课程标准上海市中小学数学课程标准 (1)

上海市中小学数学课程 （征求意见稿） 一、 导 言 （一）课程定位 数学是以现实世界中的数与形为研究对象，在抽象、推理、应用的往复循环中逐步建立起来的一门科学。随着社会的进步和数学自身的发展，特别是在与计算机的结合过程中，数学的研究领域、研究方式、应用范围等方面得到了空前的拓展。 在人类文明史上，数学具有特殊的重要地位，它是其他科学的基础，也是一切重大技术发展的基础。在现代社会中，数学不仅对科学技术的进步仍然发挥着基础理论和基础应用的作用，而且已成为一种普遍适用的技术。数学又是现代文化的重要组成部分，它的内容、思想、方法和语言已经广泛渗入人们的日常工作和生活中，影响着人们的思维方式和社会文化的进步。数学是人们生活、工作和学习必需的工具，数学素养是现代公民必备的素养。 在基础教育阶段，数学是一门重要的基础课程，它对学生的整体发展、长远发展以及当前学习其他课程具有奠基意义，对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力以及辩证唯物主义世界观、方法论等具有独特作用。本课程面向全体学生，着眼于促进学生全面、和谐、主动地发展，致力于使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学，同时得到基本素质的培育和提高。 （二）课程理念 1．正确处理基础与发展的关系 数学课程应根据“以学生发展为本”的要求，正确处理基础与发展的关系。主要强调： ——不仅要关注学生掌握的数学知识和技能，为以后的学习打好基础;而且要关注数学学习对促进学生基本素质提高的作用，从而为学生走向社会和终身学习奠定基础；还要充分注意学生的个性差异，使学生的数学学习与其在个性方向上的发展相适应。 ——要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获得终身受用的数学基础能力和创造才能。 2．充分关注数学课程中的学习过程 课程是由教学内容、学生、教师、教学环境整合而成的系统，是师生共同探求新知识的过程。数学课程的设计不仅要重视教学的内容和要求，更要充分关注课程中的学习过程，关注学生、教师的主体性和创造性的发挥。主要强调： ——将课程与学习融为一体。要精选学生必需的数学知识，遵循学生认知 心理发展的规律，组织合理的知识结构；要展现知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会；要把学知与学做紧密结合起来，使学生 获得认知、参加活动、增加体验、发展情感态度与价值观在数学学习中得到和谐统一。 ——扩展学生主动学习的空间，发挥学生在认识活动中的主动和能动作 用。要给学生主动学习创造更多的机会和条件，为学生体验过程创设合适的情境。要充分调动学生学习的积极性，并向学生提供丰富的学习资源、自主探究的时间以及必要的指导和帮助，促使学生能够在获得对数学的理解的同时，逐步学会学习和思考，增长和智慧，形成正确的价值观。 ——教师应成为学生学习和知识建构的促进者。教学是师生之间的对话、 沟通、合作、共建的交往活动。在数学教学中，教师应从学生已有的知识经验出发，激发学生探求新知的兴趣，提供学生充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中构建知识、训练技能、领会数学思想方法、获得数学活动的经验。 3．增强数学课程内容的基础性、选择性、现实性 数学课程要与社会发展的需求相适应，要为学生的未来人生做好数学准备。当前在数学课程内容的改革中主要强调： ——加强最基本的数学知识。根据社会发展、学生发展、学科发展的需要 选取最基本的数学知识作为课程内容；抓住数学知识的主干部分，突出通性通法，构建简明的数学知识结构。 ——增加课程的可选择性。在确保所有学生都能获得必需的数学的同时， 充分关注不同的学生在数学上得到不同发展的需要，体现数学教育对全体学生的适应性。 ——重视数学与现实生活的联系。选择具有广泛应用性的数学知识充实课 程内容，开发实践环节；展现数学抽象、推理、应用的完整过程，突出数学模型思想。 4．拓宽创造性学习的课程渠道 数学教育已从注重数学知识的传承转到更加关注可持续发展和创新能力的培养，数学课程必须积极反映这一变化，为学生进行创造性学习拓宽渠道，并鼓励学生奋发进取。主要强调： ——重视从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程。 ——建立合理的数学训练系统。要充实具有实践性、应用性、探索性和开 放性的数学习题，使发展性训练与基础性训练协调互补；要增加习题的层次性、多样性和可选择性，使数学训练适应不同学生发展的需要。 ——改善数学学习评价。对学生数学学习的评价，应强调评价的教育发展 功能，肯定进步，鼓励成功，激励信心，帮助师生改进数学的教与学，促进师生能动发展。 5．重视现代信息技术的应用 现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对数学课程和教学产生了重大的影响。基于上海中小学信息化建设已有良好的内部基础和外部环境，数学课程和教学必须大力加强现代信息技术的应用。主要着眼点是： ——调整数学课程内容并加强内容与技术的整合；促进数学课程内容的更 新和体系结构的创新。 ——改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用 能力。 ——改进数学学习方式，推动数字化学习和研究性学习的开展。 （二）设计思路 1．关于学段的划分 数学课程的设计，按照整体性原则，根据学生发展的生理和心理特征，对基础教育阶段十二年的数学课程内容通盘进行设计，把十二年数学学习的时间划分为三个学段： 第一学段，从一年级到五年级,又称小学阶段； 第二学段，从六年级到九年级，又称初中阶段； 第三学段，从十年级到十二年级（即高一年级到高三年级），又称高中阶段。 2．关于课程目标的构建 数学课程目标的构建，分为总目标和学段目标两个层次，建立由“知识与技能”、“过程、能力与方法”、“态度与价值观”三个方面构成的目标体系。 “知识与技能”、“过程、能力与方法”、“态度与价值观”三个方面的目标，是一个密切联系的有机整体；它们分别又有不同的层次，反映学生发展的进程。这三方面目标的达成是相互联系和相互促进的，它们在丰富、多样的数学教学活动中整体实现。 ●表述知识与技能学习目标的行为动词，按不同层次从低到高使用 （A）“知道、认识、说出、列举”和“模仿”等； （B）“理解、懂得、解释、说明、概述、把……转换”和“尝试、测量”等； （C）“掌握、会、能”和“用、检验”等； （D）“熟练掌握、灵活运用”和“设计、总结、评价”等。 ●表述数学活动过程性目标的行为动词，按不同水平从低到高使用 （A）“经历、感受、参与、尝试、考察、分享”等； （B）“体会、体验、接受”等； （C）“探索、领悟、内化、树立、养成、形成”等。 3．关于学习内容的组织 数学学习内容，包括数学知识内容、数学学习过程和情感体验活动等。数学知识内容按学习的主题进行组织，各种活动融合其中；“学会学习”是数学学习的重要任务，应落实在知识内容学习的全过程中。 数学的知识内容，由“数与代数”、“图形与几何”、“数据处理”等三个方面组成整体结构。具体涉及的知识内容，包括：有关的概念、性质、法则、公式、公理、定理，有关的数学基本技能，以及这些内容反映出来的数学思想方法；学习数学和运用数学知识解决问题的经验、策略、方法等。 数学学习的全部内容，由基础型课程部分、拓展型课程部分和研究（探究）型课程部分组成。在本标准中为表述方便，将学习内容划分为“基本内容”、“拓展内容”和“专题研究与实践”。其中，“基础型课程部分”包括“基本内容”和“专题研究与实践”中的部分内容；“拓展型课程部分”即为“拓展内容”；“研究（探究）型课程部分”是“专题研究与实践”中的另一部分内容（用*表示）。各部分知识内容的划分及其教学实施的规定如下： 基本内容 最基本的、必备的数学知识。所有学生都必须修习。 拓展内容 体现知识扩展、综合能力培养或兴趣爱好需求的课程内容；具有教育意义的数学史料、趣味故事等人文性材料。 提供学校自主组织教学和学生选择修习；人文性材料一般提供学生阅读。 专题研究与实践的 内容 注重过程体验的研究课题、实践项目等研究性学习材料或数学活动材料。其中作为基础型课程部分的内容，所有学生都要在教师指导下参加学习，但所采用的学习组织形式和所确定的目标要求因人而异；作为研究（探究）型课程部分的内容，由学生选择学习。 高中阶段的知识内容，划分为数学I、数学II、数学III等三种类型。这三类数学的“基础型课程部分”，在高一、二年级完全相同，在高三年级有所不同； 有关“拓展型课程部分”，数学I不含指定性拓展内容，数学II和数学III在各年级分别含有指定性拓展内容。 