高等数学A教案《高等数学》（A）教案第十一章

讲授内容： § 11.1 常数项级数的概念与性质 教学目的与要求： 1． 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。 2． 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 教学重难点： 重点——级数收敛与发散概念。 难点——用级数收敛定义及基本性质判别级数的收敛性问题。 教学方法：讲授 教学建议：1.从数列出发，引出级数的概念； 2.重点讲清收敛级数的性质. 学时：2 教学过程： 在中学里我们已经遇到过级数——等差数列与等比数列的和，它们都属于项数为有限的殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 一、常数项级数的概念（40分钟） 1．定义: 设有数列 , 称 为常数项级数. 其中 un称为级数的通项(或一般项或第n项); Sn= u1+u2+…+un称为级数的部分和(或前n项和); {Sn}称为级数的部分和数列. 由部分和数列{Sn}的敛散性有: 2．定义::若 Sn=s存在,称级数 un收敛,s称为此级数的和,记为: s= u1+u2+…+un+… 否则称此级数发散(或此级数不存在和). 当级数收敛于和s时,称 rn= s－Sn= un+1+un+2+… 为级数的余项. 称|rn|为用Sn代替s所产生的误差. 例1． 讨论等比级数(几何级数) aqn=a+aq+aq2+…+aqn+…(a≠0)的敛散性. 解: 当q≠1时,Sn= a+aq+aq2+…+aqn-1= 当|q|<1时, sn= ,所以级数收敛,其和为s= ; 当|q|>1时,级数发散; 当q=1时, Sn=n a, 级数发散; 当q=－1时,由于S2n=0, S2n+1=a(≠0),所以级数发散. 综合得: aqn = 例2．判别级数 = + EMBED Equation.3 的敛散性. 解: 由于un= = - , 所以 Sn=1－ →1（n→ ） 于是级数收敛于和1. 例3． 论调和级数 的敛散性. 解:假设级数收敛于和s,则有, Sn→s, S2n→s, (n→∞), 从而: S2n －Sn→0,(n→∞) 又 S2n －Sn = + +…+ ≥ + +…+ = 所以 S2n －Sn 0 (n→∞) 于是级数发散. 二．收敛级数的性质（45分钟） 性质1. 设Σun=s, 则Σkun=ks(k为常数) 证明：设Σun和Σkun的部分和分别为Sn和σn,则σn=kSn. 由Sn→s, 得 σn=kSn→ks(n→∞) 又当k≠0时,若{Sn}不存在极限,则{Sn}也不存在极限. 由此得到: 级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的敛散性不变. 性质2. 若Σun=s,Σvn=σ, 则Σ(un±vn )=s±σ. 证明:设Σun、Σvn和Σ(un± vn )的部分和分别为Sn、σn和τn, 则 τn=Sn±σn→s±σ (n→∞). 从而得到: 两个收敛的级数可以逐项相加和逐项相减. 发散的级数不满足此条性质,例如 当a≠0时,级数Σa和Σ(－a)都发散,但Σ[a+(－a)]=0. 性质3. 在级数中去掉、加上、或改变有限项,级数的敛散性不变. 证明：只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的敛散性”,其它情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果. 将级数 u1+u2+…+uk+ uk+1+uk+2+…+uk+n+… 的前k项去掉,得新级数: uk+1+uk+2+…+uk+n+… 设Σun的部分和为Sn,则新级数的部分和为 σn=uk+1+uk+2+…+uk+n=Sn+k－Sk 由于Sk为常数,所以{σn}和{Sn+k}同时收敛或同时发散. 同样可以证明在级数的前面加上有限项,也不会改变级数的敛散性. 性质4：如果级数Σun=u1+u2+…+un+…收敛, 则对此级数任意加括号后所得新级数 (u1+u2+…+ )+( +…+ )+…+( +1+… )+… 仍收敛,且其和不变. 