高中数学解题高考数学解题方法介绍11数列问题的题型与方法

第11讲 数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 一、知识整合 1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； 2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、方法技巧 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。 (2)通项公式法： ①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，则 为等差数列； ②若  ，则 为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。 2. 在等差数列 中,有关 的最值问题——常用邻项变号法求解：   (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1．证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或 而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3．注意 与 之间关系的转化。如： = ， = ． 4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路． 5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略． 四、例题解析 例1．已知数列{a }是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S ． (2)过点Q (1，a )，Q (2，a )作直线12，设l 与l 的夹角为θ， 证明：(1)因为等差数列{a }的公差d≠0，所以 Kp p 是常数(k=2，3，…，n)． (2)直线l 的方程为y-a =d(x-1)，直线l 的斜率为d． 例2．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ， ⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列； ⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列； ⑶求数列 的通项公式及前 项和。 分析：由于{b }和{c }中的项都和{a }中的项有关，{a }中又有S =4a +2，可由S -S 作切入点探索解题的途径． 解：(1)由S =4a ，S =4a +2，两式相减，得S -S =4(a -a )，即a =4a -4a ．(根据b 的构造，如何把该式表示成b 与b 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a -2a =2(a -2a )，又b =a -2a ，所以b =2b 　　　 ① 已知S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得a =5，b =a -2a =3　　 ② 由①和②得，数列{b }是首项为3，公比为2的等比数列，故b =3·2 ． 当n≥2时，S =4a +2=2 (3n-4)+2；当n=1时，S =a =1也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为S =2 (3n-4)+2． 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 项和。解决本题的关键在于由条件 得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 例3．（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn= （an-1） (n +),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。 解: (Ⅰ)由 ,得 ∴ EMBED Equation.3 又 ,即 ,得 . (Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列. 例4、（04年重庆）设a1=1,a2= ,an+2= an+1- an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。 解：（I）因 EMBED Equation.3 故{bn}是公比为 的等比数列，且 （II）由 注意到 可得 记数列 的前n项和为Tn，则 例5．在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数 ，点 位于函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， ​为公差的等差数列 。 ⑴求点 的坐标； ⑵设抛物线列 中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛物线 的顶点为 ，且过点 ，记与抛物线 相切于 的直线的斜率为 ，求： 。 ⑶设 ，等差数列 的任一项 ，其中 是 中的最大数， ，求 的通项公式。 解：（1） （2） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为： 把 代入上式，得 ， 的方程为： 。 ， EMBED Equation.3 = （3） ， EMBED Equation.3 T中最大数 . 设 公差为 ，则 ，由此得 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出 ，解决（3）的关键在于算出 及求数列 的公差。 例6．数列 中， 且满足 ⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求 ； ⑶设 = EMBED Equation.3 ，是否存在最大的整数 ，使得对任意 ，均有 EMBED Equation.3 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ， 由题意得 ， . （2）若 ， 时， 故 （3） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 若 对任意 成立，即 对任意 成立， 的最小值是 ， EMBED Equation.3 的最大整数值是7。 即存在最大整数 使对任意 ，均有 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。. 五、强化训练 （一）用基本量方法解题 1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= （B ） A －4 B －6 C －8 D －10 （二）用赋值法解题 2、（96年）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C ） A 130 B 170 C 210 D 260 3、（01年）设{an}是公比为q的等比数列， Sn是{an}的前n项和,若{Sn}是等差数列，则q=__1_ 4、设数列{an}的前项的和Sn= （对于所有n 1），且a4=54,则a1=__2___ （三）用整体化方法解题 5、（00年）已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（C ） A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=51 6、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A） A 13 B 12 C 11 D 10 7、（03年上海）在等差数列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49 （四）用函数方法解题 8、（04年天津）已知数列{an},那么“对任意的n N+,点Pn(n ,an)都在直线y=x+1上”是“{an}为等差数列”的（ B） A必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9、（99年上海）已知等差数列{an}满足3a4=7a7,且a1>0,Sn是{an}的前n项和，Sn取得最大值，则n=___9______. 10、（01年上海）已知数列{an}中an=2n-7,(n N+), + +--+ =_153___ （五）用递推方法解题 11、（03年全国）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是__1/n 12、（04年全国）已知数列{an}满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),则{an}的通项an=______a1=1;an= n 2 13、（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为__3___，这个数列的前n项和 的计算公式为__当n为偶数时， ；当n为奇数时， 14. （04年全国）已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。 (1)求a3,a5； （2）求{an}的通项公式 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1) =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1], 于是a2k+1= a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1. {an}的通项公式为： 当n为奇数时，an​= 当n为偶数时， PAGE 1 _1140777043.unknown _1148480544.unknown _1167471663.unknown _1175071960.unknown _1175072151.unknown _1175088832.unknown _1175088833.unknown _1175088845.unknown _1175072382.unknown _1175088830.unknown _1175072039.unknown _1175072107.unknown _1175072000.unknown _1167477100.unknown _1167819259.unknown _1168627659.unknown _1167819375.unknown _1167477167.unknown _1167477034.unknown _1149242008.unknown _1149242430.unknown _1167229201.unknown _1167465561.unknown _1167470646.unknown _1167229970.unknown _1167230003.unknown _1167229935.unknown _1167204618.unknown _1167205733.unknown _1149242486.unknown _1149242216.unknown _1149242343.unknown _1149242409.unknown _1149242263.unknown _1149242147.unknown _1149242174.unknown _1149242133.unknown _1148480732.unknown _1148729428.unknown _1148729572.unknown _1148729894.unknown _1148729999.unknown _1148729643.unknown _1148729442.unknown _1148480791.unknown _1148480798.unknown _1148480765.unknown _1148480597.unknown _1148480652.unknown _1148480559.unknown _1140781302.unknown _1148480434.unknown _1148480498.unknown _1148480502.unknown _1148480473.unknown _1140781402.unknown _1148365699.unknown _1148371453.unknown _1148372460.unknown _1148372470.unknown _1148365707.unknown _1140781442.unknown _1148365691.unknown _1140781416.unknown _1140781316.unknown _1140781339.unknown _1140777501.unknown _1140779045.unknown _1140779926.unknown _1140779034.unknown _1140777260.unknown _1140777362.unknown _1140777380.unknown _1140777391.unknown _1140777372.unknown _1140777327.unknown _1140777337.unknown _1140777312.unknown _1140777073.unknown _1140777117.unknown _1140777056.unknown _1140775452.unknown _1140776838.unknown _1129783697.unknown _1129790285.unknown _1130221714.unknown _1140775349.unknown _1140775397.unknown _1140775430.unknown _1140775365.unknown _1140775383.unknown _1136654134.unknown _1136656371.unknown _1140775334.unknown _1136656356.unknown _1136654051.unknown _1129790437.unknown _1129790482.unknown _1129790584.unknown _1129790622.unknown _1129790639.unknown _1129790608.unknown _1129790509.unknown _1129790455.unknown _1129790413.unknown _1129790417.unknown _1129790349.unknown _1129790410.unknown _1129788656.unknown _1129788785.unknown _1129790241.unknown _1129790258.unknown _1129790224.unknown _1129788733.unknown _1129788749.unknown _1129788695.unknown _1129788557.unknown _1129788591.unknown _1129788615.unknown _1129788583.unknown _1129783989.unknown _1129784100.unknown _1129783947.unknown _1129783975.unknown _1129783943.unknown _1129047130.unknown _1129048041.unknown _1129054364.unknown _1129101926.unknown _1129783568.unknown _1129783632.unknown _1129783641.unknown _1129783593.unknown _1129102037.unknown _1129054453.unknown _1129054792.unknown _1129054809.unknown _1129054838.unknown _1129054482.unknown _1129054444.unknown _1129054023.unknown _1129054136.unknown _1129054304.unknown _1129054045.unknown _1129048064.unknown _1129053989.unknown _1129048055.unknown _1129047552.unknown _1129047871.unknown _1129047947.unknown _1129047705.unknown _1129047269.unknown _1129047324.unknown _1129047141.unknown _1127200070.unknown _1129038371.unknown _1129046965.unknown _1129047121.unknown _1129038416.unknown _1127219011.unknown _1127221678.unknown _1127221798.unknown _1127221889.unknown _1127221930.unknown _1129032827.unknown _1127221901.unknown _1127221682.unknown _1127221705.unknown _1127221571.unknown _1127221656.unknown _1127221369.unknown _1127218411.unknown _1127218630.unknown _1127218663.unknown _1127218696.unknown _1127218656.unknown _1127218596.unknown _1127218388.unknown _1127218403.unknown _1127218378.unknown _1127199603.unknown _1127199819.unknown _1127199955.unknown _1127200069.unknown _1127200068.unknown _1127199931.unknown _1127199945.unknown _1127199646.unknown _1127197319.unknown _1127197376.unknown _1127197590.unknown _1127199534.unknown _1127197496.unknown _1126355933.unknown _1126356097.unknown