) ( ) jikikjkikjjkjjikkjijki iSSi εψδθψδθεψδθεψθδ hhrr −=−=−==× )(其中 )()()()()(')( rrrrrRrr r rrrrrrrrrrrrrrr ×−×+×−=≡→ θδψθδθδψψθδψψ 对于矢量波函数,作无穷小展开: 代入前式,有 JiSLiR rr h rrr h r ⋅−=+⋅−= θδθδθδ 1)(1)( 上式中的第三分量可化为: 利用Taylor展开: ( )hrr /exp)( JiR ⋅−= θθ 可以扩展到有限角度转动情况: 二、转动算符的矩阵表示二、转动算符的矩阵表示 jmR )(θr 2Jr 1、D矩阵 转动算符在角动量表象中的矩阵元为: jmejmjmRjmD Jij mm h rrrr / ' ')(')( ⋅−== θθθ 上式称为Wigner函数。例如:绕z轴转动的Wigner函数为: mm imJi z j mm ejmejmeD z ' / ' ')( δθ θθ −− == hr 0])(,[ ! 1],[)](,[ 2/22 =⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== ∑⋅− kk k Ji JnJi k eJRJ rrr h rrr hrr θθ θ ∑∑ == ' ' ' ')('')( m j mm m jmDjmRjmjmjmR θθ rr 所以转动态 也是 的本征态,本征值为 。 由: 2)1( h+jj 2、Euler转动 )()()(),,()( '' αβγγβαθ zyz RRRRR == r 。角轴转动绕 ;角轴转动绕 ;,角轴转动绕 )(,')3 )(,')2 )()1 ' ' γγ ββ αα z y z Rz Ry RzEuler转动: 利用 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = − − )()()()( )()()()( 1 ''' 1 ' βγβγ αβαβ yzyz zyzy RRRR RRRR 采用Euler转角表示时,有: hhh ///)()()(),,( zyz JiJiJizyz eeeRRRR γβαγβαγβα −−−== 可以证明: 3、d矩阵 jmejmd yJij mm h/ ' ')( ββ −= γαγβα γβα β γβαγβα imj mm imimJiim JiJiJij mm edeejmejme jmeeejmjmRjmD y zyz −−−−− −−− == == )(' '),,('),,( ' '/' /// ' h hhh ( )zJJ ,2v Euler角表示下的D矩阵元: 可见:当d矩阵确定了,D矩阵也确定了,反之亦然。计算 D矩阵的关键在于计算绕y方向转动算符在 表象中 的矩阵元。 其中记: )(,)( 1 ' 2/1 ' ββ mmmm dd例题:求 的形式。 4、D矩阵与球谐函数 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ == += +== − = == )()0,,( ),( 12 4)( ),( 12 4)0,,( 00 * 0 , * 0 βγβα ϕθπβ ϕθπγβα α βθ ϕ αϕβθ l m iml m im lm l m lm l m deD eY l d Y l D 0,, 0 * ),,( 4 12),( === += γθβϕα γβαπϕθ l mlm D lY 或: §4.3 对称性与守恒律 一、对称性与守恒量一般描述 二、空间平移不变性与动量守恒 三、空间转动不变性与角动量守恒 四、时间平移不变性与能量守恒 一、对称性与守恒量的一般描述一、对称性与守恒量的一般描述 1、对称性的含义 Einstein:”自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的。” Weyl:”对称性是这样一种意念,人们长年累月地试图以它 去理解并创造秩序、美和完善。” 