2010届高考数学总复习（五年高考）（三年联考）精品题库：第八章 立体几何

第8章 立体几何 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考 一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为， 所以体积为 所以该几何体的体积为. :C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为 （A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24 3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ). A. B. C. D. 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,, ∴ 区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C 答案 C 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得. 5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B 7.如图，在半径为3的球面上有三点，， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. 答案 B 8．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C 9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 答案 B 二、填空题 10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_______ 答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则__________ 12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ． 答案 18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案答案 4 14. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 ,，则此球的表面积等于 。 解:在中,,可得,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 15．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱 柱的体积为 　　． 答案 8 16．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ． 答案 17．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B 是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= . 答案 18.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，， 满足的等量关系是___________. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_____________. 答案 2 三、解答题 20．（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。 （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线平面. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. 　　（２）该安全标识墩的体积为： 　　 　　 　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 2005—2008年高考题 一、选择题 1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 答案 A 2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A． B． C． D． 答案 C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为，由题意得 ， ，，所以 ， 当且仅当时取等号。 3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9π　　　　　 B.10π C.11π D．12π 答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 3. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案　B　 4. （2007陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 答案　B 5.（2006安徽）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A． B． C． D． 答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知， ，则此球的直径为，故选A。 6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ） A.2 B. C. D. 答案 D 【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D. 7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成 的角是60°则该截面的面积是 ( ) A．π　　　　　　 B.2π　　　　 C.3π　　 　　D. 答案 A 【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A. 8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9 答案 C 【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为， 故所求的比为1∶3，选C. 9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 答案　B 10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　． 答案 【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且. 12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________ 答案 【解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积. 13. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　． 答案 14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 ​​ cm2. 答案 15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱 锥的侧面积是________． 答案 【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得. 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、 选择题 1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A． B． C． D． 答案 D 2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ） A．2a2 B．a2 C． D． 答案 C 3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图， 则组成此几何体的长方体木块块数共有( ) A．3块 B．4块 C．5块 D．6块 答案　B 4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A. B. C . 4 D. 8 答案 C 5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A． B． C． D．r 答案 C 6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面 积为( ) A．Z B． C． D． 答案　B 7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右 图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．与 B．与 C．与 D．与 答案 C 8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( ) A. B.21 cm C. D. 24 cm 答案 A 9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得几何体的表面积是( ) A.22 B.12 C.4＋24 D.4＋32 答案 D 二、填空题 10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 . 答案 12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2. 答案 80 13.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________． 答案 2 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中， E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是 （ ） 答案 B 2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 8 答案 A 3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离 都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为，则此球的体积为 （　 ） A. B. C. D. 