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非线性偏微分方程

2011-10-11 8页 pdf 202KB 256阅读

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非线性偏微分方程 第 8章 非线性偏微分方程与积分方程 前面几章所研究的偏微分方程都是线性的,但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线 性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的 假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法 略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.在实际工作中,还经常碰上另外一类重 要的方程—积分方程,它在弹性介质理论和流体力学中应用很广,本章,我们对这两类重要 的方程做一个简单的介绍,掌握一些基本概念和方法,更深入的结果请查阅相...
非线性偏微分方程
第 8章 非线性偏微分方程与积分方程 前面几章所研究的偏微分方程都是线性的,但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线 性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的 假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法 略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.在实际工作中,还经常碰上另外一类重 要的方程—积分方程,它在弹性介质理论和流体力学中应用很广,本章,我们对这两类重要 的方程做一个简单的介绍,掌握一些基本概念和,更深入的结果请查阅相关的籍和论 文。 8.1 极小曲面问题 设Ω是平面上的有界区域,它的边界 Ω∂ 是充分光滑的,其方程为 )0( )( )( 0sssyy sxx ≤≤⎩⎨ ⎧ = = 式中, )()0(),()0( 00 syysxx == ,即 Ω∂ 是一条闭曲线 在空间作一条闭曲线 l,其在平面上的投影为 Ω∂ ,有 )0( )( )( )( : 0ss su syy sxx l ≤≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ϕ 这里 )()0( 0sϕϕ = 所谓极小曲面问题就是在区域 Ω∂+Ω=Ω 上定义一张曲面 S,要求 (1) S以 l为周界 (2)在所有的 S中,求表面积最小的曲面 *S 假设空间曲面的方程为 ),( yxvv = 则由微积分的理论可知,这个曲面的表面积为 )1.1.8(1)( 22 σdvvvJ yx∫∫ Ω ++= 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u,使得 (1) ),( yxuu = 所表示的曲面以 l为周界,即 ϕMu∈ ,其中 { };,)(1 ϕϕ =Ω∈= Ω∂vcvvM (2) )2.1.8()(min)( vJuJ Mv ϕ∈ = 这是一个变分问题 如何求出变分问题式(8.1.2)的解?我们先来看看假若 ϕMu∈ 是式(8.1.2)的解,那 么u必需满足什么样的条件。为此,我们定义 { },0,)(10 =Ω∈= Ω∂vcvvM 任取 0Mv∈ , 对任意 ,),,( ϕεε Mvu ∈++∞−∞∈ 记 )()( vuJj εε += 式中, )(uJ 由式(8.1.1)确定,从 式(8.1.1)可知 )(εj 是定义在R上的一个可微函数,由于u是式(8.1.2)的解,所以对任 意 )0()(, jjR ≥∈ εε ,即 )(εj 在 0=ε 处取的是最小值,故 )0)0( =′j 不难算出 dxdy vuvu vvuvvu j yyxx yyxx∫∫Ω ++++ +++=′ 22 )()(1 )()( )( εε εεε ∫∫Ω =+++++ 0]11[ 2222 dxdyvuu v v uu u y yx y x yx x 假若u具有更好的光滑性,例如 )(2 Ω∈Cu ,则由格林公式可得 ∫∫ ∫Ω Ω∂ =∂ ∂ ++ + ++∂ ∂+ ++∂ ∂− 0 1 ]} 1 [] 1 [{ 222222 ds n u uu vvdxdy uu u yuu u x yxyx y yx x 由于 0Mv∈ ,即 0=Ω∂v ,因此上式左端第二项为零,再由 v的任意性及被积函数的连续 性可知 )3.1.8(0] 1 [] 1 [ 2222 = ++∂ ∂+ ++∂ ∂ yx y yx x uu u yuu u x 这个方程称为变分问题(8.1.2)的欧拉方程 上面的推导说明,如果u是式(8.1.2)的解,且 )(2 Ω∈Cu ,则u必满足式(8.1.3),当然 还应满足边界条件 )4.1.8(ϕ=Ω∂u 因此定义在Ω上且以空间曲线 l为周界的极小曲面 ),( yxuu = 必定在Ω内满足式(8.1.3) 并在 Ω∂ 上满足边界条件式(8.1.4)式(8.1.3)可以改写成 )5.1.8(0)1(2)1( 22 =++−+ yyxxyyxxxy uuuuuuu 这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点?它关于二阶导数 xyxx uu , 及 yyu 是线性的, 但它们前面的系数分别含有 yxy uuu ,2 及 2yu ,所以对 yx uu , 来说它不是线性关系,特别是, 如果把 yx uu , , xyxx uu , 及 yyu 同等对待,则这个方程对它们不是一个线性方程,故它是一个 非线性方程。 我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程。其实,在力学、物理学及几何 学中都有大量的非线性偏微分方程。例如,在热传导问题中,如果热传导系数 k不是常数, 而是温度的函数,则三维热传导方程为 )6.1.8())(())(())(( z uuk zy uuk yx uuk xt u ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ 这也是一个非线性方程 在流体力学中,描述粘性气体运动的方程是著名的纳维—斯托克斯方程,其形式为 0 )(3 1 =∂ ∂+∂ ∂ ∑ =i i i x u t ρρ (连续性方程) ∑ ∂ ∂+∂ ∂−= j j xy i i xx P dt du τ ρ 1 (动量方程) (8.1.7) t Pu x T x uTC dt d i iji jj j p ∂ ∂++∂ ∂ ∂ ∂=+ ∑∑ ρτλρ 1)(1)2( 2 (能量方程) 式中 TRP x u tdt d i i i ρ=∂ ∂+∂ ∂= ∑ , ) 3 2( ∑ ∂∂−∂ ∂+∂ ∂= l l l ij i j j i ij x u x u x u δητ 式中, ρ 是流体密度; ),,( 321 uuuu = 是流速;T 是温度; ξη, 是粘性系数;λ是传热系 数;P是压强; PC 是定压比热;R是气体系数; ijτ 是表示粘滞力的张量; ijδ 为克罗内克 记号,即 ⎩⎨ ⎧ ≠ == ji ji ij 0 ,1δ 当流体不可压缩时, ρ 是常数,若不计温度的变化,则式(8.1.7)化为不可压缩流体 的纳维—斯托克斯方程 )8.1.8(1,0 i ii i i i u x P dt du x u ∆+∂ ∂−==∂ ∂∑ ρηρ 取 1≡ρ ,则上述方程组为 ∑ = ==∂ ∂+∂ ∂+∆−∂ ∂ 3 1 )3,2,1(0 j ij i ii i i x P x uuu t u η ∑ = =∂ ∂3 1 0 i i i x u (8.1.9) 这是关于 321 ,,, uuuP 的非线性方程组 在热平衡问题中,如果热传导系数是常数,但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的 热源,则可得 ),,( uuxfu ∇=∆ (8.1.10) 在微分几何中,若要求出总曲率 k为已知的曲面时,就需要求解下列方程 ),,,,(2 qpuyxfsrt =− (8.1.11) 其中 yyxyxxyx utusuruqup ===== ,,,, 这个方程称为蒙日—安培尔方程 8.2 非线性偏微分方程的概念及求解 上面我们给出了一些描述不同现象的非线性方程或方程组,现在对它们的特点作进一步 的以便分类及求解。