证明：设Σun的部分和为Sn,加括号后的新级数的部分和(前k项和)为Ak, 则 A1= u1+u2+…+ = ; A2=(u1+u2+…+ )+( +…+ )= ; …….. Ak=(u1+u2+…+ )+( +…+ )+…+( +… )= 由此可知: {Ak}为{Sn}的子列,由于{Sn}收敛则{Ak}必定收敛,且收敛值不变. 注意:若加括号后所得级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如： (1－1)+(1－1)+…+(1－1)+… 收敛且等于0,但 1－1+1－1+…是发散的. 由此得到: 如果加括号后所得级数发散,则原来的级数必定发散. 因此对级数一般不能任意加括号或去括号. 性质5. (级数收敛的必要条件)若级数Σun收敛,则有un→0 (n→∞) 证明:设Σun的部分和为Sn,且Sn→s(n→∞), 则un=Sn－Sn－1→s－s=0 (n→∞) 由此可知,若un 0 (n→∞),则级数Σun必定发散. 注意: 当un→0(n→∞),级数Σun也不一定收敛. 例如 ,但 是发散的. 例4 已知级数 的部分和为Sn=arctann,试求此级数并求其和. 解:由于u1=arctan1=π/4, n=tanSn, un=Sn－Sn－1 所以 tanun=tan(Sn－Sn－1)= = = 于是 un=arctan , 即有 = arctan 又 Sn=arctann→π/2 (n→∞), 所以和为 s=π/2. 例5 判别级数sinπ/6+ sin2π/6+…+ sinkπ/6+…的敛散性. 解:由于 = (k=1,2,…,n) 所以: Sn = = [( - )+( - )+… +( - )] = [ - ] 又当n→∞时, 是振荡的,其极限不存在, 所以{Sn}的极限不存在. 即所给级数发散. 小结：（5分钟） 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 (1) ∴级数发散 (2) 级数为 ，分别为等比级数且 ∴原级数收敛 (3) ∴原级数发散 作业：高等数学A练习册 习题七十五 教学后记： 教学参考书：《高等数学题解》（同济五版） 思考题：1. 若 收敛， 发散，问 敛散性如何？ 2. 若 发散， 发散，问 敛散性如何？ 讲授内容： § 11.2常数项级数的审敛法 教学目的与要求： 熟练掌握数项级数收敛性的判别方法 重难点： 重点——正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念。 难点——任意项级数收敛性的判别方法 教学方法：讲授 教学建议：1.重点讲清正项级数的三种审敛方法； 2.通过实例，讲透绝对收敛与条件收敛的概念. 学时：4 教学过程： 一． 正项级数及其审敛法（80分钟） 1.定义:若级数 满足un≥0, 则称此级数为正项级数. 定理1. 正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}有界. 证明:设Σun(un≥0)的部分和数列为{Sn},则显然{Sn}单调上升即有: S1≤S2≤…≤Sn≤…. 若{Sn}有界,则由单调有界数列必有极限可知, {Sn}必定有极限,从而Σun收敛; 若Σun收敛,则{Sn}必定有极限,由收敛数列必有界可知,数列{Sn}有界. 注:若正项级数Σun发散,则必定有:Sn→∞,（n→∞） 定理2.（比较审敛法）设Σun和Σvn都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,…）. 1) 若级数Σvn收敛,则级数Σun也收敛; 2) 若级数Σun发散,则级数Σvn也发散. 证明:设Σun和Σvn的部分和分别为Sn和σn.由un≤vn（n=1,2,…）可知: Sn=u1+u2+…+un≤σn=v1+v2+…+vn, 1) 若级数Σvn收敛,则{σn}有界,从而{Sn}有界,所以级数Σun收敛; 2） 级数Σun发散,则级数Σvn也发散. 因为若级数Σvn收敛,则级数Σun也收敛;与假设矛盾. 推论1. 设Σun和Σvn都是正项级数: 1) 若级数Σvn收敛,且存在自然数N,使当n≥N时有un≤kvn(k>0)成立, 则级数Σun收敛; 2) 若级数Σvn发散,且当n≥N时有un≥kvn(k>0)成立,则级数Σun发散. 