答案 D 4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知中，AB=2，BC=1，，平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是（ ） A． B． C． D． 答案 D 5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为 EQ \f(2\r(3),3)，则它的外接球的表面积为（ ） A． B．2π C．4π D． 答案C 6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 答案 A 第二节 点、线、面的位置关系 一、 选择题 1.. 如图，正方体的棱线长为1，线段 有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （A） （B） （C）三棱锥的体积为定值 （D）异面直线所成的角为定值 2. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 【解析】选D. 3．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中 心，则与平面所成角的大小是 ( ) A． B． C． D． 答案：C 【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面 所成角即为，设，则，， 即有． 4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系． 【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的． 6.设m，n是平面 内的两条不同直线，，是平面 内的两条相交直线，则// 的 一个充分而不必要条件是 A.m // 且l // B. m // l 且n // l C. m // 且n // D. m // 且n // l 【答案】：B [解析]若，则可得.若则存在 7. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与 所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C 8．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面 的距离为 （ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，，如图， ，故选D. 9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和 平面所成的角都是的直线的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案 B 10．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是 A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1） B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 C 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则 该三棱柱的高等于 A. B. C. D. A 12．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的 距离相等的点的个数为（C） A．2 B．3 C. 4 D. 5 13．平面六面体- 中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】 A．3 B. 4 C.5 D. 6 14．如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为 A．是正三棱锥 B．直线∥平面 C．直线与所成的角是 D．二面角为 答案 B 15.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则 下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 C. 直线∥平面 Ｄ. 答案 D 二、填空题 16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端 点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着 F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 17.对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。 eq \o\ac(○,1)相对棱AB与CD所在的直线异面； eq \o\ac(○,2)由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点； eq \o\ac(○,3)若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面； eq \o\ac(○,4)分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; eq \o\ac(○,5)最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 [解析]①④⑤ 18.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的 中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ） （A） （B） （C） (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所 成的角,由三角余弦定理，易知.故选D 19.已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ） (A) (B)2 (C) (D)4 解:如图分别作 ，连 ， 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 20.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小 是 。 答案 21．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为 4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果 用反三角函数表示）. 答案 三、解答题 22．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中 点，点在上，。 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面平面. 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查 空间想象能力、推理论证能力。满分14分。 23．（本小题满分14分） 如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点 、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影． （1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线平面； （3）求异面直线所成角的正弦值. 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ， 又面，，∴. （2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，， ∴，，即，， 又，∴平面. （3），，则，设异面直线所成角为，则. 24.（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其 补角） 为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中 点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD 都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可 得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=， 故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （II）证明：因为 （III） 由（I）可得， 25. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点， （1）证明：平面 （2）证明：平面 （3）求直线与平面所成角的正切值 26．（本题满分15分）如图，平面平面， 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， ，的中点，，． （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离． 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 （II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为． 27．（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值． 28．（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD （Ⅱ）在中，，所以 而DC平面ABC，，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ， 所以 29.（本小题满分12分） 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （I）解法一： 取CD的中点G，连接MG，NG。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG=. 因为平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF， 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 30．