隱形斗篷

96 理．物 Physics 2006年 5月，英國倫敦帝 國學院物理系彭德里教授（J. B. Pendry） 等 人 在 Science 期 刊 上 發 表 題 目 為〈Controlling Electromagnetic Fields〉 的 研 究 成果。自此之後，開啟了變換光 學（transformation optics） 的 新 領域。他們聲稱，如能將媒質 （medium）的電容率（介電函 數）或磁導率設計成空間座標的 函數，則可控制電磁波在該媒質 內的行進路徑。利用此概念，製 作成柱殼狀或球殼狀材料。當電 磁波行經這種具有人造結構的超 材料（metamaterials）時，會繞 著內部殼狀區的外圍行進，如圖 一所示。由於電磁波不能進入殼 狀區的內部，所以電磁波無法檢 測到放在殼狀區域內的物體。這 樣的柱形或球形之殼狀區，即可 扮演著哈利波特的神奇隱形斗篷 圖一：二維柱殼狀隱形斗篷。 （invisibility cloak）。 英國奇幻小說家羅琳（J. K. Rowling）筆下的哈利波特，獲得 一件父親留下的隱形斗篷。只要 披上它，便會在瞬間憑空消失， 讓人找不到。這件令人稱羨的神 奇斗篷，現已由美國羅徹斯特大 學郝威爾（J. C. Howell）教授的 實驗室製造出來。2014年 9月 24 日，NBC News報導〈科學家告 訴你，如何做一件隱形斗篷〉。 9月 26日，洛杉磯時報〈紐約的 科學家揭示了一種四透鏡隱形斗 篷，其可媲美哈利波特的隱形斗 篷〉。9月 28日，蘋果日報的 國際新聞〈三維型隱形斗篷不是 夢，只要 3000元就能做得到〉。 9月 29日，中時電子報的科技新 聞〈哈利波特的隱形斗篷，科學 家實現了〉。如今，全世界的新 聞媒體，不斷地在報導這則令人 興奮的科技新聞。 然而，「羅徹斯特斗篷」並 非採用彭德里教授主張的超材料 所製成，而是由四個透鏡組成的 完美近軸式斗篷（perfect paraxial cloak）。郝威爾教授的博士生崔 哈利波特的隱形斗篷 劉宗平／中央大學光電所博士。 1976年，進入中山科學研究院工作。 1993年，進入元智大學服務，從事光電領域研究。 （Joseph S. Choi）解釋：「這是 一項光學技術，靈感來自變換光 學，建構這種空間型斗篷的 很簡單。」只需採用四個透鏡和 實驗室內的東西，就能造出完美 的近軸式斗篷。把想要隱藏的東 西，放進四透鏡系統中的斗篷區 內，東西便會消失無蹤。四個透 鏡都是市售的現品，其總價不超 過美金 30元。崔說：「這是第一 次實現的三維型隱形斗篷，它可 連續地、大視角地、各向同性地 遮掩住一般的大型物體。在觀察 隱藏物體的同時，背景是可移動 的、實景呈現的，而且不會扭曲 或改變。」 近軸光學 研究光的傳播及光與物質間 的相互作用等行為之學科內涵， 稱為光學。探討光學行為的途徑 有四，它們是光線光學、波動光 學、電磁光學及量子光學，如圖 二所示。不論是理論性或是實驗 性的研究工作，均已證實光是電 磁波中的一種，它具有波動的本 性。然而，當光波傳播通過或繞 97 過尺寸比波長大很多的物體時， 光的波動本性便會不易察覺。於 是，可運用遵守一組幾何規則的 光線，來充分地描述光的行為。 這種光的模型，稱為光線光學或 幾何光學，它是最簡單的光學理 論。嚴格地說，當波長無限小時， 光線光學是波動光學的極限情 形。 在光線光學中，最關注的話 題就是光線的狀態，亦即光線的 位置（離軸高度）和方向（與軸 夾角）。在具有旋轉對稱性的共 軸球面系統中，有興趣討論的對 象，就是那些與光軸成小傾角的 光線們。如果光線傾角能夠滿足 小角度近似的關係，即稱這些光 線為近軸光線，它是近軸光學或 高斯光學的基礎。運用近軸光線 的性質，可以充分地研究光學成 像的課題。當光線通過光學系統 時，倘若採用 2×2階的矩陣代 數，則可有效地描述近軸光線的 位置和方向之改變。這種利用矩 陣來追蹤光線在系統中行進軌跡 的方法，稱為矩陣光學。 在圖三中，假設光線從左 向右傳播，物空間和像空間的折 射率均為 1。圖中的方框，代表 一個繞著 z軸旋轉的對稱共軸光 學系統，其可用一個 2×2階的 「ABCD」矩陣來描述。此矩陣 稱為「光線傳遞矩陣」或「傳遞 矩陣」，它可反應光線進入系統 的初位置 y1與初傾角 u1對光線 離開系統的末位置 y2與末傾角 u2 間之關係。