高中排列组合经典例题

运用两个基本原理 例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ） （A）6种    （B）9种    （C）11种    （D）23种 解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例1． 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（  ）。 A． 24个    B.30个    C.40个      D.60个 30。 例2． (1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（  ）种． 72 例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（  ）种. A33· A72＝252 例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 特殊优先，一般在后  对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。 36 三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类明确，分步层次清楚，不重不漏。 四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法． 例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有(  )种．(结果用数值表示) A55 A33 A22=1440(种). 例8．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。 例9．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 例10．  5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 练习3  四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？ 答案：A44·24=384 五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法． 例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有(  )个．(用数字作答) 例12． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：  种 . 例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 例14．  5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 练习4．  4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？ 答案：2A44·A44 例15． 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 练习5  从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？ 答案：C83。 六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？ 例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。 A74 种排法 元素定序，先排后除或选位不排或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。 例18． 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 练习6  要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？ 七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。 例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？ A77 八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。 例20. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（    ） A．6            B.9          C.11            D.23 B 九、构造模型 “隔板法” 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。 例21．方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？ 15 例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 相同元素进盒，用档板分隔 例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？ C94注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。 练习9   从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？ C119 十.正难则反——排除法 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法． 例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有(  )种． A．140种      B．80种      C．70种        D．35种 C． 注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题． 例25．求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 个。 例26．100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 种。 例27．8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ + =21600种排法。 十二．一一对应法： 例29. 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？ 99场。 十三、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例30．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A  ） A．42          B．30          C．20            D．12 A。 例31．（2003年全国高考）如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 72. 多类元素组合，分类取出 例32．  车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？ 十四、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例33．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配共有（    ） A． 种        B． 种    C． 种        D． 种 例34．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有                        （  ） A．24种        B．18种        C．12种        D．6种 排列与组合 配合练习 一.填空题:(用直接填空法解下列排列组合问题) 1.7个人并排站成一排 (1)如果甲必须站在中间,有__________________种排法. (2)如果甲、乙两人必须站在两端,有_____________________种排法. 2.用0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个. 用集团法-----若千元素要相邻时,或要按顺序 3.四男三女排成一排,(1)三个女的要相邻,有________种排法; (2)女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种. 用插空位的方法-----若千元素互不相邻时. 4.四男三女排成一排,(1)女同学互不相邻,有____________种排法. (2)男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有____________种排法. 用间接法. 5.8人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有______________________种排法. 6.平面内有8个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线. 则(1)过这8个点中的任何两点可和__________条直线.(2)由这8 个点可以组成 __________个不同的三角形. 分组分配问题: 7.18名同学,(1)平均分成三组,有____________种分法.(2)平均分给数、理、 化小  组有___________种分法.(3)分配给化学小组7人,物理小组6人,数学小组5人,有  __________种分法.(4)分给数、理、化小组,其中一个组为5人,一个组为6人, 一  个组为7人,有_________种分法. 二.填空题(用多种方法解) 1.某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节,  则不同的排课方案有_________________种. 2.从5位女同学,6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务, 有____________________种选法. 3.从甲、乙,......,等6人中选出4名代表,那么 (1)甲一定当选,共有___________种选法.(2)甲一定不入选,共有_________种选法. (3)甲、乙二人至少有一人当选,共有_____________种选法. 4.将5本不同的数学书,4本不同的物理,3本不同的化学书排成一排, (1)各类书必须排成一起,问有________________________种排法. (2)化学书不全排在一起,问有________________________种排法. (3)化学书每两本都不相邻,问有________________种排法. 5.有男女售票员各4人,被分配在四辆公共汽车上,要求每辆车上男、女各1人,则有 ________________种分法. 6.四个男孩和三个女孩站成一列,男孩甲前面至少有一个女孩站着,并且站在这个男  孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数,则有_______________________  种站法. 配合练习解答 一.填空题: 1. (1). P66=720    (2). P22P55=240  2.  156个  3. (1) 720    (2) 840 4. (1) P44P35=1440  (2) 144  5. P88-P77P22=30240    6. (1) 21  (2) 51 7. (1) (C618C612)/P33  (2) C618C612    (3) C718C611    (4) C518C613P33 二.填空题: 1. P12.P33=12  2. C35C26P55=18000  3. (1) 10  (2) 5  (3) 14 4.(1) P33P55P44P33  (2) P1212 – P 1010.P33      (3) P99.P310    5. P44P44 6. P13P55+C13C13P22P44+P23P44=936