（本小题满分13分） 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直， （Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD： （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。 【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上. 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. 所以,直线EF垂直平分线段AD. (2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, . —ABCD 又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF= 31．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60° （I）证明：M在侧棱的中点 （II）求二面角的大小。 （I）解法一：作∥交于N，作交于E， 连ME、NB，则面，, 设，则, 在中，。 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. 解法二:过作的平行线. 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. （II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角. 分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角. 分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 32.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明： （II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面， （射影相等的两条斜线段相等）而平面， （相等的斜线段的射影相等）。 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。 （II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 34．（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的大小. （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角. 【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （Ⅰ）∵， ∴，∴BC⊥AP. 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵， ∴. ∴与平面所成的角的大小. （Ⅲ）同解法1. 36．（本小题共14分） 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE//PD，，又∵， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，， ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为. 37．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 如题（19）图，在四棱锥中，且；平 面平面，；为的中点，．求： （Ⅰ）点到平面的距离； （Ⅱ）二面角的大小． 39 （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求： （Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 40.（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱中， D是的中点，点E在上，且。 （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA. 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。 （2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF 又CDDF=D，所以AB平面CDF， 而AB∥AB，所以 AB平面CDF，又AB平面ABC，故 平面AB C平面CDF。 过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=， CF=，AD==，DH==—， 所以 sinHAD==。 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 41.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE （Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEA. 而DEA，,所以DE⊥平面 又DE 平面，故平面⊥平面 （Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直于点 连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面， 所以AF平面,故直线AD和 平面所成的角。 因为DE所以DEAC而 ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2 AE=4-CE=4- =3 又因为= 所以E= == 4 , 即直线AD和平面所成的角的正弦值为 42．（本小题满分12分） 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点. （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求点到平面的距离. 20．解： 方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。 又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD， 所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD， 所以平面ABM⊥平面PCD。 （2）由（1）知，，又，则是的中点可得 ， 则 设D到平面ACM的距离为，由即， 可求得， 设所求角为，则，。 （1） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。 又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。 43（本小题满分12分） 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相 垂直，△是等腰直角三角形， （I）求证：； （II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角的大小。 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一： （Ⅰ）因为平面⊥平面,平面， 平面平面， 所以⊥平面 所以⊥. 因为为等腰直角三角形， ， 所以 又因为， 所以， 即⊥, 所以⊥平面。 ……………………………………4分 （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF=. FG=AF·sinFAG= 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, GH=BG·sinGBH=·= 在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008上海13） 给定空间中的直线L及平面(，条件“直线L与平面(内无数条直线都垂直”是“直线L与平面(垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 答案 C 2.（2008天津5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( ) A． 　　 B． C． D． 答案 C 3.（2008安徽4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 答案 D 4.（2008湖南5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( ) A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ 答案 D 5.（2008全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 （ ） A． B． C． D． 答案 C 6.（2008全国Ⅱ10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是 的中点，则所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 答案 C 7.（2008四川９）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有 ( ) A．１条　　 B.２条 C．３条　　 D．４条 答案 B 8.（2008湖南9）长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( C ) A.2 B. C. D. 答案 C 9.（2008陕西9）如图，到的距离分别是 和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 11. (2007北京理•3）平面平面的一个充分条件是（　　） A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 答案 D 12. ( 2007安徽理•2）设，，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 13.（2007福建理•8）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B． C． D． 答案 D 14.