在此圖中，按照光線 光學的符號規定，光軸上方之長 度為正、光軸下方之長度為負， 逆時針旋轉之傾角為正、順時針 旋轉之傾角為負。亦即 y1> 0, u1> 0, y2< 0, 及 u2< 0。於是，從圖三 所顯示光線傳遞的關係，可知 其 中，（y1, u1） 和（y2, u2） 分 別代表入射光線和出射光線的狀 態，ABCD矩陣是光學系統的傳 遞矩陣。 完美斗篷 一般的斗篷是披用的外衣， 它能夠遮掩或包裹住身體，可用 以防風、禦寒。這裡，將廣義地 定義斗篷為某種東西或裝置，它 可「隱藏」物體或空間，不一定 非要像穿戴的服裝般地來包裹住 物體。什麼是「完美的」斗篷呢？ 首先，它必須有一個非零的體 積來隱藏物體。其次，這種斗篷 看起來好像根本不存在。意即， 這種斗篷裝置可用其周圍的媒質 完全地替換掉。為了定義一個通 用的「完美斗篷」，這兩個條件 是充分且必要的。基於這樣的期 待，受遮掩的物體和斗篷裝置必 須都是隱形的。 面對光線光學中的光線們， 完美的斗篷應該是個什麼樣的 呢？根據上面的定義，這種隱形 斗篷的行為，好像可用斗篷周圍 的媒質來取代所遮掩的空間。因 此，從隱形裝置出射的光線之傾 角將不會改變，但是光線的位置 卻會移動，如圖四所示。於是， 觀者所見到裝置後面物體的成 像，應與該物體相同。這意味著， 成像的位置、大小、形狀和顏色， 都應該與實際的物體完全一樣。 換言之，完美的光線光學斗篷， 將會產生放大率為 1、橫向移動 及縱向移動均為零、且無像差的 像。圖二：探討光學行為的四種途徑。 圖三：近軸近似中的光線光路圖。 光線光學 波動光學電磁光學 量子光學 Ay1 u1 u2 y2 zC B D 光學系統 物空間 像空間 光軸 ..................（1） 98 由於完美的斗篷裝置可簡單 地用環境媒質複製出整個隱藏的 空間，所以從實際物體出發的光 線們，於通過完美的光學斗篷之 後，出射光線們的方向都不會改 變，惟其位置會沿著軸向產生一 個平移。此意即，y2＝ y1＋ L、 u2＝ u1，其中 L是斗篷系統的長 度。在近軸近似的條件下，根據 方程式（1）可知，完美斗篷之傳 遞矩陣 ABCD恰是一個「平移矩 陣」，其形式為 在光線光學中，任何的近軸系 統，均可用 ABCD矩陣來書寫。 如果光學系統滿足方程式（2）， 且有一個隱藏區時，那麼它就是 完美的近軸斗篷。對於這樣的斗 篷而言，滿足方程式（2）是必要 的條件。 斗篷設計 由方程式（2）可知，ABCD 矩陣的行列式之值為 1，且 B＝ L、C ＝ 0、A ＝ 1、D ＝ 1。 由 於 C＝ 0，所以完美的斗篷系統是「無焦的」。亦即，這種光學系統沒有 聚焦的能力。換言之，位在無窮遠的物體，將會成像於無窮遠處。在矩陣 光學中，單個薄透鏡的 ABCD矩陣為 其中，f 是透鏡焦距。欲使方程式（3）成立，僅當 f → ±∞之時。此刻， 透鏡沒有斗篷區，且無光學效應。 接著，考慮焦距為 f1和 f2的兩個薄透鏡，二者相距為 t，如圖五（a） 所示。此時，2透鏡系統的 ABCD矩陣為 僅當 f1＝ f2 → ±∞時，上式才會滿足方程式（2）。此由虛空間所建構的 系統，沒有斗篷區，亦無光學效應。 現在，檢視圖五（b）所示三個薄透鏡所建構的系統。當光線自左向 右行進時，3透鏡系統的 ABCD矩陣為 欲使上式滿足方程式（2），可令 C＝ 0，解出 f2為 運用方程式（6），3透鏡系統的 ABCD矩陣變成為 若要求 B＝ L＝ t1+t2，則可得到 圖四：完美的光線光學斗篷。 圖五：三種可能建構完美近軸光線斗篷的透鏡系統。 物＝像 z 軸 觀察者 （a） （b） （c） ...........（2） ..........................................................................（3） ..................................................................................（6） ..................................................................................