从量子力学的观点上看,对称性通常意味者在某种操作或 变换下系统依然保持不变,表现为系统的哈密顿量在这些 变换下保持不变。 研究对称性的意义: 1)拟定和发展理论; 2)增强人们的物理直觉,有利于迅速抓住问题的要点; 3)简化一些具体问题的计算。 2、对称性的分类 1)按变换的连续或离散的分法: 空间平移变换、空间转动变换、时间平移变换等属于连续变换; 空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换、晶体对称变换等属于离 散变换。 2)按变换不同属性的分法: 空间平移变换、空间转动变换、时间平移变换、空间反射变换、时间反演 变换等属于粒子外在属性(时空性质)的变换; 全同粒子置换、晶体对称变换、同位旋变换等属于粒子内禀属性的变换。 3、对称性和守恒量的关系 对称性往往预示着有某种守恒量的存在。 设Ψ的演化满足薛定谔方程, ψψ H t i =∂ ∂h 考虑某种线性变换Q,使得Ψ’=Q Ψ仍满足上述薛定谔方程。 则会发现 0],[ =HQ 即 HHQQ =−1 Q应是么正算符 IQQQQ == ++ 可以证明,一个连续变化的么正算符总可以写成以下形式: FiIeQ Fi εε +≈= 这里的F 为厄米算符,称为变换Q的无穷小算符。 可以证明:必有[F,H]=0。这样F就是体系的一个守恒量。 二、空间平移不变性与动量守恒二、空间平移不变性与动量守恒 考虑体系沿x方向的无穷小平移 xxxx δ+=→ ' 波函数变化为 ψψψ D=→ ' 可证 )/ˆexp()( hxpxixD δδ −= 其中动量算符的x分量 为无穷小算符。xipx ∂ ∂−= hˆ 若扩展到三维情况,无穷小算符就是三维动量算符。 如果存在空间平移变换不变性,即[D,H]=0,则必有: 0],ˆ[ =Hpr 即动量守恒定律。 即:空间平移变换不变性(空间均匀性)将导致动量守恒律。 三、空间转动不变性与角动量守恒三、空间转动不变性与角动量守恒 考虑体系绕z轴旋转的无穷小角度 δϕϕϕϕ +=→ ' 波函数变化为 ψψψ R=→ ' 可证 )/ˆexp()( hzliR δϕδϕ −= 其中角动量算符的z分量为无穷小算符。 若扩展到三维情况,无穷小算符就是三维角动量算符。 如果存在空间转动变换不变性,即[R,H]=0,则必有: 0],ˆ[ =Hlr 即角动量守恒定律。 即:空间转动变换不变性(空间各向同性)将导致角动量 守恒律。 四、时间平移不变性与能量守恒四、时间平移不变性与能量守恒 考虑对体系中态的时间作一平移变换 )()()()(:)( τψψτψτ −=→ ttUtU 利用薛定谔方程不难证明 )/exp()( hHiU ττ = 它的无穷小算符就是哈密顿算符,当然满足与自己对易。 即:时间平移不变性(时间均匀性)导致能量守恒定律。 §4.4 量子体系中特有的对称性 一、空间反射与宇称守恒 二、时间反演不变性 三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒 四、全同粒子系置换对称性 一、空间反射与宇称守恒一、空间反射与宇称守恒 空间反射变换 pprr rrrr −→−→ 宇称算符:对任意态Ψ(r) )()(ˆ,)()(ˆ ppPrrP rrrr −=−= ϕϕψψ 可以看出:宇称算符是么正、厄米、自逆算符: 由 可得宇称算符两个本征值:+1和-1。分别对应于空 间反射下对称态和反对称态。(注意:一个任意态总可以 分解为一个对称态和一个反对称态的和) 1ˆˆˆ −+ == PPP 1ˆ 2 =P ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ±= += ± −+ ψψ ψψψ Pˆ1 2 1 1、宇称算符 2、宇称算符对态与算符的变换 在宇称变换下: SPSPLPLPpPpPrPrP rrrrrrrr ==−=−= −−−− 1111 ,,, 在宇称变换下变号的称为奇宇称,不变的称为偶宇称。 宇称与矢量算符与标量算符: 矢量算符:奇宇称—矢量算符,偶宇称—赝矢量算符; 标量算符:奇宇称—赝标量算符,偶宇称—标量算符; 3、宇称守恒定律:粒子反应前后总宇称应相等。 