（2007湖北理•4）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ①⊥⊥； ②⊥⊥； ③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合； 其中不正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 15.（2007江苏理•4）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ① ② ③ ④ 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 答案 C 16.（2007全国Ⅰ理•7）如图，正四棱柱中，， 则异面直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 答案 D 17.（2007福建理•10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为 （ ） A ． B． C ． D． 答案 B 18.（2007四川理•4）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ） A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60° 答案 D 19. (2006福建）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( ) A. 若m⊥，m⊥n，则n∥ B. 若m∥，n∥，则m∥n C. 若m，n∥，则m∥n D. 若m、n与所成的角相等，则n∥m 答案 C 20. （2006广东）给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案 B 21. （2006湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 答案 D 22.（2006全国II）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面 α、β所成的角分别为EQ \f(π,4) 和 EQ \f(π,6)，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足 为A′、B′，则AB∶A′B′＝（ ） A. 2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 答案 A 23. (2006重庆卷) 对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l A.平行　　 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 答案 C 24.（2005上海春13） 已知直线及平面，下列命题中的假命题是 （ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 答案 D 25.（2005上海14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 答案 A 二、填空题 26.（2008陕西14）长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ． 答案 27.(2008全国Ⅰ16）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ． 答案 28.（2008安徽16）已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 . 答案 29.（2008辽宁14）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________． 答案 30.（2007四川理•14）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为， 底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ． 答案 31.（2007浙江理•16）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且 。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是_______。 答案 三、解答题 32.（2008北京16）如图，在三棱锥中，，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． （Ⅰ）证明 取中点，连结． ， ． ， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ）解 ，， ． 又， ． 又，即，且， 平面． 取中点．连结． ，． 是在平面内的射影， ． 是二面角的平面角． 在中，，，， ． 二面角的大小为． （Ⅲ）解 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 过作，垂足为． 平面平面， 平面． 的长即为点到平面的距离． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面． 平面， ． 在中，，， ． ． 点到平面的距离为． 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、 选择题 1.(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( ) A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当，且c是a在内的射影时，若，则 D．当，且时，，则 答案 B 2. (厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 ( ) A. B. C. 　 D. 答案 C 3. (2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 答案 C 4. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试) 如图，在正方体中，若E是AD的中点，则异面直线与所成角的大小是 ( ) A. B. C. D. 答案 D 5. (安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( ) A.是平面内两条直线，且 B.内不共线的三点到的距离相等 C.都垂直于平面 D.是两条异面直线，，且 答案 D 6. (四川省成都市高中数学2009级九校联考)设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为 （ ） A. B. C. D. 答案 D 7. (广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)在正方体中， 为的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ( ) A． 　 B． C． D． 答案 D 8. (广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能 答案 C 9. (安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)下列命题不正确的是（ ） A．为垂足，且与不重合，则为与平面所成的角 B．则为二面角α－l－β的平面角 C．为垂足，则为直线到平面的距离 D．，则为平面α与平面β的距离 答案 C 10. （浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A、若，则 B、若则 C、若，则 D、若则 答案 C 二、填空题 11. (广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)给出下面四个命题： ①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 . 答案 ② ④ 12. (四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)设地球半径为R，甲、乙两地均在本初子午线(0°经线)上，且甲地位于北纬40°，乙地位于南纬80°，则甲乙两地的球面距离为___________________. 答案 EQ \f(2πR,3) 13. (四川省成都市新都一中高2009级数学理科12月考试题)正三棱锥的高为2，侧棱与底面ABC所成角为，则点到侧面的距离是　　　　. 答案 14. (四川省成都市新都一中12月月考)在120°的二面角内放置一个半径为5的小球，它与二面角的两个面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离为___________________. 答案 EQ \f(5π,3) 15. (安徽省合肥市高三年级第一次质检)如图，正方体，则下列四个命题： ①在直线上运动时，三棱锥的体积不变； ②在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③在直线上运动时，二面角的大小不变； ④M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点 的直线 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 答案 ①③④ 2007—2008年联考题 一、选择题 1. (2008江苏省启东中学高三综合测试三) 设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是 A．若b,c∥，则b∥c B．若b,b∥c，则c∥ C．若c∥，c⊥，则⊥ D．若c∥，⊥，则c 答案 C 2. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题 ①；②；③；④； 其中正确的命题是（ ） Ａ．①④　　 Ｂ．②③　　　　 Ｃ．①③　　　　　 Ｄ．②④ 答案 C 3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知为长 方体，对角线与平面相交于点Ｇ，则Ｇ与的（ ） Ａ．垂心 Ｂ．重心 Ｃ．内心 Ｄ．外心 答案 B 4. (江西省五校2008届高三开学联考)已知直线、，平面、,给出下列命题: ①若，且，则 ②若，且，则 ③若，且，则 ④若，且，则 其中正确的命题是 A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ① 答案 D 5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为 （ ） A． B. C. D. 