数学I、数学II、数学III的“基础型课程部分”的共同内容，是高中毕业数学水平考试的内容；它们在“基础型课程部分”所含的不同内容和在“拓展型课程部分”所含的有差别的指定性拓展内容，适应于向不同方向发展的学生对数学的需要。 4．关于学习水平的层次 数学学习水平，是对学生数学认知的发展、学习方法的积累、情感态度的培育等所达到程度的总体刻画。本标准关于学习水平的划分，主要针对认知水平。 认知水平的划分，设计为A、B、C、D四个层次，这四个层次是累积递进的。考虑到不同学段学生的整体发展水平本身存在差异，所以对同一认知水平层次的要求应有所不同。认知水平各层次的要求如下： 学段 水平 要求 第一学段 第二学段 第三学段 水平A 对所学数学知识有初步的感性认识，能说出它指的是什么并能在有关情境中加以识别。初步学会所涉及的计算、画图等方法。 对所学数学知识有初步的感性认识，能说出相关的基本特征和在有关情境中识别它们。对所学技能会进行模仿性操作。 对所学数学知识有初步的感性认识，能准确说出相关的基本特征和在有关问题情境中识别它们。对所学技能会进行模仿性操作。 水平B 对所学数学知识有初步的理性认识，能够运用语言表述它的含义，会进行简单的应用。对涉及的计算、画图等方法比较熟练。 对所学数学知识有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会在有指导的条件下进行尝试性操作。 对所学数学知识有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。 水平C 能运用所学的数学知识进行分析、判断，并能用来解决简单的实际问题。基本形成有关的技能。 对所学数学知识有实质性的认识并能与已有数学知识建立起联系，有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。 对所学数学知识有实质性的认识并能与已有数学知识建立起联系，掌握其内容、形式的变化，有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。 水平D 能在新的情境中综合应用所学的数学知识，或熟练地解决问题。 能在新的情境中综合地、灵活性地运用所学的数学知识和技能来解决有关问题。 能在新的情境中综合地、灵活地、创造性地运用所学的数学知识和技能来解决有关问题。 具体表述学习内容的认知水平时，所使用的行为动词，与前面在知识技能学习目标中所述相同。 5．关于知识内容的调整 社会的进步和科学技术的发展，对现代公民的数学基本素养提出了新的要求，中小学数学学科的知识内容与要求应有相应的变化。本标准对知识内容进行调整的要点如下： （1）在小学阶段强调通过生活中的数学来发展数与形的概念，同时加强综合数学能力的培养；重视理解的计算而不是程式化的操练，强调手、脑、笔并用和计算方法的多样。 （2）加强估算估测，加强计算机（器）的应用；小学三年级开始介绍计算器，把计算机（器）和其他现代信息技术的应用融入中小学数学学习的各个阶段。增加图表绘制与信息分析，引进有关迭代、逼近等方面的算法，使数学更加贴近生活和贴近数字化社会。删简用纸笔进行繁复的数值计算内容，削减孤立的加、减、乘、除、乘方、开方的繁复演练。 （3）强调通性和通法，突出以通性求通解的代数主题；以方程为线索处理从数到代数式的内容，强化用字母表示数的思想、算法思想；增强方程模型的实际应用。降低用算术方法解应用题的难度，精简关于式的运算、变形、求值的内容，削减单纯解方程（组）的繁复演练。 （4）重视用数表、图象、解析式去描述实际情境中的函数关系和用函数模型去研究、解决实际问题，运用现代信息技术整合函数内容，利用导数研究有关函数的有关性质；在高中代数中加强函数观点的渗透和运用。削减繁杂的求函数定义域、单纯求函数值和用描点法画函数图象的内容，降低用初等方法研究函数性质的要求。 （5）精炼实验几何内容，突出图形运动与变换；加强推理几何与实验几何的有机整合，展现“实验—归纳—猜测—论证”的过程；强调学习并掌握平面几何中最基本的定理，形成简明、平实的推理几何。 （6）在义务教育阶段及早引进数轴和平面直角坐标系，在初中引进向量及其线性运算；重视向量的工具作用和对解析几何的奠基作用，运用向量工具处理平面直线方程的有关问题；在立体几何中采用向量方法研究空间直线与平面的平行、垂直关系，以及解决空间直线与平面的有关度量计算问题。 （7）前移统计、概率学习的起点，加强他们与其他知识之间的联系。全程安排数据处理内容，强调以生活实例为背景，逐步渗透概率与统计思想；改变统计和概率教学的内容单薄、集中安排、死记公式和枯燥无味地套用公式的状况，加强内容的趣味性、生动性、现实性和应用性。 （8）加强数学与实际的联系，重视数学模型及其应用，重视学生对数学建模、求解和解释的全过程的体验；加强数学与文化的整合，渗透人文精神的教育。 增设“专题研究与实践”板块，增强学生的体验性学习和研究性学习活动。 （9）各年级安排有任选性拓展内容，高中阶段另设指定性拓展内容模块；高中数学形成三种类型数学，从而增强学生选择学习的自主性，适应学生发展的多向性。 二、 课程目标 （一）总目标 基础教育阶段的数学学习，着重对全体学生强调：打好基础，学会应用，激发兴趣，启迪思维；同时获得积极的情感体验，形成正确的价值观。 ●获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能以及基本的数学思想方法。 ●具有数学抽象、探索与应用等过程的经历和体验，掌握数学抽象以及探索、应用的基本方法，形成数学能力和一般能力。能从数学的角度和运用数学的思维方式去观察、分析现实生活中的事物，会从中提出问题，会运用所学的知识和技能解决问题。 ●具有对数学与人类社会以及现实生活密切联系的体会，懂得数学的价值，树立学好数学的信心；在具有探索和创造的数学活动中，体验成功的历程，增强创新的意识，发展积极的情感态度和价值观。 （二）阶段目标 小学阶段（一至五年级） 1．态度与价值观 （1）逐步体会数学与日常生活的密切联系，初步了解数学的价值；感受数学思考的条理性、数学结论的明确性，以及数学的美。 （2）在数学学习和数学应用的过程中，提高数学学习兴趣，形成良好学习态度；对日常生活和周围环境中的数学现象具有好奇心，并有探究的欲望；获得成功体验，树立学好数学的信心。 （3）在有关数学内容的学习中，体会实事求是的精神，得到辩证唯物主义观点的启蒙教育；对社会主义两个文明建设的成就以及数学史料有一些了解，受到爱国主义教育和品德教育。 2．知识与技能 （1）知道十进制记数法；认识自然数、小数，了解负数的含义，会读写，会比较大小；理解加与减、乘与除的运算意义；掌握自然数、小数的四则运算方法，熟练掌握基本口算，会进行简单的估算，会用计算器检验笔算结果或进行大数目的四则运算；能在运算中运用运算定律；初步学会正负整数四则运算；知道四则混合运算的顺序，能进行简单的四则混合运算，并能加以应用。 初步感受用字母表示数的必要性，会用字母表示运算定律、计算公式和数量关系；会求简单的含字母式子的值；知道等式的性质，探究并会用等式性质解简单的方程；会列方程解一些简单的实际问题。 （2）在实际情境中认识常见的量，形成常见计量单位的表象，掌握它们的进率；能描述物体的相对位置；认识常见的三角形、四边形和圆，认识长方体、圆柱体和球,理解图形之间联系和区别；理解常见几何形体的周长、面积、体积的含义，探究并掌握它们的计算方法，能正确应用；会使用刻度尺、量角器、 三角板、圆规等工具，画线段、角、垂线、平行线、三角形、长方形和圆；能初步辨认从正面、上面、侧面看到的物体形状。 （3）初步学会收集、整理数据，制作简单的统计图表；能从统计图表中获取统计信息，并做初步的分析；会求平均数；初步感知事件发生的可能性是有大小的。 3．过程、能力与方法 （1）参与知识形成的过程，获得数学活动的经验和情感的体验。 经历从现实背景中抽象出数与量、四则运算与数量关系、常见图形与统计图表的过程，积累数学事实与数学探究活动经验。 经历抽象出数的过程，积累数感；在从实际情境提出计算问题的过程中，积累四则运算的感性认识；通过尝试，探究计算方法。 经历从观察实物到抽象出图形的过程；通过操作活动，认识、掌握图形的特征与计算方法。 经历收集、整理、描述、分析数据的过程；初步学习统计的方法；体验统计在现实生活中的作用。 （2）在获得、应用知识和技能的数学学习过程中，逐渐形成初步的数学基本能力，体会数学知识内容中蕴含的基本数学思想方法。同时，发展一般能力与创新精神，初步形成获取数学知识的能力，养成良好的学习习惯。 