三次样条插值实现原理

三次样条插值的实现原理： 对于n+1个给定点的数据集{xi}，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果 表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要： l 插值特性，S(xi)=f(xi) l 样条相互连接，Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1 l 两次连续可导，S'i-1(xi) = S'i(xi)以及S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1. 由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了n + 1个条件，内部数据点给出n + 1 ? 2 = n ? 1个条件，总计是4n ? 2个条件。我还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。 其中一项选择条件可以得到给定u与v的钳位三次样条， 另外，我们可以设 . 这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。 在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。 如果选择另外一些条件， 可以得到周期性的三次样条。 如果选择， 可以得到complete三次样条。 举例说明：  假设要为带有节点 的函数 找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条： 样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示： 下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：