答案 C 6. (安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)若二面角为，直线，直线，则直线与所成的角取值范围是 ( ) A． B． C． D． 答案 C 7. (湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ） A． B． C．（0，） D． 答案 A 二、填空题 8. (2007岳阳市一中高三数学能力训练)已知直线和平面，试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断⊥ 的真命题　　　　　　　． 答案　⊥　或　⊥ 三、解答题 9.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求到平面的距离； (Ⅲ)求二面角的大小. (Ⅰ)证明 ∵平面,∴平面平面, 又,∴平面, 得,又, ∴平面. (Ⅱ)解 ∵,四边形为菱形,故, 又为中点,知∴.取中点,则 平面,从而面面, 过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为. (Ⅲ) 解 过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴, 在中,,故二面角的大小为. 第三节 空间向量在立体几何中的应用 一、 填空题 1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________ 2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 【解析】设由可得故 【答案】(0,-1，0) 二、解答题 3.（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系， 点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为. （II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 4．（本题满分15分）如图，平面平面， 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， ，的中点，，． （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离． 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 6.（本小题满分12分） 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 可得cos(,)=· 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos· ……6分 (Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 7.（13分） 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，， ，且MD=NB=1，E为BC的中点 （1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 （2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标 依题意，得。 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为.A （2）假设在线段上存在点，使得平面. , 可设 又. 由平面，得即 故，此时. 经检验，当时，平面. 故线段上存在点，使得平面，此时. 8.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明： （II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。 分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求： （Ⅰ）点到平面的距离； （Ⅱ）二面角的大小． （Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为. (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点. ΔBCS为直角三角形 , 知 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） . 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD . 由故 ①　 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　② 联立①、②，解得G＝　, 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 . 因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 . 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 9．（本小题共14分） 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小. 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设 则， （Ⅰ）∵， ∴， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）当且E为PB的中点时，， 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∵， ∴， ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为. 10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求： （Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 18.（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱中， D是的中点，点E在上，且。 （III） 证明平面平面 （IV） 求直线和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA. 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。 解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有 解得x=-y， z=-， 故可取n=(1，-，)。 所以，(n·)===。 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 11.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE （Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。 解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0) 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0） 设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则 解得 故可取n=（,0,-3，）于是 = 由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为 12．（本小题满分12分） 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点. （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求点到平面的距离. 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则 。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。 （3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。 19（本小题满分12分） 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互 相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求证：； （II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角的大小。 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=, 于是·=·=0 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM∥平面BCE. ………………………………8分 (Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。 取平面ABD的一个法向量为。 。 故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………………12分 14.（本题满分14分） 如图，在直三棱柱中，, ,求二面角的大小。 简答： 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 2005—2008年高考题 解答题 1. （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分） 如图，正四棱柱中，，点在上且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 以为坐标原点，射线为轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系．依题设，． ， ． （Ⅰ）证明 因为，， 故，． 又， 所以平面． （Ⅱ）解 设向量是平面的法向量，则 ，． 故，． 令，则，，． 等于二面角的平面角， ． 所以二面角的大小为． 