在学习四则运算的过程中，提高计算的正确性，培养自觉选择合理算法和估算的意识，逐步发展计算的灵活性；在探究学习课题和解决其他数学问题的过程中，学会通过观察、操作进行比较、分析、综合或类比，能作出初步的抽象、概括，会进行简单的判断、推理，说明判断的依据与推理的过程；形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的概念，建立所学几何图形与实物形状的可逆联想。 能从日常生活与周围环境中提出简单的数学问题，并能进行猜测、探索，通过运算或推理求得答案，加以检验；在应用数学知识的过程中，学会用所学的数与量表示生活情景中的事物；会综合应用所学知识解决现实生活中的简单实际问题；增强应用数学的意识和独立思考的习惯。 敢于提出疑问，愿意对数学问题进行讨论；有合作学习与数学交流的意愿，并能使用所学的数学语言进行表达和交流。 初中阶段（六至九年级） 1．态度与价值观 （1）在数学活动过程中，体会数学的价值和数学美，培养创新的意识。知道数学是人类文化的重要组成部分，数学与人类生活有密切的联系；形成正确的学习动机，激发学习数学的兴趣，树立数学学习的自信心，养成良好的学习习惯，勇于克服困难，在学习中不断进取；激发对现实世界中的数学现象的好奇心，能从数学的角度去思考、发现和提出问题，积极进行探索和研究。知道从社会价值和数学价值的角度，对来自各方面的信息进行分析、选择、判断和应用。通过积极参与数学学习和解决问题的活动，逐步形成主体意识、批判意识、综合意识、评价意识，以及积极探究的态度、独立思考的习惯、实事求是的作风和团结协作的精神。 （2）在数学探索、应用的过程中，逐步形成积极的社会意识、正确的思想观点。认识数学来源于实践又反过来作用于实践，知道数学内容中普遍存在着的运动、变化、相互联系和相互转化的规律，体会辩证唯物主义观点；在有关内容的学习中了解我国国情、社会主义建设成就以及数学史料、数学的美学价值，提高审美情趣，增强爱国主义热情和民族自尊心、自信心，体会社会责任感和使命感。 2．知识与技能 （1）知道由整数到有理数、实数的扩展思想；掌握有理数的运算法则和运算性质，懂得实数的基本运算和顺序关系；能从数量方面及其变化规律的角度去认识事物，形成数感；了解估算的意义并掌握估算的一些基本方法，会通过估算进行猜测或检验。 懂得解代数方程的基本原理，会解简单的代数方程；掌握简单的整式、分式和二次根式的基本运算和变形；知道函数的概念，掌握正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的图象并从中得到它们的一些基本性质。 （2）认识平面和空间的基本图形，理解基本的几何变换；会画简单的平面图形和一些空间图形，掌握简单平面图形的基本性质和有关距离、长度、角度、面积的计算方法；知道向量的概念，掌握向量的线性运算，体会用向量解决简单几何问题的过程；知道空间直线与平面的平行、垂直等位置关系，会计算简单几何体的表面积和体积。 （3）了解概率与统计的意义；会收集、分析数据和从统计图表中获取信息；掌握常用统计图表的画法和基本统计量的计算方法，懂得根据统计结果作出合理判断；掌握简单的等可能事件概率的计算方法。 （4）能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理；得到数学中听、说、写等交流技能的基本训练；会使用计算器进行数值计算和数据处理。 3．过程、能力与方法 （1）具有对于数学知识生成、发展、形成及其应用过程的感受和体验。 经历从具体情境中抽象出数学符号的过程，从整数到有理数、实数的扩展过程，用字母表示数和建立代数式的抽象过程;体验、探索具体问题中的数量关系和变化规律，能用代数式、方程、不等式、函数等进行描述。经历采用观察、画图或计算器等手段估计方程解以及利用等式性质和运算律探求方程解的过程，经历利用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界中一类数量关系和探求未知量的有效的数学模型。 经历从直观几何、实验几何到推理几何的演进过程，体会直观认识与理性思考的联系和区别，体会归纳推理、类比推理与演绎推理的意义和作用；体验、探索具体图形的位置关系和运动规律，能用方向、距离、角度、几何变换等进行刻画；具有“实验—归纳—猜测—论证”的经历，感受数学发现、创造的历程。 经历从数据收集到数据处理的完整过程，具有收集、整理数据并进行初步分析和合理解释的经验；体验、探索实际生活中的统计事例和随机现象，能用统计图表、统计量、概率等进行描述，培养统计与概率的意识。 （2）在形成概念、发现规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中，发展数学能力和一般能力，体会数学学习的基本方法。 逐步形成逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力。知道进行数学证明的重要性，掌握演绎推理的基本规则和方法；能正确而简明地表述推理过程，合理解释推理的正确性。懂得从数学的角度去思考问题，能有条理地、准确地阐述自己的思想和观点。知道算理，能根据问题条件，寻找与设计合理、有效的运算途径，通过运算进行推理和探求；感受、体验文字语言、符号语言和图形语言的转译过程，能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；能够想象几何图形的基本运动和变化；能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能由基本图形的性质导出较复杂图形的性质。 逐步形成数学探究能力、应用能力和创新能力。能通过数学的操作实验或理性活动进行合情推理，提出猜想并进行判断；会利用已有的知识经验，自主进行探索和尝试解决新情境中的数学问题；在实践应用中逐步积累发现、叙述、总结数学规律的经验，知道一些基本的数学模型，初步形成数学建模能力，能解决一些简单的实际问题。 逐步增强研习能力、批判思维能力、自我调控能力、交流与合作能力、运用信息科技能力。能在教师指导下自主进行学习和探究问题；会对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控，对知识进行系统整理；初步养成对已有的知识经验进行反思、质疑的习惯，有发散思维和求异思维的心向，能提出自己的独立见解；初步学会与他人进行交流、沟通和合作；积极尝试运用信息技术手段进行学习和研究，经历并逐步学会使用计算器或计算机进行数据处理和统计分析。 体会数学抽象、探索和应用的基本方法。初步掌握观察、操作、比较、分析、类比、归纳等数学实验研究的方法和利用图表整理数据、获取信息的方法；感受数学对象中隐含着整体性、次序性、和谐性，对数学直觉有初步的体会；具有抓住现实事物的本质、进行数学的抽象与概括的经历和经验；初步领略数学地思考、判断、决策的过程和方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到特殊”、“分解与组合”、“分类与编码”以及“化归”等策略。 高中阶段（高一至高三年级数学III） 1．态度与价值观 （1）在数学活动过程中，理解数学的价值和数学美，增强创新的意识。懂得数学是人类文化的重要组成部分，数学与人类生活有密切的联系；树立正确的学习动机，提高学习数学的兴趣，增强数学学习的自信心和自觉性，积极进取，勇于克服困难；对现实世界中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，主动进行探索、研究和解决；对来自各方面的丰富信息，会从社会价值与数学价值的角度进行分析、判断、选择和应用。通过积极参与数学学习和问题解决的活动，逐步增强主体意识、批判意识、综合意识、评价意识，初步形成积极探究的态度、独立思考的习惯、实事求是的作风和团结协作的精神。 （2）在数学探索、应用的过程中，强化社会意识，提高人文素养和科学素养。懂得数学来源于实践又反过来作用于实践，知道数学内容中普遍存在着的 运动、变化、相互联系和相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；在有关内容的学习中了解我国国情、社会主义建设成就以及数学史料、数学的美学价值，提高审美情趣，进一步提高爱国主义热情和民族自尊心、自信心，增强社会责任感和使命感。 2．知识与技能 （1）知道由自然数到整数、有理数、实数、复数的扩展思想；掌握复数的有关概念和用代数形式表示的复数的基本运算；掌握行列式、数列、数学归纳法的基本知识。 （2）懂得集合的基本知识，理解函数的有关概念；掌握基本初等函数的图象和基本性质，会研究简单函数的性质，能用函数观点处理有关方程、不等式和数列的问题；掌握多项式函数的导数、定积分及其基本应用。 （3）掌握向量代数的初步知识及其运用，会用坐标法对平面直线和圆锥曲线进行研究；掌握参数方程和极坐标的基本知识；会用向量方法处理有关平面图形性质、空间直线与平面关系的一些简单问题；掌握简单空间图形中有关距离、角度的计算方法，掌握简单几何体的基本性质。 （4）会进行数据的收集、整理和统计分析；会解决排列和组合的基本问题；理解总体分布、数学期望的意义，掌握基本统计量的计算方法和通过样本估计总体的方法；理解概率的意义，掌握有关等可能试验、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率的计算方法。 （5）能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理；掌握通过听、说、写进行数学交流的基本技能；会使用简单的函数型计算器。 3．过程、能力与方法 （1）具有对于知识生成、发展、形成及其应用过程的体验和感悟。 经历从实数到复数的扩展过程，向量代数初步知识的形成过程，体会数集扩展的思想，认识向量的运算结构与数的运算结构的统一性；探索实际情境中的变量之间的相互依赖关系，体验函数的建模、求解、应用与解释的全过程；体验、探索具体问题中的数量关系和变化规律，能选用适当的数学模型进行描述，能选择适当的算法去解决问题。 体验、探索空间问题与平面问题之间的联系和转化，具有将平面知识推广到空间和构建空间新知识的经验；体会几何代数化的转折过程，领略解析几何的基本思想。 感受现实世界不确定性的普遍性及其研究方法，形成统计意识与概率意识；具有探索、研究实际生活中的统计事例和随机现象的经历，体验用统计与概率知识解决简单实际问题的完整过程。 （2）在形成概念、发现规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中，发展数学能力和一般能力，学会学习数学的基本方法。 逐步增强逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力。能从数学的角度有条理地思考问题；能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转换，能正确而简明地表述推理过程，合理地、符合逻辑地解释推理的正确性；理解算理，能够根据问题条件，寻找与设计合 理、简捷的运算途径，通过运算进行推理和探求；能够想象几何图形的运动和变化，会选择适当的方法对图形的性质进行研究。 逐步增强探究能力、应用能力和创新能力。能通过数学的操作实验或理性实验进行合情推理，大胆猜想，严格求证；会利用已有的知识经验，自主进行探索和尝试解决新情境中的数学问题；有较强的数学应用意识，熟悉基本的数学模型，对来自生活实际和其他学科的简单的数学问题，能综合地、灵活地运用有关知识和方法，进行数学建模、求解和解释。 逐步提高研习能力、批判思维能力、自我调控能力、交流与合作能力、运用信息科技能力。初步学会自主进行学习，独立探究问题；能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控，对知识进行系统整理；会对已有的知识经验进行反思、质疑，有发散思维的习惯和求异思维的心向，敢于提出自己的独立见解；能与他人进行交流、沟通和合作；能运用信息技术手段进行学习和研究，会使用计算器进行数据处理和统计分析，掌握计算机在数学中的一些应用。 逐步学会数学抽象、探索和应用的基本方法。掌握观察、操作、比较、分析、类比、归纳等数学实验研究的方法和利用图表整理数据、获取信息的方法；体会数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性，对数学直觉有一定的体会；具有抓住现实事物的本质、进行数学的抽象与概括的经历和经验，形成一定的能力；领略数学地思考、判断、决策的过程和方法；掌握“从特殊到一般”、“从一般到特殊”、“分解与组合”、“分类与编码”以及“化归”等策略。 说明 数学I和数学II的目标，基本参照数学III的目标，主要差别是： 数学I的目标中，对二项展开式、定积分、参数方程和极坐标、用向量方法处理有关平面图形性质和空间直线与平面关系问题，以及互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率和随机变量的分布等不作要求；增加数学与自然、艺术、体育等相联系的有关知识内容，加深对数学文化的了解，提高数学美的鉴赏力；对涉及数学符号变换的能力要求降低。 数学II的目标中，对二项展开式、参数方程和极坐标、用向量方法处理有关平面图形性质和空间直线与平面关系问题，以及互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率和随机变量的分布等不作要求，增加一些实用数学知识；对涉及数学符号变换的能力要求适当降低，同时要求形成运用实用数学知识解决简单实际问题的能力。 三、 课程设置 （1） 阶段设置 1．在基础教育阶段的十二年中，各学段每个年级都设置数学课程，学校按课程组织学生进行数学课程的学习。 2．各年级数学的基础型课程部分，是要求所有学生都必须学习的内容。基础型课程部分的教学课时数，按照《上海市普通中小学课程方案》的有关规定确定。 3．数学的拓展型课程部分是《上海市普通中小学课程方案》中的拓展 型课程的组成部分，教学课时数由学校依据该方案对拓展型课程的要求进行安排。 （二）课时安排 1．数学内容教学的课时安排，建议周课时数参考下表。每课时的长度，在第一学段为35分钟，第二、三学段为40分钟。除高三年级外，各年级的学年总课时数按照每学年教学时间为34周计算；高三年级按照学年教学时间为26周计算。 学 段 第 一 学 段 第 二 学 段 第 三 学 段 年 级 一 二 三 四 五 六 七 八 九 高一 高二 高三 基础型课程部分教学 周课 时数 3 3 4 5 5 4 4 4 4 3 3 3 学年总 课时数 102 102 136 170 170 136 136 136 104 102 102 78 2．各年级数学教学课时，包括单元复习和期末复习的时间。 3．高中的指定性拓展内容教学总课时，三年累计不超过170课时。 4．在保持各学段课时总量不变的前提下，学校可根据总方案对各年级数学教学的课时数进行调整。 四、学习内容与要求 （一）一至五年级 小学阶段的学习内容，“数与代数”中含数与计算，代数初步；“图形与几何” 主要是常见图形的认识及有关计算；“数据处理”主要是统计和对事件发生可能性的初步认识；“专题研究与实践”包括数学实践活动与探究课题。 一、二年级 数与代数 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．数与计算 基 本 内 容 学习准备 Ａ 1． 了解学生学习基础。 2． 初步学习观察、比较、分类等方法。 100 以 内 数 的 认 识 与 加 减 法 数数 C 1． 用实物或图片数出100以内物体的个数。 ２．在学生已有认识的基础上逐步类推100以内数的组成。（说明1） 3． 认识符号“＜”“＞”和“=”，用符号表示比较的结果。 4． 借助教具、学具进行计数活动，认识计数单位—、十、百，知道个位、十位、百位的含义。 ５．用“第几个”表示生活中某些事物的顺序和位置，区分几个和第几个。 ６．结合实例知道把两个数合并起来用加法，从一个数中去掉一部分用减法，知道加减法各部分名称。 ７．通过操作活动，探索加、减法口算、笔算的方法，并正确计算。 ８．熟练口算20以内加减法，比较熟练口算两位数加、减整十数或一位数。 9． 知道混合运算顺序，认识圆括号，运用递等式计算百以内两步式题。 10．借助实例感知千、万的实际数量，知道千位、万位。 11．知道万以内数的顺序，读写万以内的数。掌握比较万以内数的大小的方法。 12．比较熟练口算百以内两位数加减两位数（不进位、不退位），正确进行以三、四位数为主的加减法笔算。 13．从实例中概括加减法的意义和关系，进行加减法的验算。 14．从实例中让学生自己尝试，概括加法的运算定律，知道加法运算定律的一些应用。（说明２） 读法和写法 C 1、 数的组成 C 大小比较 C 数位和计数单位 C 几个和第几个 Ｂ 加减法含义 B 口算 20以内加减法 Ｃ 两位数加减整十数、一位数 Ｃ 笔 算 Ｃ 连加、连减、加减两步式题 Ｃ 万 以 内 数 的 认 识 与 加 减法 读数、写数 Ｂ 数位与计数单位 B 大小比较 C 口算 Ｂ 笔算 Ｂ 加减法意义和关系 Ｂ 加法运算定律 Ｃ 基 本 内 容 表 内 乘 除 法 乘除法含义 B 15．通过操作活动，从连加引出乘法的含义，知道求相同加数的和可用乘法计算（3个4连加，可以写成4×3，也可以写成3×4）。知道乘法算式中因数和积的名称。 16．懂得乘法口诀是怎样得出的，类推得出6～9的乘法口诀，熟练口算表内乘法。 