式(8.1.11)中的最高导数部分纯粹是线性的,它的非线性只出现 在函数u及其一阶导数项,这样的方程称为半线性方程,式(8.1.10)也是半线性的;式(8.1.5) 对最高阶导数来说是线性的,但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数,这样的方程称 为是拟线性的,式(8.1.12)的特点是对最高阶导数也是非线性的,这样的方程称为完全非 线性方程,显而易见,完全非线性方程的非线性程度最高,半线性方程的非线性程度最低, 拟线性方程的非线性程度介于两者之间。 对于非线性偏微分方程,一般说来是无法求出解的表达式的,只能求其近似解。但对一 些很特殊的情形,通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程,或者经过适当的数学处 理化成可以求解的方程,下面举例说明。 例 1 在流体力学中有一个很中重要的方程叫比尔吉斯方程 xxxt uuuu λ=+ 是一个半线性的三阶偏微分方程,为了解这个方程,令 ,xvu = 对 x积分一次可得 xxxt vvv λ=+ 22 1 再令 φλInv 2−= 则得 xxt λφφ = 这是一维的线性热传导方程,对它的各种定解问题可以用第 2,3章中的方法求出它的解, 有了φ之后就可以求出u 例 2 求解微分方程几何中的刘维尔方程 ue yx u =∂∂ ∂ 2 (8.2.1) 这是一个半线性的二阶方程,若令 1u 是 01 2 =∂∂ ∂ yx u (8.2.2) 的解,则再构造一个偏微分方程组 )3.2.8( 2 )(2 1 1 )( 2 1 1 1 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −∂ ∂−=∂ ∂ −∂ ∂=∂ ∂ − + uu uu e y u y u e x u x u β β 式中,β 是常数,可以验证,若u是式(8.2.3)的解,则u必是式(8.2.1)的解 而式(8.2.2)的通解为 )()(),(1 ygxfyxu += (8.2.4) 式中, gf , 是任意可微函数,将式(8.2.4)代入式(8.2.3)中,可求出 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−+− −= ∫ ∫ βββ 1))(exp(1)(exp2 ]2/))()(exp[(2 dyygdxxf ygxfInu 与线性方程相比,非线性方程还有一个特点,即它的解即使存在,也不一定对所有的时间 0≥t 都存在,而只是在某个有限时间内存在,见下例 例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = >= )()0( 0, 00 2 是常数vvv tv dt dv 容易求出它的解 tv v tv 0 0 1 )( −= 显然,若 00 v ,则当 0 1 v t → 时, ,)( +∞→tv 这时解在时刻 0 0 1 v t = 产生破裂,所以方程只在 )1,0[ 0v 内有解,简称解是 局部存在的。 例 4 考虑伯格斯方程 xxxt uuuu δ=+ 式中,δ 是扩散系数 方程又可写成 dtuu xt u x )2 ( 2 −∂ ∂=∂ ∂ δ 由全微分方程存在的充要条件,有 dtuuudxd x )2 ( 2 ++= δϕ 显然 ux =ϕ (8.2.5) 2 2uuxt −= δϕ 这样我们得到了 xxxt δϕϕϕ =+ 22 1 (8.2.6) 这样求解伯格斯方程的问题就转化为求解式(8.2.6)的问题,我们能求解线性扩散方程 xxt vv δ= (8.2.7) 所以我们考虑式 (8.2.6)与式(8.2.7)之间的关系,令 )(ϕgv = (8.2.8) 代入式(8.2.7)有 xxxt g g δϕϕϕ ϕδϕ =′ ′′− 2 )( )( (8.2.9) 对比式(8.2.6)、式(8.2.9)两式,易知 )(ϕg 满足方程 2 1 )( )( =′ ′′− ϕ ϕδ g g 积分得 2 2 1 1)( CeCg += − ϕδϕ 取 ,0,1 21 == CC 并将 )(ϕg 代入式(8.2.8),得 ϕδϕ 2 1 )( −== egv 即 Invδϕ 2−= 代入式(8.2.5)可得 x Invtxu ∂ ∂−= δ2),( (8.2.10) 变换式(8.2.10)称为柯勒—霍普夫变换。