第9章 变分反问题

2 泛函和变分 第9章 变分反问 前面我们讨论的都是把泛函的极(驻)值问题转化为微分方程的定解问题来处理,也就是变分的正问题。下面我们讨论变分的反问题, 也就是说,如何将某些微分方程的定解问题化为泛函的极(驻)值问题来处理。此外还讨论某些算子的特征值问题如何化为变分问题来处理。 9.1 算子方程的变分原理 定理9.1 假设 是对称正定算子, 其定义域为 , 值域为 , , 如果算子方程 存在解 ,那么 所满足的充要条件是泛函 取极小值。 : (1) 充分条件 设 使得 取到极小值，也就是对任意的 满足 其中 为满足齐次边界条件的任意函数， 为任意小量。那么 也就是说 对于任意的 要求上式成立，只有 (2) 必要条件 如果 ，那么 所以 使得 取到极小值。 例9.1 建立与Poisson方程第一边值问题等价的变分原理。 解∶ 首先证明算子 是对称正定算子∶ 再根据上面的定理，其对应变分原理的泛函为 9.2 与Sturm-Liouville方程等价的变分原理 定理9.2 Sturm-Liouville方程为 (9.2.1) 这里 ， 。两端的边界条件为 (9.2.2) 则 是对称正定算子。 证明： (a) (b) 此外由 处边界条件可知 (c) 若 ,则上面两式分别乘 和 、并相减，可得 (d) 若 ,则 ，(c)中两式分别乘 和 、并相减，同样可得式(d)。同理 (e) 利用式(d) 、(e) 比较式(a)和(b)可得 也就是说 是对称。 进一步， (f) 当 ，由边界条件(9.2.2) (g) 当 时 , 只须在上式中取 就可以了。所以式(g)对任意 都成立。 同理 代入式(f) 也就是说 是正定。 这样，其对应变分原理的泛函为 例9.2 化下列两阶常微分方程的边值问题(Sturm-Liouville) 为变分形式 解: 所以 两阶常微分方程的边值问题化为下列变分问题