2010届高考数学总复习（五年高考）（三年联考）精品题库：第三章 导数及其应用

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 第三章 导数及其应用 第一部分 五年荟萃 A组 • 2009年高考题 一、选择题 1.(2009年广东卷.文)函数的单调递增区间是 ( ) A. B.(0,3) C.(1,4) D. D 解析 ,令,解得,故选D 2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B 解:设切点，则,又 .故答案 选B 3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线 在点处的切线方程是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由得几何， 即，∴∴，∴切线方程，即选A 4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( ) A．或 B．或 C．或 D．或 答案 A 解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或， 当时，由与相切可得， 当时，由与相切可得，所以选. 5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( ) A．　　　B．　　　C．　　　　D． 答案 A 解析 由已知，而，所以故选A 力。 6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解 , 故切线方程为,即 故选B. 7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数， 则函数在区间上的图象可能是 ( ) A ． B． C． D． 解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢. 8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( ) A. B.3 C. D.4 答案 C 解析 由题意 ① ② 所以, 即2 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2 9.（2009天津卷理）设函数则 ( ) A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。 C在区间内有零点，在区间内无零点。 D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间 为增函数，在点处有极小值；又 ，故选择D。 二、填空题 10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 解析 f’(x)＝ f’(1)＝＝0 ( a＝3 答案 3 11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15） 答案 : 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________. 答案 解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线， 所以。 15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -2 16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，，则 ②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ③对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④ 解析 ①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ②：由，则有 ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。 答案 解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 三、解答题 18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） 设函数在两个极值点，且 （I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域； (II)证明： 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。 解析 由题意有．．．．．．．．．．．．① 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 消去可得． 又，且 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ． （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得 又 ，解得，或 （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, ∵曲线在点处与直线相切， ∴ （Ⅱ）∵, 当时，，函数在上单调递增， 此时函数没有极值点. 当时，由， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴此时是的极大值点，是的极小值点. 21.（2009北京理）（本小题共13分） 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. 22.(2009山东卷文)（本小题满分12分） 已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值? （2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. 解: (1)由已知得,令,得, 要取得极值,方程必须有解, 所以△,即, 此时方程的根为 ,, 所以 当时, x (-∞,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当时, x (-∞,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞) f’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立. 即恒成立, 所以 设,, 令得或(舍去), 当时,,当时,单调增函数; 当时,单调减函数, 所以当时,取得最大,最大值为. 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22.设函数，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析 （I） 由知，当时，，故在区间是增函数； 当时，，故在区间是减函数； 当时，，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知 即 解得 11时, 当x变化时，与的变化情况如下表： x + － + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。 ②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为R； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. (Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。 观察的图象，有如下现象： ①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。 ②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联； ③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率； 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。 当时，. 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2. （2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二： （1）同解法一. （2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点. 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点. 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根. 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2. 36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分） 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。 (2)求a的值，并讨论f（x）的单调性； (1)证明：当 解析 （Ⅰ）.有条件知， ，故. ………2分 于是. 故当时，＜0； 当时，＞0. 从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为， 最小值为. 从而对任意，，有. ………10分 而当时，. 从而 ………12分 37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。 （1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。 解析 (1)的定义域为。 2分 （i）若即,则 故在单调增加。 (ii)若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 (iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解析 ，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值； 若，则 当变化时，，的变化情况如下表： 1 0 + 0 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 （Ⅱ）证法1： 当时，函数的对称轴位于区间之外。 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外， 在上的最值在两端点处取得。 故应是和中较大的一个 假设，则 将上述两式相加得： ，导致矛盾， （Ⅲ）解法1： （1）当时，由（Ⅱ）可知； （2）当时，函数）的对称轴位于区间内， 此时 由有 ①若则， 于是 ②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2： （1）当时，由（Ⅱ）可知； （2）当时，函数的对称轴位于区间内， 此时 ，即 下同解法1 43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） 已知函数. (1) 设，求函数的极值； (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （21）解析 （Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况： （-1，3） 3 + 0 — 0 + 极大值6 极小值-26 所以，的极大值是，极小值是 （Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是 由于是有 由 所以 若a>1,则不恒成立. 所以使恒成立的a的取值范围是 44.（2009天津卷理）（本小题满分12分） 已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。 （I）解析 （II） 以下分两种情况讨论。 （1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 45.（2009四川卷理）（本小题满分12分） 已知函数。 （I）求函数的定义域，并判断的单调性； （II）若 （III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析 （Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00, 1036时，V′>0, 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分 第二部分 三年联考汇编 A组 • 2009年联考题 一、选择题 1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则 函数的零点所在的区间是 （ ） A． B． C． D． 答案 C 2.（2009天津重点学校二模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当 时不等式成立， 若， ，则的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 答案 C 3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数 的导数 的图像，则 （ ） A. B. C. D.或 答案 B 4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 答案 B 二、填空题 5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是　 　． 答案 6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数 (c＜0)单调递增区间是 . 答案 三、解答题 7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数，其中为实数. (Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值; （Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围. 解 (Ⅰ)由题设可知: 且， ……………… 2分 即，解得 ……………… 4分 （Ⅱ）， ……………… 5分 又在上为减函数， 对恒成立， ……………… 6分 即对恒成立. 且， ……………… 10分 即， 的取值范围是 ……………… 12分 8.（2009厦门大同中学）设函数 （1）求函数的极大值； （2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数）， 试确定实数a的取值范围． 解 （1）∵，且，………………………………1分 当时，得；当时，得； ∴的单调递增区间为； 的单调递减区间为和．…………………………………3分 故当时，有极大值，其极大值为． …………………4分 （2）∵， 当时，， ∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分 ∴． ∵，∴ 此时，．…………………………………………………………………………9分 当时，． ∵，∴即 ……11分 此时，．……………………………………………………………13分 综上可知，实数的取值范围为．………………………………… 14分 B组 • 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 （ ）w. A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 答案 A 2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在，则不可 能为 （ ） A．；　　　　　 Ｂ．；　　　　 Ｃ．；　　　　 　Ｄ．； 答案 B 3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数 的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( ) A． B． C． D． 答案 C 4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( ) A．－4 B．8 C．0 D．不存在 答案 B 5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则 （ ） A．函数有1个极大值点，1个极小值点 B．函数有2个极大值点，2个极小值点 C．函数有3个极大值点，1个极小值点 D．函数有1个极大值点，3个极小值点 答案 A 二、填空题 6.（2008年高考数学各校月考）定积分的值是 . 答案 3 7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在 x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________； 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0 答案 m＝2，n＝9. 解析 ＝3x2＋6mx＋n 由题意，＝3－6m＋n＝0 f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0 解得或 但m＝1，n＝3时，＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立 即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去 8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象， 为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______． 答案 三、解答题 8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R） （1）写出此函数F(x)在R上的单调区间； （2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。 解 （1）∴ 由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立 ∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数 在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数 （2）由（1）可知 i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解， 此时m=－1－t或m=3－t ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解， 此时m=或m=3－t 9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴 的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。 （Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值； （Ⅱ）解关于x的不等式：，其中 解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0 ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………3分 ∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 …………………3分 (2) 又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数 ∴ ①当时，； ②当时，，∴； ③当时，，∴ 综上所述：当时，；当时，； 当时，。 3 2 1 6 5 4 3 O 1 x y A C B 2 b y x o y x o a b y x o x o a b a b a y 4 � � � －2 4 －2 x y O x y � EMBED Equation.3 ��� x4 O oO � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 第1 页 _1261240566.unknown _1261240669.unknown _1261240700.unknown _1261240614.unknown _1261240303.unknown