例1. 讨论p—级数 的敛散性,其中常数p>0. 解: 当p≤1时,由于1/np≥1/n, 而 发散, 所以 发散; 当p>1时,因为当n－1≤x≤n时,有 ,所以 = ≤ = EMBED Equation.3 (n=2,3,…) 但正项级数 EMBED Equation.3 的部分和为: Sn = + EMBED Equation.3 =1- (1(n(∞) 所以 收敛. 即 当p≤1时, 发散; 当p>1时, 收敛. 由此得到与p—级数相比较的: 推论2. 设Σun是正项级数: 1) 若有p>1, 使un≤1/np (n=1,2,…)则Σun收敛; 2) 若有0 = (n≥2)而 发散,所以原级数发散. 定理3.（比较审敛法的极限形式）设Σun和Σvn都是正项级数, 若 EMBED Equation.3 =l（00时收敛, 当p≤0是发散, 所以 当p>0时收敛, 当p≤0是发散. 2） 解: 因为 EMBED Equation.3 = = =1/2 所以原级数收敛. 3） 解:因为 ,所以原级数收敛. 或 = < = <2. 所以 > 定理4.(比值判别法,达朗贝尔(D’Alembert)判别法) 若正项级数Σun的后项与前项之比值的极限等于ρ, 即: =ρ, 则 1) 当ρ＜1时,级数收敛; 2) 当ρ＞1(或ρ=+∞)时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散. 证明:1) 当ρ＜1时,取正数ε,使ρ+ε=r＜1,由 =ρ知: 存在正数N,当n≥N时,有 ＜ρ+ε=r, 即 un+1＜run, 从而: uN+1＜ruN,uN+2＜ruN+1＜r2uN,…,un＜rn-NuN,… 由于等比级数: ruN+r2uN+…+rn-NuN+…收敛 (|r|<1) 所以由比较法可知级数 uN+1+uN+2+…+un+…收敛. 从而Σun收敛. 2）当ρ>1时,取正数ε,使ρ-ε=l>1,由 =ρ知: 存在正数N,当n≥N时,有 >ρ-ε=l, 即 un+1>lun>un 从而当n≥N时{un}单调增加. 所以un 0,(n→∞)[事实上un→∞,当n→∞] 于是级数Σun发散. 3）当ρ=1时,Σun可能收敛,也可能发散.例如: p—级数: 对于(p,有: , 但 当p>1时级数收敛, 当p≤1时级数发散. 当用比值判别法判断级数发散时,由定理的证明中可以看出, 级数通项un(0,n(∞. 例4. 判别下列级数的收敛性: 1） 解: ∵ = = <1, ∴ 级数收敛. 2） 解:∵ = = =+∞, ∴级数发散. 3） (a＞0,b＞0) 解:∵ = = ∴ 当a＜b时,级数收敛; 当a＞b时,级数发散; 当a=b时,有un=1,级数发散. 4） 解：由于 =1,所以不能用比值法判断. ∵ ∴级数收敛. 定理5.(根值判别法,柯西(Cauchy)判别法) 若正项级数Σun的一般项un的n次方根极限等于ρ, 即: =ρ, 则 1) 当ρ＜1时,级数收敛; 2) 当ρ＞1（或ρ=+∞）时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散. 证明:1）当ρ<1时,取正数ε,使ρ+ε=r<1,由 =ρ知: 存在正数N,当n≥N时,有 <ρ+ε=r, 即 un1时,取正数ε,使ρ-ε=l>1,由 =ρ知: 存在正数N,当n≥N时,有 >ρ-ε=l, 即 un＞1. 所以 un 0,(n(∞), 从而级数发散. 3）当ρ=1时,Σun可能收敛,也可能发散.例如: p—级数 对于(p,有: =1. 但 当p>1时级数收敛, 当p≤1时级数发散. 例5. 判断下列级数的敛散性: 1） (α为任意实数,β≥0为实数) 解:由于 = =β, 所以 当0≤β<1, α为任意实数时,级数收敛; 当β＞1,α为任意实数时,级数发散; 当β=1时,级数为 = 为p—级数,其中p=-α. 所以:当β=1,α<-1时,级数收敛,当β=1,α≥-1时,级数发散. 2） 解: 由于 = = <1, 所以原级数收敛. 注: [∵ = ∴不能用比值法判断.] 例6. 判断下列级数的敛散性 1) EMBED Equation.3 解: = = 由于 =1= ; = 又 < < (n>1). 所以: =1 从而: = <1, 即级数收敛.

