分数布朗运动B-S求解

分数布朗运动下的Black-Scholes公式及其推广 分数布朗运动下的Black-Scholes公式及其推广 唐斌，陈柳钦 （南开大学深圳金融工程学院，深圳，518055）（天津社会科学院，天津，300191） [内容摘要] Ciprian Necula 利用分形几何等知识推导出分数布朗运动下的Black-Scholes期权公式，但这篇论文推导过程比较复杂，对于布朗运动是分数布朗运动在当H= 时的一个特例也没有很好地予以阐述。本文在此基础之上，用一种简单易懂的方法对他的公式重新进行了推导证明，并对这一公式与传统的Black-Scholes期权公式进行比较，从而论证了布朗运动只是分数布朗运动的一种特例。最后，将这一公式推广到看涨-看跌期权平价公式和有红利支付的股票期权定价分析之中。 [关键词]分数布朗运动；热传导方程；有效市场假设；分形市场假设；Black-Scholes期权公式 [中图分类号]：F830 1、引言 自从Black-Scholes期权公式 被提出之后，这一公式便被广泛地应用于金融市场的定价分析，但是由于这一传统的Black-Scholes期权公式是建立在有效市场假设之上，认为金融资产的价格波动是相互独立的，即服从布朗运动，而其收益率则是呈现独立同分布的随机变量，并服从正态分布。但近年来，对股票市场的大量研究结果都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”分布，而且股价之间也不是随机游走的，而是不同时间存在着长期相关性。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的影响，并应用R/S 分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。分形市场假说由于不依赖于独立及正态分布等假设，利用分数布朗运动能够很好地解释酱市场中的“尖峰胖尾”现象。因此必须对传统的Black-Scholes期权公式进行修改，推导出分数布朗运动下的Black-Scholes期权公式。 Ciprian Necula用傅立叶变换方法，推导出了分数布朗运动下的Black-Scholes期权公式。但由于他在推导时应用了许多分形几何等数学知识，使得有关这一模型的证明过程不易于被一般人所理解。而且他的这篇论文对于布朗运动是分数布朗运动在H= 时的一个特例也没有很好地予以阐述。为了弥补他这文章的不足之处，使这一模型更易于理解，本文在他的这篇论文基础之上，用一种简单易懂的方法对分数布朗运动下的Black-Scholes期权公式重新进行了推导证明，并将其与传统的Black-Scholes期权公式进行比较分析，从而论证了布朗运动只是分数布朗运动的一种特例。最后，将这一公式推广到看涨-看跌期权平价公式和有红利支付的股票期权定价分析之中。 2、分数布朗运动介绍 分数布朗运动具有如下几个性质： （1）Hurst为H(0 时, 具有长期依赖性， 即： ,且有 ①若H= ， 即为标准布朗运动B(t)，表现为随机游走特性。 ②若0