2. （2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长 为1的菱形，, , ,为 的中点，为的中点 （Ⅰ）证明：直线； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 , (1)证明 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 (2)解 设与所成的角为, , 与所成角的大小为. (3)解 设点B到平面OCD的距离为， 则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0）， P（0，0，2）, （Ⅰ）证明 因为， 平面PAB的一个法向量是， 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形， 其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小； （Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos， (Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为， 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则所以即， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设由，得 解y=-或y=(舍去)， 此时，所以存在点Q满足题意，此时. 5. （2007福建理•18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； （Ⅰ）证明 取中点，连结． 为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． ，， ，． 平面． （Ⅱ）解 设平面的法向量为． ，． ，， 令得为平面的一个法向量． 由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量． ，． 二面角的大小为． （Ⅲ）解 由（Ⅱ），为平面法向量， ． 点到平面的距离． 6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直 径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径， AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角. 解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450. (Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0） 所以， . 设异面直线BD与EF所成角为， 则 直线BD与EF所成的角为 7.（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为. 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1）， E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） （1）证明 （2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0）， 从而， ， 设平面ACD1的法向量为， 则 也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为 （3）解 设平面D1EC的法向量， ∴ 由 令b=1, ∴c=2,a=2－x， ∴ 依题意 ∴（不合，舍去）， . ∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为. 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 解答题 1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中 （1）求证：； （2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）求到平面PAD的距离 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 （1）证明 设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴ 又， ∴ ∴∴ ∴ ， 即。 （2）解 设平面PAD的法向量是， ∴ 取得，又平面的法向量是∴ ， ∴。 （3）解 ∴到平面PAD的距离。 2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等 边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝， M为BC的中点 (Ⅰ)证明：AM⊥PM ； (Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小； (Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。 (Ⅰ) 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系, 依题意，可得 ∴ ∴ 即,∴AM⊥PM . (Ⅱ)解 设，且平面PAM，则 即 ∴ ， 取，得 取，显然平面ABCD， ∴ 结合图形可知，二面角P－AM－D为45°； (Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则 = 即点D到平面PAM的距离为 3.(厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=． （Ⅰ）求DH与所成角的大小； （Ⅱ）求DH与平面所成角的大小． 解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系． 设 则，．连结，． 设，由已知， 由 可得．解得， 所以．（Ⅰ）因为， 所以．即DH与所成的角为． （Ⅱ）平面的一个法向量是． 因为， 所以． 可得DH与平面所成的角为． 4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图， 在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （1）求证：平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． ⑴ 证明 连结OC ，． 在中，由已知可得 而， 即 ∴平面． (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 ， ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为． ⑶解 设平面ACD的法向量为则 ， ∴，令得是平面ACD的一个法向量． 又 ∴点E到平面ACD的距离 ． 5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图， 已知平面，平面，△为 等边三角形，，为的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面平面； (3) 求直线和平面所成角的正弦值. 设，建立如图所示的坐标系，则 . ∵为的中点，∴.  (1) 证明 ， ∵，平面，∴平面.  (2) 证明 ∵， ∴，∴. ∴平面，又平面， ∴平面平面.  (3) 解 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 . ∴直线和平面所成角的正弦值为. 6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知 等腰直角三角形，其中∠=90º，． 点A、D分别是、的中点，现将△沿着边 折起到△位置，使⊥，连结、． （1）求证：⊥； （2）求二面角的平面角的余弦值． （1）证明 ∵点A、D分别是、的中点， ∴. ∴∠=90º. ∴. ∴ , ∵, ∴⊥平面. ∵平面, ∴. （2）解 建立如图所示的空间直角坐标系． 则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）. ∴=（－1，1，0），=（1，0，1）, 设平面的法向量为=（x，y，z），则： ， 令，得， ∴=（1，1，－1）. 显然，是平面的一个法向量，=（）． ∴cos<，>=． ∴二面角的平面角的余弦值是. 2007—2008年联考题 1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求到平面的距离； (Ⅲ)求二面角的大小. (Ⅰ)证明 如图,取的中点,则,∵,∴, 又平面,以为轴建立空间坐标系, 则,,,,,, ,,由,知, 又,从而平面. (Ⅱ)解 由,得.设平面的法向量 为,,,, 设,则 ∴点到平面的距离. (Ⅲ)解 设面的法向量为,,, ∴ 设,则,故, 根据法向量的方向可知二面角的大小为. 2. (山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 （1）求证：； （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）； （3）求点到平面的距离. （1）证明 建立如图所示， ∵ ∴ ， 即AE⊥A1D， AE⊥BD ， ∴AE⊥面A1BD （2）解 设面DA1B的法向量为 由 ， ∴取 设面AA1B的法向量为 ， 由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos . （3）解 ，平面A1BD的法向量取, 则B1到平面A1BD的距离d= . 3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱 ，，， 在底面上的射影恰为的中点， 又知。 （I）求证：平面； （II）求到平面的距离； （III）求二面角的大小。 （I）证明 如图，取的中点，则，因为， 所以，又平面， 以为轴建立空间坐标系， 则，，， ，， ，， ，由，知， 又，从而平面； （II）解 由，得。 设平面的法向量为，，， 所以，设，则 所以点到平面的距离。 （III）解 再设平面的法向量为，，， 所以，设，则， 故，根据法向量的方向， 可知二面角的大小为。 4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°. （1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小； （2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小. 