总结

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定理1~定理5,有:（10分钟） {Sn}有界 ( Σun收敛 (比较法)( 存在正数N,当n≥N时,un≤kvn (k＞0) 若Σvn收敛,则Σun收敛;若Σun发散,则Σvn发散; (比较法的极限形式)( 若 =l(0 =un+1, 所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛. 4） 解: 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =|sinθ| 所以 当|sinθ|＜1, 即θ≠2kπ±π/2时,级数绝对收敛; 当sinθ=1, 即θ=2kπ+π/2时,级数发散; 当sinθ=-1, 即θ=2kπ-π/2时,级数条件收敛. 5) 解: 由于|un|= = > > > >1 所以,|un| 0,从而,un​ 0.即原级数发散. 小结:（10分钟） 1. 级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此，如果通项不趋于0，级数一定发散。但是，通项趋于0的级数未必收敛，如 的通项趋于0，但调和级数发散。 2．正项级数的部分和 单调增，所以如果证明了 有上界，则正项级数收敛。 3．三个重要的级数： (1) 级数： （发散） （收敛） (2) 几何级数： （发散） （收敛） (3) 收敛 4．正项级数的审敛法是： 比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法 5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法 作业：练习册 习题七十六、七十七 教学后记： 教学参考书：《高等数学题解》（同济五版） 思考题：比值法与根值法计算得到的 值是否相同？ 讲授内容： 习题课（一） 教学目的与要求： 通过实例分析，使学生对常数项级数审敛的综合题型有更深刻的认识. 重难点： 重点——分析思路； 难点——通项的放缩. 教学方法：讲授、讨论 教学建议：讲、练、讨论相结合 学时：2 教学过程： 一、内容回顾(10分钟) 1、正项级数审敛 比较法: 与等比级数、p-级数比较. 关键在于对通项进行适当放缩. 比值法: 通项由乘积因子组成. 根值法: 通项显含乘方运算. 2、一般项级数 优先考察绝对收敛性; 交错级数用Leibniz定理判别; 比值及根值ρ＞1时发散 二、例题分析(70分钟) 例1 已知 存在，且 收敛，证明 收敛 分析: 两个级数部分和有关,可考虑用定义 证明：设 ， 由 收敛 EMBED Equation.3 存在 且 = 即 故 存在，表明 收敛. 例2 设 , 讨论正项级数 的敛散性. 分析: 找 的同阶无穷小 解: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 故 与 有相同的敛散性 所以 当 >2时, 收敛; 当0< EMBED Equation.3 2时, 发散. 例3 命题“若 与 都发散, 则 发散”正确否? 分析: 当 时, 有可能比 “小”，怀疑命题的正确性. 解 命题错. 设 =1/n , =2/n 则 与 都发散, 但是 收敛. 例4 级数 是条件收敛,或是绝对收敛,或是发散的? 分析: ～ (n(∞). 故所给级数绝对收敛 解 略 例5 设 为常数，试讨论 的收敛性. 解： EMBED Equation.3 收敛 而 且 发散 故所给级数条件收敛。 例6 讨论下列级数的敛散性： 分析： EMBED Equation.3 时，结论明显； 0< <1 时，注意到 ，于是，当n充分大时，有 >0 且 ～ ，级数发散。 解 当 =1时，由交错级数审敛法（Leibniz定理）知，所给级数收敛； 当 >1时，由于 收敛， 发散，故所给级数发散； 当0< <1时，令 ，则当n 充分大时，有 , 且 ，而 发散，所以 发散， 从而当0< <1时，所给级数发散。 例7 设 ， （1）求 的值； （2）求证： 收敛（ 为正数） 分析：｛ ｝ 且 >0 由分部积分可得 解 （1）由上述分析知 = = =1 （2） 而 收敛，所以 收敛. 答疑: (10分钟) 作业： 教学后记: 教学参考书： 思考题：常数项级数收敛时，怎样求其和？（预习下节找方法！） 讲授内容：§11.3幂 级 数 教学目的与要求： 1． 了解幂级数的收敛域的结构及求法。 2． 掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求数项级数和的方法。 重难点： 重点——幂级数收敛域的求法，求和函数 难点——求幂级数的和函数 学时：3 教学方法：讲授 教学建议：1.从函数项级数入手，引出.幂级数； 2.重点讲透幂级数收敛半径及收敛域的求法，通过实例讲清利用和函数求数项级数和的方法. 教学过程： 1、 函数项级数的概念(10分钟) 1. 定义:如果给定一个定义在区间I上的函数列 u1(x),u2(x),u3(x)…,un(x),… 则由这函数列构成的表达式: u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+… (1) 称为定义在区间I上的(函数项)级数. 对于每一个确定的值x0(I,函数项级数(1)成为常数项级数 u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+…+un(x0)+… (2) 这个级数(2)可能收敛也可能发散. 如果(2)收敛,称点x0是函数项级数(1)的收敛点; 函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域. 如果(2)发散,称点x0是函数项数项级数(1)的发散点. 函数项级数(1)的所有发散点全体称为它的发散域. 