17．在动手分东西的活动中，知道平均分用除法计算（不区分等分和包含），知道除法算式各部分名称，用乘法口诀求商。 18．通过实际操作理解余数的含义，口算、笔算除数和商都是一位数的有余数的除法。（说明3） 19．在乘除法计算中渗透积、商变化的函数思想。 20.认识人民币，知道人民币的单位元、角、分以及它们的进率。 21．认识钟面，联系实例建立时、分、秒的实际时间观念，知道它们之间的进率，看、记钟面上的时刻；用24时记时法表示时刻。 22. 进行爱惜人民币和珍惜时间的教育。 23．看图口述图意，选择算法，注意培养口头表达能力。 24. 口述实际问题的题意，根据四则运算的含义列式解答用文字叙述的一步计算实际问题（单位名称写在答句中，算式中不写单位名称），结合生活实际口头提出一些简单的应用问题。（说明4） 25．知道数源于数，结合数的大小比较渗透对应思想（说明5），结合加、减法认识，渗透集合思想（说明6），结合加、减法计算，渗透和、差变化的函数思想（说明7）。 26．从一年级起注意培养学生利用学具探究算法的能力和口头表达能力。培养簿本整洁、书写工整、认真计算的良好习惯。 27．从二年级起注意培养学生自觉验算的习惯，初步养成认真踏实的学习态度。 表内乘法 Ｃ 表内除法 Ｃ 有余数除法 Ｃ 人民币的认识 Ｂ 时、分、秒的认识 Ｂ 应 用 以情景图表达题意的加、减、乘一步计算的儿童生活问题 Ｃ 以文字叙述题意为主的加、减、乘、除一步计算的儿童生活问题 Ｃ 认识商品标价 Ａ 人民币的兑换 Ｂ 拓 展内容 式的相等与不等 将数的大小比较推广到算式。（说明8） 数列与图形的排列规律 通过观察，寻找规律。（说明9） 三阶幻方的探究 通过尝试、调整寻找答案。（说明10） 常见的周期现象与问题 用有余数除法解决常见周期现象中的简单问题。（说明11） 说 明 1． 如13是由1个十和3个一组成的，类推出5个十和6个一组成56。 ２．如：用加法运算定律说明口算方法 23+36 或23+36 =23+（30+6） =（20+3）+（30+6） =（23+30）+6 =（20+30）+（3+6） =53+6 = 50+9 =59 = 59 3. 如用15根小棒可以摆出多少个单独的正方形？还余下多少根小棒。 4. 如：根据课间操场上同学们活动的情况，或参观游览的情况，提出一步计算的应用题。 5． 如 ▲　▲　▲ 6．如 ↑ ↑ ↑ ●　●　●　● 7． 如 +2 = 8． 在○内填“＞”，“＜”或“=”，并说说比较的方法，如：5+6○5+7 9． 在（ ）内填上合适的数字，并说明理由，如：1、4、7、10、（ ）、（ ）、…… 10．如：填入1—9，使横行、竖行、两条斜行上三个数的和相等。 11. 如：看图想一想，接下去两个图形是什么？第21个图形是什么？ ★○●★★○●★★○●★…… 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 ２．代数初步 基本 内容 用（ ）、□等形式表示未知数 Ｂ 1. 在（ ）、□中填写要求的数。（说明1） 2. 初步接触字母表示数，用字母或其他符号表示加法运算定律。（说明2） 用字母表示运算定律 Ｂ 说明 1. 在（　）中填上适当的数，如：3 +（ ）= 7 2. 如：13+8=8+13；★+▲=▲+★；a+b=b+a 图形与几何 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 基 本 内 容 图形的初步认识 Ａ 1． 通过观察、操作初步认识长方体、正方体、圆柱体和球，初步认识长方形、正方形、三角形和圆。 2． 学习对图形进行初步的分类，并说出分类的标准。 3． 联系实际，认识米尺，通过测量常见物体等活动建立1米（m）、1分米（dm）和1厘米（cm）的实际长度观念，认识毫米（mm）、千米（km），知道它们之间的进率。初步感知量源于量。（说明1） 4． 根据实际需要，选用适当的长度单位。用米和厘米作单位测量物体的长度。不足整厘米，用接近整厘米数表示测量的结果。 5． 从前后、上下、左右确定物体的相对位置。用几排几座、几楼几室等方式描述物体的位置，渗透坐标思想。 6. 认识射线，知道角的各部分名称。 7. 知道线段是直线的一部分；用刻度尺量线段的长和画线段（限整厘米）。 8． 通过观察、折纸及其他操作活动知道长方形对边相等，正方形四边相等，知道长方形、正方形的四个角都是直角。 9． 测量物体的长度，目测或灵活运用不同器具，估计线段或物体的长度大约几厘米或几米。 长度单位的认识 Ａ 位置 Ａ 直 线 与 曲 线 直线与曲线的初步认识 Ａ 线段的认识 Ａ 线段的度量 Ｂ 射线与角 Ｂ 长方形与正方形 Ｂ 应 用 量物体的长度 Ｂ 线段的估测 Ｃ 拓展内容 实物图形的观察 学习从不同角度观察实物图形。 拼图与创意 用七巧板或其它学具进行拼图，通过拼图欣赏图形，激发认识图形的兴趣。（说明2） 说明 1. 可以选用适当物体长作为标准去度量其他物体的长度，如用粉笔、铅笔去度量课桌的长，在交流讨论中体会统一长度单位的必要性。 2. 如可以拼出体育运动、机器人等图案，培养学生的想象力和创造力。 数据处理 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 基本内容 统计图 Ｂ 1. 对事物进行分类并按一定顺序排列，认识形象化的统计图（说明1）。说出图中的数量。 2. 说出单式条形统计图的统计内容和数量。 3．初步学习收集数据，经历分类计数的过程。（说明2） 应用 分类计数生活中的事物 Ｂ 说明 1. 如： 字典 小说 画册 2. 如：数出三角形、四边形、五边形和圆的个数，用颜色在右边的表格中表示出来。 8 7 6 5 4 3 2 1 0 三角形 四边形 五边形 圆 专题研究与实践 内容主题 具体要求及活动建议 参考内容 数的起源与所学数学符号的来历；九九表的来历 引导学生收集资料，了解数的起源与所学数学符号的来历，了解九九表的来历，感受人类的聪明才智。 数数与图形识别、统计、计算结合或与物体长度测量等结合 结合校园生活、日常生活，在计数、测量等活动中综合运用所学知识。（说明1） *人民币与时间单位在日常生活中的应用 通过日常生活中的实际问题，学习怎样合理安排时间、合理用钱。（说明2） 说明 1. 如以校园、动物园的情景为载体，提出问题，让学生独立观察，寻求答案，或自己提出问题，相互交流。 2. 如以“小鬼当家”为题，尝试根据需要与现有的钱，合理购物，以及合理安排做家务的程序，节省时间。 在“专题研究与实践”中，带“*”的内容含在探究型课程部分；不带“*”的内容含在基础型课程部分。以下同。 三、四、五年级 数与代数 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 １．数与计算 基　　 本 内 容 基　　 本 内 容 自 然 数 十进制记数法 Ｂ １．认识自然数。了解进位制的形成与发展，知道十进制记数法。 ２．认识十万、百万、千万、亿和十亿等计数单位及相应的数位，整理成数位顺序表；根据数级读写多位数（写数一般不超过万级）。 ３．知道近似数的含义，根据实际需要把一个数用四舍五入法省略尾数，写出它的近似数。 4．体会数的发展源于生活、生产实际的需要。 5．借助实物、图形，直观认识几分之一、几分之几；知道分数各部分名称；初步认识分数单位，比较同分母分数的大小。 6．能计算分母在20以内的同分母分数加减法。 7．结合商品标价，直观认识一位小数（十分之几）、两位小数（百分之几）、三位小数（千分之几）；知道分数与小数的联系。 8．通过观察比较，知道小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，并会运用。 9．利用已有知识进行探索，比较小数加减法与自然数加减法相同点。较熟练口算有效数字是两位的小数加减法，正确笔算小数加减法。 10.通过实例验证，知道自然数加法的运算定律同样适用于小数，并会运用。 11.在利用图形研究分数、小数的过程中渗透数形结合思想。（说明1） 12.结合实例，渗透乘法分配律，理解一位数乘除三、四位数的计算方法，并能笔算。 13．比较熟练地口算积在百以内的两位数乘以一位数及相应的除法。 14. 结合实例学习笔算乘、除法，笔算两位数乘两、三位数为主的乘法，两位数除三、四位数为主的除法；口算两位数乘整十数、两位数除两、三位数商是一位数的乘除法。 15. 联系生活、生产实际学习加、减、乘、除法的估算。学习运用估算解决一些实际问题，初步养成估算习惯。 16．从实例中概括乘除法的意义和关系，进行乘除法的验算，养成认真负责的态度。 17．从实例中归纳乘法的运算定律和商不变性质，知道他们的一些应用，注意培养灵活选择合理算法的能力。 