解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz 由平面几何知识知：AD＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1) EQ \o(AF,\s\up5(→))＝(1,0,1), EQ \o(BG,\s\up5(→))＝(－1,1,1) ∴ EQ \o(AF,\s\up5(→))· EQ \o(BG,\s\up5(→))＝0， ∴AF与BG所成角为 EQ \f(π,2) . (2) 可证明AD⊥平面APB， ∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0) 设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z) 由 ( EQ \b\lc\{(\a\al(y＝1,z＝2)) 故m＝(1,1,2) ∵cos＝ EQ \f(m·n,|m|·|n|)＝\f(\r(6),6) ∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos EQ \f(\r(6),6). 5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°. ( 1 )求二面角A-BD-C的大小； （2）求点C到平面ABD的距离. 解 （1）如图，建立空间直角坐标系． 则． 设为平面的法向量． 由 得． 取 又平面的一个法向量 ． 结合图形可知，二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅱ）知 点到平面的距离＝． 6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图， 、分别是正四棱柱上、下底面的中 心，是的中点，. （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小； (Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? 以点为原点，直线所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则得、、、、 (Ⅰ)证明 由上得、、 ，设得 解得， ∴ ， ∴∥平面 （Ⅱ）解 当时，由、得、、 设平面的法向量为，则由，得， ，∴直线与平面所成角的大小为. (Ⅲ) 解 由(Ⅰ)知的重心为，则， 若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得 ∴当时，在平面内的射影恰好为的重心. 7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P—ABCD中， 平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形， △PAB等边三角形. （1）求二面角B—AC—P的大小； （2）求点A到平面PCD的距离. 解 （1）建立如图的空间直角坐标系O—xyz， 则A（－1，0，0），B（1，0，0）， 则P（0，0，），C（1，2，0） 设为平面PAC的一个法向量， 则 又 令z=1，得 得 又是平面ABC的一个法向量， 设二面角B—AC—P的大小为， 则 （2）设为平面PCD的一个法向量. 则 由D（－1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2. 得， 设点A到平面PCD的距离为d，则 ∴点A到平面PCD的距离为 8. (北京市十一学校2008届高三

数学练习题

一年级加减法口算题一年级上册数学题库三年级下册数学典型题四年级上册数学面积幼升小数学图片题

)如图， 在正四棱锥中，,点在 棱上． (Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明； (Ⅱ)当时,求点到平面的距离； (Ⅲ)求二面角的大小. 解 (Ⅰ)当E为PC中点时，． 连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形， ∴O为AC的中点，又E为中点， ∴OE为△ACP的中位线， ∴，又， ∴. (Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系. 则, , ，，． ∴ ， ， ，， 设面的法向量为 , 点到平面的距离为. (Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, . . 9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，，平面平面. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求异面直线和所成角的大小. 作于点， 平面平面， 平面. 过点作的平行线，交于点. 如图，以为原点，直线分别为轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系 . . . ， . （Ⅰ）证明 . 又. （Ⅱ）解 作于点，连结. 平面， 根据三垂线定理得 ， 是二面角的平面角. 在中， ， 从而， ， 即二面角的大小是. （Ⅲ）解， ， 异面直线和所成角的大小为arccos. 10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4 且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1， E是O1A的中点. （1）求二面角O1－BC－D的大小； （2）求点E到平面O1BC的距离. 解 (1）∵OO1⊥平面AC， ∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB， 建立如图所示的空间直角坐标系（如图） ∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形， ∴OA=2，OB=2， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）， O1（0，0，3） 设平面O1BC的法向量为=（x，y，z）， 则⊥，⊥， ∴，则z=2，则x=－，y=3， ∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3） ∴cos<，>=， 设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°. 故二面角O1－BC－D为60°. （2）设点E到平面O1BC的距离为d， ∵E是O1A的中点，∴=（－，0，）， 则d=，∴点E到面O1BC的距离等于. D． E B C． E B B． E B A． E B 图2 图1 侧视 C B A D F E C B G H A I D F E 5 5 主视图 俯视图 俯视图 侧视图 正视图 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED PBrush ��� F E D P C B A � EMBED PBrush ��� 俯视图 20 10 10 侧视图 20 正视图 20 20 8 侧(左)视图 8 5 5 8 正(主)视图 俯视图 2 1 2 左视图 主视图 俯视图 2 2 2 2 3 俯视图 主视图 左视图 D B C A � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� l b a B A P A C B E P A C B D P H P B C A Ａ Ｂ Ｃ Ａ／ Ｂ／ Ｃ／ Ｄ／ Ｄ � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A B C D E A1 B1 C1 D1 z x y D1 C1 B1 A1 E D C B A x z A B C D � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� O F y 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 20090423 20090423 � 20090423 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� M P D C B A z y x M P D C B Á A B C D � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� x y z H A C D O B E y z x A C D O B E y z x A B C D E F � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D A1 D1 C1 B1 E1 B A C P O z x y D A1 D1 C1 B1 E1 B A C P O _ � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� E O1 O D1 C1 B1 D C B A A1 � EMBED PBrush ��� PAGE 43 _1274677076.unknown _1303219976.unknown _1306087403.unknown _1303220240.unknown _1303220244.unknown _1303219998.unknown _1291548006.unknown _1300996753.unknown _1300996772.unknown _1291548303.unknown _1300996732.unknown _1291550370.unknown _1291548084.unknown _1274852687.unknown _1291547729.unknown _1291547749.unknown _1274852701.unknown _1274852669.unknown _1261662696.unknown _1261663376.unknown _1261663403.unknown _1274677062.unknown _1261663390.unknown _1261662804.unknown _1261662673.unknown _1261661971.unknown _1261662017.unknown _1261662025.unknown _1261661992.unknown _1242887345.unknown _1261661921.unknown _1261661929.unknown _1261661830.unknown _1206472112.unknown _1242887318.unknown _1242887330.unknown _1206472139.unknown _1206555573.unknown _1206470794.unknown _1206472082.unknown