对于收敛域内的任意一个数x, 函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s.这样,在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是级数(1)的收敛域,并写成 s(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…. 称 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x) 为函数项级数(1)的前n项的部分和, 在收敛域上有: sn(x)=s(x) 称 rn(x)=s(x)-sn(x) 为函数项级数的余项(只有x在收敛点处rn(x)才有意义),于是有: rn(x)=0. 2、 幂级数及其收敛性(80分钟) 1. 幂级数的定义( 5分钟) 称形如 a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (((3) 或 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (((4) 的级数为幂级数. 其中常数a0,a1,a2,…an,…叫做幂级数的系数. 级数(4)作代换t=x-x0可变为级数(3)的形式,因此只讨论级数(3). 例如: 1+x+x2+…+…xn+…, 1+x+ x2+…+ xn+…都是幂级数. 2. 幂级数的收敛域与发散域(30分钟) x取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题. 例1. 考察幂级数1+x+x2+…+xn+… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和 ; 当|x|≥1时,这级数发散. 因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞]. 如果x在区间(-1,1)内取值,则 =1+x+x2+…xn+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理): 如果级数 anxn当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x,这幂级数绝对收敛,反之.如果级数 anxn当x=x0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x这幂级数发散. 证明:设x0是幂级数(3)的收敛点, 即 级数a0+a1x0+a2x02+…+anx0n+…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 anx0n=0, 于是存在一个常数M,使得 |anx0n|≤M (n=0,1,2,…). 这样级数(3)的一般项的绝对值 | anxn|=|anx0n• |= |anx0n|•| |n≤M| |n 因为当|x|<|x0|时,等比级数 M| |n收敛 (公比| |<1), 所以级数 |anxn|收敛, 即级数 anxn绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明： 倘若幂级(3)当x=x0时发散,而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则级数当x=x0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 由定理1可知: 如幂级数在x=x0处收敛,则对开区间(-|x0|,|x0|)内的任何x,幂级数都收敛; 如幂级数在x=x0处发散,则对区间[-|x0|,|x0|]外的任何x,幂级数都发散. 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点,从原点沿数轴向左方走也是如此, 两个界点-p与p′在原点的两侧,由定理1可知它们到原点的距离相等. 从上面的几何说明,我们就得到重要的推论: 推论:如果幂级数 anxn不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得: 当|x|R时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散. 正数R通常叫做幂级数(3)的收敛半径.（-R,R）叫幂级数(3)的收敛区间. 由幂级数在x=±R处的收敛性可以决定它在区间(-R,R),[-R,R],(-R,R)或[-R,R]上收敛,这区间叫做幂级数(3)的收敛域. 如果幂级数(3)只在x=0处收敛,这时收敛域只有一点x=0,规定收敛半径R=0,并说收敛区间只有一点x=0; 如果幂级数(3)对一切x收敛 ,则规定收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞). 3. 幂级数的收敛半径求法(45分钟) 定理2:如果 | |=ρ,其中an,an+1是幂级数 anxn的相邻两项的系数, 则幂级数的收敛半径: R= 证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数 |a0|+|a1x|+|a2x2|+…+|anxn|+… (5) 这级数相邻两项之比为: =| |•|x|. 1) 如果 | |=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则: 当ρ|x|<1即|x|< 时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛; 当ρ|x|>1即|x|> 时,级数(4)发散,并且从某一个n开始|an+1xn+1|>|anxn|, 因此一般项 |anxn| 0所以 anxn 0 从而级数(3)发散,于是收敛半径R= . 2) 如果ρ=0,则对任何x≠0,有 (0(n(∞),所以级数(5)收敛,从而级数绝对收敛,于是R=+∞. 