插值法和拉格朗日插值法

算法：插值法和拉格朗日插值法 ● 拉格朗日生平 约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 拉格朗日父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动一代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程（称辅助方程或预解式）以求解。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。 他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。 ● 浅谈拉格朗日插值法 一、 问题的背景  在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。 或者f(x)的函数f(x)达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。  二、插值法简介 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。  三、插值问题的数学提法:  已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值         yi =f(xi ), (i=0,1,…,n)   求一个简单函数y=P(x),使其满足:          P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。  即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：   (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),  同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:               R(x) = f(x) - P(x)   其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。 四、对拉格朗日插值法的介绍：  已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为：  y0 ,y1 ,…,yn , 求一个次数不超过n的多项式Pn (x),使其满足:  Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),  即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。  （1）. 插值基函数  过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数            l0 (x),l1 (x),…,ln (X)  每个插值基本多项式li (x)满足：    ① li (x)是n次多项式;  ②li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。  由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:       (x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )  因其已经是n多项式，故而仅相差一个常数因子。令:           li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )  由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：  （2）. n次拉格朗日型插值多项式Pn (x)  Pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn 。即:           Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) , 从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足  Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).   五、应用程序设计:  一方面利用计算机求拉格朗日插值多项式的值编程比较容易，另一方面，许多应用程序中可以利用插值的方法“试探”一下，看能否得到更精确的结果，所以通常的应用只是对已经得到的一些点处得函数值再利用插值法计算1个或少量几个点处得插值的结果。在这种情况下，有一个便于应用的程序比起节省计算量来说显得更为重要，所以在是实际应用中，应用拉格朗日插值多项式进行计算的机会也相当多。