弱相互作用下的宇称不守恒。 杨振宁李政道 吴健雄 ∏∏ −=− f ki j N k k l N j j l PP )1()1( 二、时间反演不变性二、时间反演不变性 时间反演: tt −→ 薛定谔方程: ),(*),(* trHtr t i −=−∂ ∂ rrh ψψ 这意味着:在时间反演下,态函数的变化为: 定义一个时间反演算符T,把一个态变成它的时间反演态: ),(*),( trtr −→ rr ψψ ααα T=→ ~ 1、时间反演算符 2、时间反演算符的性质 时间反演不是通常的幺正算符,而是一个反幺正算符。 βαβα αβαβ TcTcccT *2 * 121 )()2 *~~)1 +=+ = 一个反幺正算符可以写成一个幺正算符和一个复共轭算符 的乘积: 3、时间反演变换 UKT = 在时间反演变换下,哈密顿量、坐标变换不变,动量、角动 量反号: STSTLTLTpTpT rTrTHTHT rrrrrr r −=−=−= == −−− −− 111 11 ,, , 4、时间反演对称性带来的后果 1)Kramers简并:晶体中原子的电子能级因邻近原子静电 场带来的劈裂,当电子数为奇数时,至少有二重简并。 2)反应过程中的到易定理与细致平衡: 3)粒子发射与吸收矩阵元是实数 22 ~~ 2 ~~ 2 ~~~~ 2 ~~ )()( )(,)( abbaba a ba b ba abababbaba baba abba AAA E P E P EAPEAP AA AA == = ≈≈ = = :细致平衡原理 :跃迁几率的倒易定理 :由 :时间反演不变性要求 :反应前后的跃迁矩阵元 ρρ ρρ ψψ 4)时间反演态相因子的约定及应用 5、CPT定理 C—电荷共轭(电荷反号),P —宇称,T—时间反演 1956年宇称不守恒的发现; CPT定理: 根据相对论与量子场论的基本原理,系统在CPT联合变换 下是守恒的。 1964年CP不守恒的发现。 三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒三、同位旋旋转对称性与同位旋守恒 根据核力与电荷无关的事实,可以将质子和中子考虑成同一 个粒子(称为核子)的两个可能的状态。设核子波函数为: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= )( )( 2 1 r r r r ϕ ϕϕ 其中 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= )( 0 , 0 )( 2 1 r r np r r ϕϕ ϕϕ 在三个泡利矩阵作用下,波函数的变化为: nnpnpn ppnpnp i i ϕϕσϕϕσϕϕσ ϕϕσϕϕσϕϕσ −=−== === 321 321 ,, ;,, 1、同位旋算符 同位旋算符: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Θ= 00 01 1 22 1ˆ 33 e eeQ σ 可见:质子与中子只是同位旋第三分量不同的两个状态。 2、电荷算符 可用同位旋第三分量构造电荷算符: σrr 2 1=Θ 0ˆ,ˆ == npp QeQ ϕϕϕ 显然,有: 四、全同粒子系置换对称性四、全同粒子系置换对称性 量子力学第五公设: 系统中任意两个全同粒子的交换,都不改变系统的状态。 引入置换算符Pij ...),...,...(...),...,...(...),...,...(ˆ 111 jiijijjiij qqqqqqqqqP ψλψψ == 不难证明: 1ˆ 22 == ijijP λ 即: 1±=ijλ 而且: +− == ijijij PPP ˆˆˆ 1 置换算符是一个厄密、么正、自逆算符,本征值为1、-1。 推论1 系统中任意两个全同粒子交换的结果是:系统的波函数或不变, 或只改变一个负号。 推论2 系统中任意两个全同粒子交换的结果是:系统的哈密顿算符不变。 系统能级的这种简并性质称为“交换简并”。
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