3) 如果ρ=+∞,则对于除x=0外的一切x值,级数(3)必发散,否则由定理1知道将有 点x≠0使级数(5)收敛,于是R=0. 定理3. 如果 EMBED Equation.3 =ρ, 则幂级数的收敛半径:R= 证明:对于幂级数 |anxn|,由于 EMBED Equation.3 =ρ|x|.因此由根值法可知: 当ρ|x|<1即|x|< 时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛; 当ρ|x|>1即|x|> 时,级数(4)发散,并且|anxn|(+∞,因此一般项|anxn| 0 所 以anxn 0,从而级数(3)发散,于是收敛半径R= . 当ρ=0时,对任意的x,级数收敛,且R=+∞. 例2. 求幂级数x- + -…+(-1)n-1 +…的收敛半径与收敛域 解: 因为 ρ= | |= EMBED Equation.3 =1, 所以收敛半径R= =1. 对于端点x=1,级数成为交错级数 1- + -…+(-1)n-1 +… 收敛; 对于端点x=-1,级数成为 -1- - -…- -…,发散; 因此, 收敛域是 例3. 求幂级数1+x+ x2+…+ xn+…,的收敛区间. 解: 因为 ρ= | |= EMBED Equation.3 =0, 所以收敛半径R=∞,,从而收敛区间是(-∞,+∞). 例4. 求幂级数 xn的收敛半径(记号0!=1). 解: 因为P= | |= EMBED Equation.3 =+∞, 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例5. 求幂级数 x2n的收敛半径. EMBED Equation.3 解: 级数缺奇次幂的项,定理2不能直接应用, 根据比值审敛法来求收敛半径: EMBED Equation.3 =4|x|2. 当4|x|2<1即|x|< 时级数收敛; 当4|x|2>1即|x|> 时级数发散, 所以收敛半径R= . 例6. 求幂级数 的收敛区间. 解: 令t=x-1,则级数变为 . 因为 ρ= | |= EMBED Equation.3 = , 所以收敛半径R=2. 当t=2时,级数 这级数发散; 当t=-2时,级数 ,这级数收敛, 因此收敛区间为:-2≤t<2, 即-2≤x-1<2, 或-1≤x<3, 所以原级数的收敛区间为 [-1,3]. 例7. 求幂级数 EMBED Equation.3 xn的收敛域. 解: 由于 [ ]=e, 因此R=1/e. 当|x|=1/e时,由于 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 e-1/2 0 因此级数的收敛域为 (-1/e,1/e). 3、 幂级数的运算(45分钟) 1. 设幂级数: a0+a1x+a2x2+…+an​xn+… 及 b0+b1x+b2x2+…+bn​xn+… 分别在区间(-R,R) 及 (-R′,R′) 内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算: 加法: (a0+a1x+a2x2+…+an​xn+…)+(b0+b1x+b2x2+…+bn​xn+…) =(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)​x2+…+(an+bn)xn+…. 减法: (a0+a1x+a2x2+…+an​xn+…)- (b0+b1x+b2x2+…+bn​xn+…) =(a0-b0)+(a1-b1)x+(a2-b2)​x2+…+(an-bn)xn+…. 根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R′,R′)中较小的区间内成立. 乘法: (a0+a1x+a2x2+…+an​xn+…)(b0+b1x+b2x2+…+bn​xn+…) =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a0b2+a2b0)​x2+ …+(a0bn+a1​bn-1+…+ an-1​b1+anb0)xn+… 这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R′,R′)中较 小的区间内成立. 除法: = c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…, 假设b0≠0.为了决定系数c0,c1,c2,…,cn…,可以将级数 与 相乘, 并令乘积中各项系数分别等于级数 中同次幂的系数,即得: a 0=b0c0, a1=b1c0+b0c1, a2=b2c0+b1c1+b0c2, 由这些方程就可以顺序地求出c0,c1,c2,…cn,…. 相除后所得幂级数 的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小得多. 2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数 的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续, 如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R,R)(或[-R,R]连续. 性质2:设幂级数 的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式: s′(x)=( )′= = 其中|x|0),则其和函数s(x)在区间 (-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式: s(x)dx= [ ]dx= EMBED Equation.3 anxndx= EMBED Equation.3 xn+1. 其中|x|答案

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