18．知道整除、约数、倍数以及公约数与最大公约数、公倍数与最小公倍数的含义。 19．通过尝试、探究，得出能被2、5、3整除的数的特征，并用以判断。根据能否被2整除知道自然数可以分成奇数与偶数。 计数单位与数位 Ａ 多位数读写 Ｂ 四舍五入求近似数 Ｃ 加减法估算 Ｃ 分 数 的 初 步 认 识 几分之一与几分之几 Ａ 分数的读写 Ａ 同分母分数大小比较 Ｂ 同分母分数加减法 Ｂ 小 数 的 认 识 小数的认识 Ａ 小数的读写 Ａ 小数基本性质 Ｂ 小数大小比较 Ｂ 小数加减法 笔算 Ｂ 口算 Ｃ 加减运算定律运用于小数加减法 Ｄ 自然数乘除法 乘法笔算 Ｂ 乘法口算 Ｂ 乘法估算 Ｃ 乘法运算定律 Ｃ 除法笔算 Ｂ 除法口算 Ｂ 乘除法意义和关系 Ｂ 基 本 内 容 商不变性质 Ｃ 20．通过一组数据的观察分析学习用口算的方法求两个数的最大公约数与最小公倍数。如求两个数的最大公约数，可以看较小数的约数是不是另一个数的约数；求两个数的最小公倍数，可以看较大数的倍数是不是另一个数的倍数；当两个数的公约数只有1时，这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。 21．利用实例观察总结小数点移动位引起的小数大小变化的规律，利用因数与积的变化的规律探索小数乘法的计算方法。验证乘法运算定律同样适合小数乘法，并能运用。 22. 利用商不变性质，探索小数除法的计算方法。 23. 在除法计算中认识循环小数。 24. 认识圆括号、方括号，整理、总结带有方、圆括号的混合运算顺序，计算以三步为主的混合运算式题。 25.从生活实例中认识负数，（说明2）知道正负数的实际含义，用正负数表示简单实际问题中具有相反意义的量（本学段正负数的学习限于整数）。 26．认识数轴，借助数轴比较正负数的大小。 27．联系日常生活实际，借助数轴初步认识相反数、绝对值的含义。 28．通过操作学具或结合实例探索正负数加、减法的计算方法，（说明3）知道较小数可以减较大数；初步学习正负数乘、除法的计算方法。 29．通过称物、掂量等体验活动，建立1克（g）、1千克（kg）的实际重量观念，了解一吨的实际重量，知道它们之间的进率。 30．联系生活经验，知道世纪、年、月、日及其进率，能判断大月、小月与闰年、平年。 31. 结合学生生活实际提出问题，初步学习分析方法，用自己语言口述数量关系，列式解答两步计算为主的儿童生活问题。（说明4） 32. 用分析、综合等方法，分析实际问题中常见的数量关系，明确解题思路，选择不同解题方法，列式解答两、三步计算的实际问题，对答案进行估计和检验。（说明5） 33．通过实际问题的解答渗透成正、反比例的函数关系。（说明6） 34. 选择适当的重量单位估计物体的重量 35．学习使用计算器进行验算、统计。 数 的 整 除 整除,约数与倍数 B 能被2、5、3整除的数的特征 C 奇数与偶数 B 公约数与最大公约数 C 公倍数与最小公倍数 C 小 数 乘 除 法 小数点移位引起小数大小变化的规律 Ｃ 小数乘法 Ｂ 积的近似值 Ｃ 计算器的使用 Ｂ 笔算 Ｂ 商的近似值 Ｃ 循环小数 Ａ 除法估算 Ｃ 混合运算 Ｃ 正 、 负数初步认识 正负数认识 Ｂ 正负数读写 Ｂ 数轴与数的大小 Ａ 相反数与绝对值 Ａ 简单正、负数四则运算 Ａ 质量（重量）单位的认识 Ａ 年、月、日 C 应用 以两步计算为主的儿童生活问题 Ｄ 以三步计算为主的简单实际问题 Ｄ 用正负数表示具有相反意义的量 C 物体重量的估计 Ｂ 拓 展 内 容 二进制简介 介绍二进制的实际需要。 尾数常用处理方法 通过实例了解进一法和去尾法，知道根据实际情况，选用适当的方法。（说明7） 计算工具的发展 介绍计算工具的发展，激发学习热情。 减法性质a-b-c=a-（b+c）的运用 利用有关实际问题的两种算法，让学生自己尝试，概括规律。 除法运算性质a÷b÷c= a÷（b×c）的运用 利用有关实际问题的两种算法，概括规律。 几月几日是星期几的计算 学习根据已知信息，推算某月某日是星期几。 探索性问题 让学生采用尝试、调整、比较等方法自己寻找答案。（说明8） 用假设法、倒推法、代换法等解实际问题 通过实际问题，利用生活经验或直观手段了解用假设、倒推、代换等方法解决问题的思想方法。（说明9） 质数与合数 分解质因数 介绍质数、合数与分解质因数，知道利用分解质因数和短除法可以求两、三个数的最大公约数与最小公倍数。 说 明 １．用图形、线段的等分引出分数、小数；利用图形比较分数、小数的大小等。 ２．如收入1000元，记作+1000元；支出500元，记作－500元。 ３．上海冬天某日的最高温度是8°C，最低温度是零下2°C，用正负数表示这天的最高温度和最低温度，并求出温差。 4. 同学们布置会场，需要搬20张课桌，2个人抬1张课桌，8个人要抬几次。 5. 如：月饼每盒80元，饼干每包4元，蛋糕每块5元。 根据条件填表，讲讲数量之间的关系。 6． 如：（1）6人3次运砖36块，照这样计算,6人8次可运砖多少块？ （2）从甲地到乙地每小时行50km,需要6小时,每小时行75km,需要几小时? 7． 一根长11米的钢管，现在需要每段长3米的钢管，可以截成几段这样的钢管？ 8. 三人的平均年龄是12岁，三人中没有小于9岁的，那么最大的年龄可能是几岁？ 9. 有26人用10张乒乓球台同时进行比赛,有多少人在单打?多少人双打? 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．代数初步 基 本 内 容 用字母表示面积计算公式 C 1．用字母表示所学面积计算公式。 2．用字母表示乘法运算定律。 3．用x表示未知数，根据运算关系求加、减、乘、除一步计算算式中的未知数。 4．用含有字母的式子表示数量或数量关系，化简含有字母的式子并求值。 5. 用字母表示长方体、正方体体积计算公式。 6. 认识等式、方程，根据方程的解的含义检验方程的解。 7．利用天平进行实验，得出等式的性质，根据等式性质解a（x＋b）=cx等形式的方程。 8．在理解题意的基础上寻找等量关系，列方程解两、三步计算的简单实际问题。 9．初步体会利用等量关系解决问题的优越性，从不同角度探究解题的思路。 求加、减、乘、除法算式中的未知数x C 含字母的式子与代入求值 Ｂ 用字母表示体积计算公式 C 方程的初步认识 Ｂ 等式的性质 C 解方程 C 应用 列方程解简单的实际问题 Ｄ 拓 展 内 容 等量代换 利用天平等直观手段渗透等量代换的思想方法。（说明1） 列方程解较复杂的实际问题 灵活运用所学知识，列出不同的方程。（说明2） 比赛中的数学 介绍淘汰赛、单循环赛、双循环赛制，探索计算比赛总场数的方法并用字母表示，渗透数学建模思想。 说 明 1. 如： 2. 一辆汽车从甲地开往乙地，原来每小时行60千米，4小时到达。实际每小时比原来多行20千米，可以提前几小时到达？ 解法一：设提前x小时到达， 60×4=（60+20）（4－x），X=1 解法二：设实际x小时到达，60×4=（60+20）x ，X=3，4－3=1 图形与几何 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 基 本 内 容 基 本 内 容 圆的 初步 认识 圆的认识 Ｂ １．通过操作活动，认识圆的圆心、半径、直径，用圆规画圆。 ２．知道角的大小与度量单位，知道直角、锐角、钝角、平角、周角。 ３．用量角器量、画指定度数的角。 4． 用直尺和三角板画垂线和平行线、长方形和正方形。 5． 学习用直尺和量角器根据两边夹角或两角夹边画三角形。 6．通过测量操作活动认识平行四边形，了解平行四边形对边平行且相等，对角相等。 7．通过多种操作活动了解菱形四边相等，对角相等。 8. 识别轴对称图形，找出常见轴对称图形的对称轴，感受图形的对称美。 9．利用对称性了解等腰三角形两底角相等，等边三角形三角相等。 10. 理解周长的含义，计算三角形、长方形、正方形的周长，解决有关周长的实际问题。 11．通过观察比较等活动知道面积的含义，建立1平方厘米（cm2）、1平方分米（dm2）、1平方米（m2）的实际面积观念。 12. 认识面积单位1平方千米（km2），知道所学面积单位之间的进率。 13. 根据实际需要，选用适当的面积单位。 14. 从数长方形所含面积单位个数，到计算长方形面积，得出长方形面积计算公式。 15. 通过平移、割补等方法得出平行四边形面积计算公式，渗透运动的观点。 16．通过观察实例，初步认识图形的平移变换。 17．探索运用割补、旋转等方法，推导三角形、梯形面积计算公式，通过公式变形求有关数据。 18. 通过观察实例，初步认识图形的旋转变换。 19. 通过观察、比较等活动知道体积的含义，建立1立方厘米（cm3）、1立方分米（dm3）、1立方米（m3）的实际体积观念，知道它们之间的进率。 