安徽省皖南八校2012届高三第一次联考文科数学2011.9.25

安徽省皖南八校2012届高三第一次联考 安徽省皖南八校2012届高三第一次联考 数学（文）试题 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。 参考公式： 锥体积公式： ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 球体体积公式： ，其中R为球体半径。 第I卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 的元素个数为 （ ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．已知是虚数单位， 是纯虚数，则实数等于 （ ） A．—1 B．1 C． D．— 3．已知数列 的值为 （ ） A．—3 B．3 C．2 D．—2 4．某物体是空心的几体体，其三视图均为右图，则其体积为（ ） A．8 B． C． D． 5．已知 ，则“ ”是“ ” （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的一条渐近平行，则此双曲线离心率是 （ ） A． B．1 C． D．2 7．某次跳水比赛中，七位评委为甲、乙两选手打出的分数的茎叶图如图 ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、 乙两人的平均得分分别为 ，则有（ ） A． B． C． D． 有关 8．若直线 经过抛物线 的焦点，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 9．函数 的图像可能是 （ ） 10．已知关于x的方程 的两根为 ，且满足 ，则点（m，n）所表示的平面区域面积为 （ ） A． B． C． D．2 第II卷 （非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。 11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出b的值为 。 12．已知a，b两个非零向量，满足 ，则向量a与b 的夹角为 。 13．已知函数 图像在点 的切线与 图像在点M处的切线平行，则点M的坐标为 。 14．①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，…… 以此类推：三角形纸片内有15个点，连同三角形的顶点共18个点，若其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为 个。（用数字作答） 15．对于实数x，y，定义运算 ，已知 ，则下列运算结果为 的序号为 。（填写所有正确结果的序号） ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16．（本小题满分12分） 某汽车厂生产A、B两类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种，某月的产量如下表： 轿车A 轿车B 舒适型 100 X 标准型 300 400 按分层抽样的方法在该月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车20辆。 （I）求x的值； （II）用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2辆，求至少有一辆舒适轿车的概率。 17．（本小题满分12分） 已知 （I）求 的最大值，及当取最大值时x的取值集合。 （II）在三角形ABC中a、b、c分别是角A、B、C所对的边，对定义域内任意 ，且b=1，c=2，求a的值。 18．（本小题满分12分） 如图，在多面体ABDEC中，AE平面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。 （I）求证：EF//平面ABC； （II）求证： 平面BCD； （III）求多面体ABDEC的体积。 19．（本小题满分13分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，且椭圆经过圆 的圆心C。 （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线 与椭圆交于A、B两点，点 且|PA|=|PB|，求直线 的方程。 20．（本小题满分13分） 已知函数 （I）求函数 的单调区间； （II）若 ，在（1，2）上为单调递减函数。求实数a的范围。 21．（本小题满分13分） 已知数列 的前n项和 与通项 之间满足关系 （I）求数列 的通项公式； （II）设 求 （III）若 ，求 的前n项和 参考答案 1．​ 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B D A C A C C C 1． 解析： ， , 所以元素个数为2个。 2． 解析　 是纯虚数，则故a＝－1． 3．解析 故所求值为3 4．解析 该物体是一个正方体挖掉了其内切球，故为D选项。 5．解析 。 故为充分不必要条件。 6．解析 依题意，应有=tan30°，又＝，∴= ，解得e= ． 7．解析 注意去掉最高分和最低分， ， 8．解析 圆心为（-1,2），代入直线方程得： 故： 9．解析 ，且 。所以选C 10．解析 作可行域如图： 所以面积为1， 二、填空题 11．8 解析：逐步运算即可。 12． 解析： 可得： 解得 ，且 13． 解析： ，得 14．31 15．①③ 解析： ， 得 。 代入所求各式即可。 三、解答题 16．解析 （1）由 ，解得 ————4分 （2） 法一：列举法 抽取容量为6的样本，则其中舒适型轿车为2辆，标准型轿车为4辆，可设舒适型轿车为 ，标准型轿车为 ， 则从6辆的样本中任抽2辆的可能有 ， ， ， ， ， 共15种， 至少有一辆是舒适型轿车的可能有 ， ， 共9种， 所以至少有一辆是舒适型轿车的概率是 ----------------------12分 法二：抽取容量为6的样本，则其中舒适性2辆；标准型4辆。 ————6分 法一： ————12分 17．解析：（1） （２）因为 对定义域内任一x有 18．解析： （1）​ 找BC中点G点，连接AG，FG F，G分别为DC,BC中点 //AG //平面ABC ………．4分 （2） 因为 面 ， ∥ DB⊥平面ABC 又∵DB平面 平面ABC⊥平面 又∵G为 BC中点且AC=AB=BC AG⊥BC AG⊥平面 , 又∵ 平面 ………………………．8分 （3） 过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH= …………12分 19．解析： （1）由圆C的方程可知：圆心C（1，-2） ————2分 设椭圆的方程为 椭圆过圆心C，可得： 另 ，且 。 解得： 即椭圆的方程为： ————6分 （2）将直线方程与椭圆方程联立方程组消元可得： 设 法一：设AB中点M 其中 ， ————8分 若 ，则有： ，解得： ————10分 若 ，显然满足题意。 故直线 的方程为： 或 或 ————13分 法二：由 ,代入可得方程：可解出 或 20．解析： （1）函数 的定义域为 ————1分 令 解得： ————4分 时， 。此时函数单调递减。 时， 。此时函数单调递增。 ————6分 （2） 由题意可知， 时， 恒成立。 ————9分 即 由（1）可知， ————11分 由 可得 即 ————13分 21．解析： （1） 时， ————1分 时， 得 即数列 是首项为 公比为 的等比数列 ————3分 故 ————4分 （2）由已知可得： 则： ————5分 故： ————6分 ————8分 （2）​ 由题意： （3）​ 故 ————10分 得： ————11分 ————13分