（8） ......................................................（7） .................（5） （4） z 軸 t 1 f 1 f 2 2 z 軸 t 1 t 2 1 f 1 f 2 f 3 2 3 z 軸 t 1 t 2 t 3 1 f 1 f 2 f 3 f 4 2 3 4 99 很明顯的，當 t1＝ 0、或 t2＝ 0、或 f1+ f3-t1-t2＝ 0時，上式為真。在前兩 種情況下，會得到 2透鏡系統，此已證明它們都不是完美的斗篷。在第三 種情況下，會得到 f2→∞，這也會使得系統轉變成 2透鏡系統。 最後，考慮一個 4透鏡系統（圖五（c））。為了能順利地找到完美 的近軸斗篷，茲採用對稱性結構的設計策略，即令 f1＝ f4、f2＝ f3、t1＝ t3。於是，4透鏡系統的 ABCD矩陣為 對於這種 4透鏡系統的 ABCD矩陣而言，需要 A＝ 1和 C＝ 0。如欲滿 足這兩個條件，則須要求 t1＝ f1+f2 利用方程式（10），4透鏡系統的 ABCD矩陣變成為 此刻，再令 B＝ L＝ 2t1+t2，即可求出 t2之解為 t2＝ 2f2（f1+f2）／（f1-f2） 至此，終於找到了方程式（2）的真實解。對於旋轉對稱的透鏡系統而言， 一個完美的近軸斗篷至少需要四個透鏡。利用方程式（10）和（12），可 知斗篷裝置的總長度為 L＝ t1+t2+t3＝ 2t1+t2＝ 2f1（f1+f2）／（f1-f2） 斗篷展示 選用市售的現成透鏡，按照方程式（2），即可建置對稱型的 4透鏡 系統。實際的透鏡系統會產生像差，它們會使成像模糊、畸變。因此，需 採用消色差的雙合透鏡，其為兩透鏡膠合所成的單透鏡，可修正色差及 其它像差。為了納入透鏡的厚度，須修正方程式（10）和（12），以計 算合理的 t1、t2 和 t3。利用光學軟體，對 4 透鏡系統進行模擬，可找出隱 形斗篷存在的區域。光線追跡的 結果，發現斗篷區是介於透鏡間 的長形圓柱區，該處沒有光線通 過，如圖六中的綠色區所示。在 此設計中，只需將曲率、長度和 入瞳等參數均縮放相同的因子， 即可獲得大小不同的斗篷區。科 學家在實驗中發現，對所有的視 角而言，所見到牆上不同顏色網 格的像都是清楚的，它們的畸變 非常小，並與實際的背景網格匹 配得很好，沒有偏移。這證明， 所建構的光學斗篷是多方向的。 有關 4透鏡光學斗篷的實驗結 果，請參考YouTube的影片演示。 綜上所述，以往的隱形技術 複雜、成本高，無法達成從任何 視角觀看時都是隱形的。然而， 羅徹斯特斗篷利用市售的現品透 鏡，成本低廉，不需要新的超材 料。實驗證明，其可在連續的方 向範圍內呈現隱形的效果，且可 遮掩住大型的物體，它是一種寬 頻帶的隱形斗篷。哈利波特的隱 形斗篷，科學家終於實現了！ 圖六：模擬 4透鏡系統時所展顯現的近軸斗篷（綠色區）。 延伸閱讀 1. Pendry, J. B., Schurig, D. and Smith, D. R., Controlling electromagnetic fields, Science, Vol. 312: 1780-1782, 2006. 2. Choi, J. S. and Howell, J. C., Paraxial ray optics cloaking, Optics Express, Vol. 22: 29465-29478 2014. 3. Boyle, A., Scientists Show You How to Make an Invisibility Cloak, NBC News, 2014/09/24. .......................................................（10） ........................................................（11） ......................................................................（12） .......................................（13） （9） 隱形區 隱形區