20．认识升（l）、毫升（ml）和它们之间的进率，知道升与立方分米、毫升与立方厘米之间的关系。 21. 能根据实际需要选用适当的体积单位。通过测量操作活动，加深对体积的认识。 22．通过对物体、模型的观察、制作等活动，认 识长方体的面、棱、顶点的特点。 用圆规画圆 Ｂ 角、 垂线 与平 行线 角的度量 Ｂ 画角 Ｂ 常见的角 B 垂直与平行 Ｂ 画垂线与平行线 Ｂ 画长方形正方形 Ｂ 三角形和平行四边形 画三角形 Ｂ 平行四边形的认识 Ｂ 菱形的认识 B 梯形的认识 Ｂ 对称图形 轴对称图形 Ｂ 等腰三角形和等边三角形 Ｂ 图形的周长 周长的含义 Ｂ 周长的计算 Ｃ 面积单位的认识 Ｂ 长方形、正方形面积 Ｃ 平行四边形、三角 形、 梯形面积 平行四边形面积 C 图形的平移 Ａ 三角形面积 C 梯形的面积 Ｂ 图形的旋转 Ａ 基 本 内 容 体积（容积）单位的认识 Ｂ 23．从数长方体所含体积单位个数，到计算长方体体积，得出长方体体积计算公式。 24．通过对物体、模型的观察，初步认识（直）棱柱和（直）棱锥，知道棱柱和棱锥的侧面、侧棱和顶点。 25．介绍步测、目测的方法，对长度进行估计。 26． 解决有关长方形、正方形周长与面积计算的简单实际问题。 27．通过实际操作活动知道三角形的稳定性、平行四边形的不稳定性，了解其在实际生活中的应用。 28．学习运用估测的方法估计面积的大小。 29. 解决有关三角形、梯形面积、长方体、正方体表面积与体积计算的简单实际问题；根据几何形体的名称及有关数据，想象物体的形状、大小。 长方体、正方体表面积和体积 长方体、正方体的认识 Ｂ 表面积 C 体积 C 棱柱和 棱锥 棱柱和棱锥的初步认识 Ａ 应 用 长度的估测（步测、目测等） Ｃ 周长与面积计算的简单应用 Ｄ 三角形、平行四边形的特性及其应用 Ｃ 面积的估测 Ｃ 使用量具和容器测定体积 Ｃ 面积、表面积和体积的简单应用 Ｄ 体积的估测 Ｃ 拓 展 内 容 长方形周长与面积的最大值与最小值 探索周长（面积）相等的长方形，何时面积（周长）最大（小）。（说明1） 已知三边画三角形 学习用直尺和圆规画三角形。 平面组合图形的面积 运用适当的分割、拼补等方法搞清图形的组合关系，并寻找必要的条件进行计算。 视图初步认识 尝试识别从不同方向看到的物体形状。（说明2） 平面图的认识 从学校、教室的平面图入手，学习看简单平面图。 物体的体积与重量 通过动手实验，计算出常见物体单位体积的重量，探索测出体积求重量或测出重量求体积的方法，渗透数学建模思想。 棱柱和棱锥的制作 尝试用纸质材料制作棱柱和棱锥。 说明 1. 长方形周长一定，当长和宽相等时面积最大；长方形面积一定，当长和宽相等时，周长最小。 2. 如：从上面、正面、侧面看到的汽车形状。 数据处理 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 基本内容 统 计 表 数据的收集与整理 Ｂ １．学习收集数据，用划“正”字等方法进行记录。 ２．填写单式统计表。 ３．根据需要通过多种渠道，收集有用的数据，对所获数据进行分类整理。 4． 填写复式统计表。 5． 说出条形统计图的统计内容，看图比较量的多少。 6． 说出折线统计图的统计内容及数量的增减变化情况。 7． 在方格纸上画复式条形统计图，注意匀称、整齐、美观。收集整理周围生活和生产中有统计意义的数据，在复式条形统计图中表示出来，并进行简单的统计分析。 8． 收集整理周围生活和生产中有统计意义的数据，学习选用适当的统计图表示数据和分析、解释数据，并作出判断。 9. 通过丰富的事例了解平均数的意义，解答简单的平均数实际问题。 10．会估计平均数，学习使用计算器求平均数。 11．联系实例初步认识众数的统计含义。 12．初步认识不确定现象，体会不确定现象发生的可能性有大小。（说明1） 13．能看懂常用的票据。 单式统计表 Ｂ 1、 复式统计表 Ｂ 11、 统 计 图 单式折线统计图 Ｂ 复式条形统计图 Ｃ 简单的复式折线统计图 Ｃ 平均数 C 众数的初步认识 Ａ 可能性的大小 Ａ 应 用 平均数的简单应用 Ｃ 用计算器求平均数 Ｄ 收集整理周围生活中有统计意义的数据 Ｄ 常用的票据 Ｂ 拓展内容 枚举事情的各种情况或结果 通过游戏列出简单事件所有可能发生的结果，渗透排列的感性认识。（说明2） 初步的调查统计 调查儿童生活、家庭生活中的某些问题，收集数据，制成统计图表。 初步的调查统计 调查儿童生活、家庭生活中的某些问题，收集数据，制成统计图表。 说 明 1. 下面是四个小朋友玩投篮球游戏的情况统计，每人投7次篮球，用“√”表示投中，用“○”表示没有投中。在表中填入各人投中的总计数，并说说再投一次，谁投中的可能性最大、最小。 刚刚 兰兰 亮亮 方方 第一次 √ ○ ○ √ 第二次 ○ √ ○ √ 第三次 ○ √ √ ○ 第四次 √ √ ○ ○ 第五次 √ ○ √ ○ 第六次 ○ ○ √ √ 第七次 √ ○ √ ○ 总计 2. 如：两个小朋友玩“石头、剪子、布”的游戏，枚举出各种可能出现的情况。 专题研究与实践 内容主题 具体要求及活动建议 参考内容 年、月、日的规定； “筹算”与“珠算” 引导学生收集有关资料，通过交流，了解年、月、日规定的由来、演变，以及世界各地四季、昼夜变化的一些奇特现象；了解“筹算”与“珠算”的大致原理，知道计算工具的发展，提高学习数学的兴趣。 物体的重量或周长、面积的估计、测量与计算 综合运用重量、长度、面积单位的知识和周长、面积的计算方法，解决日常生活中的一些实际问题（说明1）。 *平面图形的镶嵌 综合运用平面图形的知识，通过拼摆，发现规律，并感受数学的美感。（说明2） *“九章算术”中的趣题 介绍“九章算术”的有关史料，探究其中的某些趣题，激发学生的民族自豪感和学习数学的兴趣。 *事物发生可能性的实验 感知某些事物发生的可能性是有规律的，尝试通过大量的实验，接近或发现规律。（说明3） 说明 1. 如：给方桌做台布并缝上花边，给方桌配玻璃的有关计算。 2. 如用同样规格的三角形、正方形、长方形木板拼地板。 3. 如：抛硬币、扔骰子等的实验。 （二）六至九年级 初中阶段的学习内容，“数与代数”中含有理数及实数，方程和不等式，代数式和函数；“图形与几何”中含平面上和空间的直观几何，平面上的实验几何与推理几何；“数据处理”主要是关于数据的收集、整理，有关图表的绘制和信息分析，基本统计量，随机事件与等可能事件的概率；“专题研究与实践”中有实践活动和研究课题。 六、七 年 级 数与代数 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．有 理 数 基 本 内 容 分数及其运算 Ｃ 1. 在小学认识分数的基础上，通过生活实例发展分数概念。知道正分数是表示两个正整数相除所得商的一类数，着重在除法（或比）的意义上理解 是正整数）的分数表示形式；建立分数与小数之间的联系；掌握异分母分数的加减运算以及分数的乘除运算，初步体会转化思想。（说明1） 2. 理解比和百分比的有关概念,了解经济生活中的一些基本常识；会解决有关比和百分比的简单问题,拓展分数的应用，加强数学与现实生活的联系。（说明2） 3. 理解比例的概念和基本性质，会解简单的比例问题。（说明3） 4. 理解有理数的概念，理解有理数与数轴上的点之间的对应关系；经历探究有理数的加、减、乘、除、 乘方运算法则的过程，并归纳有关运算性质；能灵活运用这些法则和性质进行计算；初步形成系统化意识，体会数形结合思想。（说明4） 5. 利用纸笔进行的数值运算时，不出现繁难复杂的问题，突出有理数的运算性质，明确运算顺序。 6. 通过有关估算的例题和训练，学习估算。懂得估算的方法并会用于对结果进行猜测或检验。 7. 引入“可能性”问题，体会朴素的概率思想。（说明5） 8. 建立有理数的顺序关系,掌握比较有理数大小的方法. 比和比例 Ｃ 有理数及其运算 Ｄ 数轴，有理数与数轴上的点 之间的对应关系 Ｂ 有理数的大小比较 Ｃ 拓展内容 *奇妙的数字 注重趣味性，具有探究规律的意义。（说明6） 说 明 1. 淡化带分数，不要求将分数运算的结果化为带分数。 2. 出现如合格率、增长率、利息、税率等术语，结合题目渗透思想品德教育。 3. 对合分比定理和等比定理不作要求。 4. 有理数的运算性质包括：加法、乘法运算的交换律和结合律，乘法对加法的分配律，加与减、乘与除的互逆性，数0和1的特性等。 5. 选取简单的等可能事件的实例或设计具有公平性规则的游戏，反映等可能事件的含义，并用数量来描述事件发生的可能性大小，再学习对简单事件发生的可能性作出预测。如掷骰子，打靶，转盘摇奖，球赛等。 6. 带 * 的拓展内容可作为课外阅读材料或纳入探究（研究）型课程，下同(至九年级)。