在处理非线性问题时,常常会用到这种变换。由 此例可看出,选取柯勒——霍普夫变换后,求解非线性的伯格斯方程就转化为求解线性的扩 散方程了 8.3 积分方程简介 在方程中,若未知函数在积分号下出下,则称这种方程为积分方程。一般的线性积分方程, 可写为 )()(),()()( xfdyygyxKxgxh b a =− ∫λ (8.3.1) 式中, )(xh 和 )(xf 是已知函数; )(xg 是未知函数;λ是常数因子; ),( yxK 被称为积分 方程的核,也是已知函数。在式(8.3.1)中,若 0)( =xh ,则有 )()(),( xfdyygyxK b a =∫ (8.3.2) 称之为第一类弗雷得霍姆方程;若 1)( =xh ,则有 )()(),()( xfdyygyxKxg b a =− ∫λ (8.3.3) 称之为第二类的弗雷得霍姆方程。有时候,对于 xy > 时, 0),( =yxK 。在这种情况下, 积分上下限为 x,即式(8.3.2)和式(8.3.3)变为 )()(),( xfdyygyxK x a =∫ (8.3.4) )()(),()( xfdyygyxKxg x a =− ∫λ (8.3.5) 分别称之为第一类和第二类的伏特拉方程 以上各方程中,若 0)( =xf ,则称之为齐次方程 如果积分方程的核具有如下形式 ∑ = = n i ii yxyxK 1 )()(),( φϕ (8.3.6) 则被称之为是退化的。具有退化核的积分方程,可用初等的方法来求解。下面,我们将通过 具体的例子来说明如何求解退化核方程。 例 5 求解积分方程 ∫ =+− 10 22 )()()( xdyygyxxyxg λ (8.3.7) 解 令 ∫∫ == 1010 2 )(,)( dyyygBdyygyA (8.3.8) 这样原方程变为 2)( BxAxxxg λλ ++= (8.3.9) 现将式(8.3.9)代入式(8.3.8),得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++= ++= BAA BAA λλ λλ 4 1 3 1 3 1 5 1 4 1 4 1 (8.3.10) 式(8.3.10)的解为 22 120240 80, 120240 60 λλλλ λ −−=−− += BA 代入式(8.3.9),于是得积分方程式(8.3.7)的解为 2 2 120240 80)60240()( λλ λλ −− +−= xxxg (8.3.11) 注意,有两个λ的值可使我们的解式(8.3.11)变为无穷大。当λ取某些特殊值时,齐次积 分方程有非零解,这样的λ值称为积分方程的本征值,而相应的非零解称作本征函数 由此例我们可以看到,如果核是退化的,则积分方程的求解问题就转化为代数方程的求解问 题,关于这方面的一系列理论称为弗雷得霍姆定理。 对于具有退化核的伏特拉方程,常常通过求微分使之变为微分方程。我们仍举例来说明。 例 6 求解 ∫ =− x xdyyxyuxu 0 )()( (8.3.12) 解 令 ∫= x dyyyuxg 0 )()( 代入式(8.3.12),则有 )()( xxgxxu += 所以 )]([)()( xxgxxxxuxg +==′ 解此微分方程得 331)( xcexg +−= 将之代入式(2.1.17),可求得 1=c 如果核仅仅是关于 )( yx − 的一个函数,即所谓的位移核,且积分范围是 ∞− 到 ∞+ ,则我 们可以应用傅立叶变换来求解,考虑方程 )()()()( xdyygyxKxg ϕλ =−− ∫+∞∞− (8.3.13) 对此方程进行傅氏变换,并记 )()]([,)(),()],([),()]([ ωϕϕωω ω ==== ∫+∞∞− − xFKdxeyxKyxKFgxgF xi 则又卷积定理有 )()(])()([ ωω gKdyygyxKF ∫+∞∞− =− 于是积分方程式(8.3.13)变为 )()()()( ωωλωϕω gKg = 因此 )(1 )()( ωλ ωϕω K g −= 如果我们能求上式的逆变换,则我们就能得到式(8.3.13)的解 如果积分方程含有一位移核,积分区间从0到 x,且被积函数对于 0
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