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．一次方程和 一次不等式 基 本 内 容 一元一次方程及其解法 Ｄ 1. 经历运用等式的性质和有理数的运算律来探索一元一次方程解法的过程，体会由通性求通解的代数思想和探究学习的策略。熟练掌握一元一次方程的解法。 2. 理解二元一次方程和它的解以及一次方程组的概念，掌握“消元法”；会解简单的二元、三元一次方程组；体验化归思想。（说明） 3. 用举例分析的方法指出字母“代”数的意义，经历将实际应用问题抽象为代数方程问题的过程，知道用代数方法解应用题的基本途径；形成对方程模式的初步认识，会通过列一次方程（组）解简单的应用题。 4. 理解一元一次不等式（组）及其解的有关概念，熟练掌握一元一次不等式的解法，并会把解集在数轴上表示出来；会解简单的一元一次不等式组。通过不等式与方程的类比，发展类比思维能力。 5. 不出现涉及繁难计算的解方程（组）、不等式（组）的问题，突出基本步骤及基本原理，注重实际问题中数量关系的分析和数学表示的训练。 二元一次方程组及其解法 Ｄ 三元一次方程组 Ｃ 列一次方程（组）解应用题 Ｃ 一元一次不等式及其解法 Ｄ 一元一次不等式组的解法 Ｃ 拓 展 内 容 二元一次方程的图形 建立二元一次方程的解与坐标平面上的点的联系，会用描点法描绘方程的图形；发展数形结合思想。 二元一次方程组的图解法 通过探索二元一次方程组两个方程的图形的位置关系和特征，形成对图解法的初步认识。 说 明 简单的二元、三元一次方程组中的方程一般为整系数方程，解方程组的过程不繁难但能清晰体现基本方法的运用。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 3． 实 数 基 本 内 容 平方根 Ｂ 1． 通过实例引入方程 EMBED Equation.3 ；在探讨求解方程 EMBED Equation.3 的过程中引出开平方和平方根的概念。在此基础上，进一步理解开方和方根的意义。 2． 引进无理数，经历扩展数的概念的过程； 3． 建立实数与数轴上的点的一一对应关系。体验坐标思想和辩证观点。 4． 理解实数系统，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法则。（说明1） 5． 在实数运算中，熟悉计算器的应用，并学习估算、近似计算和科学记数法。（说明2） 实数 Ｂ 1. 实数的运算 Ｃ 拓展内容 *无理数的发现 通过对无理数的发现史及古希腊数学家的科学精神的介绍，建立崇尚科学、追求真理的信念，增强理性思考的意识。 说 明 1. 在引入无理数概念的基础上，建立实数的概念系统；再学习实数的基本运算，并明确有关运算性质的推广和运用；不涉及繁难的纸笔计算。 2. 学习近似计算的基本规则和方法，不在理论上深究，但能按照基本规则进行近似计算；对近似计算的一般规则不要求掌握。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 4．一元二次方程 基 本 内 容 一元二次方程及其解法 Ｃ 1． 理解一元二次方程的概念；经历一元二次方程解法的探索过程，会用直接开平方法解一元二次方程，再进一步掌握利用配方法求解。体会配方法的运用和探究学习的方法，增强化归意识。 2． 在探索和实践的活动中归纳判别式和求根公式。会求一元二次方程的判别式的值，知道判别式与方程实根情况之间的联系；掌握一元二次方程的求根公式。（说明） 一元二次方程的求根公式 Ｃ 说 明 这里涉及的一元二次方程一般都是整系数方程。除明确所求实根可为近似根外，一般应限定一元二次方程的系数使它的判别式为完全平方数。 图形与几何 学习主题 学习 水平 具 体要求及活动建议 1．圆、圆柱、圆锥和球 基 本 内 容 圆的周长和面积 Ｂ 1． 利用图形的旋转展示圆、圆柱、圆锥和球的生成过程，认识圆、扇形、圆柱、圆锥和球等图形的基本特征，增强观察、归纳能力。（说明1） 2． 通过操作活动，形成对圆的周长和面积、弧长与扇形面积、圆柱及圆锥的表面积和体积等计算公式的猜想或验证；会用公式进行简单的计算；体会近似与精确的数学思想，了解数学实验的研究方法。（说明2） 3． 会用扇形图进行数据整理和表示有关统计量。（说明3） 4． 知道球和球面、球大圆和球小圆的意义，知道球的表面积和体积的计算公式，会利用公式进行简单的计算。（说明4） 弧长与扇形面积 Ｂ 圆柱的表面积和体积 Ｂ 圆锥的表面积和体积 Ｂ 球的表面积和体积 Ｂ 拓展内容 组合图形的计算问题 会计算简单组合图形的面积或体积，体会分解与组合的思想。 *祖冲之、刘徽与圆周率 通过对祖冲之、刘徽的数学成就和圆周率由来的了解，从中感受我国古代数学的光辉成就和算法思想。 说 明 1. 对于圆柱、圆锥和球的基本特征的认识，可通过“平行于底面的平面截圆柱、圆锥和一个平面截球面所得截线是一个圆”来展现。 2. 有关计算公式不直接给出，应适当安排一些探究学习和合作学习的活动，提供机会体会公式的意义。 3. 结合求扇形面积来学习统计初步知识。 4. 直接给出球的表面积和体积的计算公式，对这些计算公式不要求会变形运用。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．长方体的再认识 基 本 内 容 长方体的元素 Ｂ 1. 认识长方体的顶点、棱、面等元素，会用硬纸片（或铁丝、细棒）制作长方体（或长方体架子）；会画长方体的直观图（采用“斜二侧”画法），形成关于图形与实物的初步联想。（说明1） 2. 理解长方体中的棱、面之间的基本位置关系的含义；在明确这些棱、面分别是直线和平面的部分的基础上，直观认识空间两条直线的位置关系有三种（出现“异面直线”的名词）；初步认识线面、面面的平行和垂直关系，知道一些简单的检验方法。形成初步的空间观念（说明2） 棱与棱的位置关系 Ｂ 棱与面的平行、垂直 Ｂ 面与面的平行、垂直 Ｂ 拓展内容 *莫比乌斯带与简单的拓扑变换 认识一些简单的拓扑图形。 说 明 1. 熟悉长方体直观图的一种常用图形，知道长方体的有关元素及其表示方法。 2. 以长方体为载体，学习空间直线与平面的平行、垂直关系，在一种常用直观图中加以描述。关于线面、面面的平行和垂直的检验方法，可介绍如利用铅垂线、角尺、长方形纸片、合页型折纸等进行检验的方法。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 3．基本图形的画法 基 本 内 容 作一条线段等于已知线段 Ｃ 1． 通过操作实践掌握直尺、三角板、圆规、量角器的使用方法。会用直尺、圆规进行关于线段、角的作图。会用折线图进行数据整理和表示有关的统计量。（说明） 2． 理解线段的中点、角的平分线的概念，掌握它们的画法。 3． 理解余角和补角的概念，会求已知角的余角或补角。 4． 初步会用几何作图的基本语言，初步掌握基本的画图技能。 线段的和、差、倍及线段的中点 Ｃ 作一个角等于已知角 Ｃ 角的和、差、倍及角的平分线 Ｃ 余角、补角 Ｃ 拓 展 内容 拼图游戏 通过由简单的几何图形拼组较复杂的几何图形的操作活动，体会分解与组合的思想方法，同时进一步熟悉基本图形。 说 明 关于线段的和、差、倍与角的和、差、倍的作图问题，不限定为严格的尺规作图。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 4. 图形运动与叠合 基 本 内 容 平移与平行 B 1．通过具体事例，描述点的平移和图形的平移的基本特征，知道确定平移的要素是方向和距离；通过点的平移引出有向线段；理解有向线段的意义。知道两条直线平行的含义就是其中一条直线经过平移运动可与另一条直线叠合，并会利用平移画已知直线的平行线。（说明1） 2．通过操作活动认识平面图形翻转的过程，理解轴对称的意义；知道轴对称图形的基本性质，并会利用性质画已知图形关于某一直线对称的图形。 3． 通过观察和操作，认识图形的旋转及其基本特征；知道旋转对称图形；理解中心对称的意义，知道中心对称图形的基本性质，并会利用性质画已知图形关于某一点对称的图形。 4． 在认识图形的基本运动的过程中，初步感知几何变换思想；理解两个图形叠合的意义，加深对平移和对称的保距、保角性的认识，知道在平移、翻转、旋转运动中图形的形状和大小保持不变。 5． 理解平面直角坐标系的构成，建立平面上的点与坐标的对应关系；会在坐标平面上讨论点的平移、对称以及图形的对称问题。（说明2） 翻转与轴对称 B 旋转与旋转对称 B 平面直角坐标系 C 拓展内容 二次轴对称 了解二次轴对称后图形运动的情况：设 分别为对称轴，则当 ∥ 时，图形平移；当 与 相交时，图形旋转；当 ⊥ 时，图形中心对称。再进一步了解有关的数量关系。 说 明 1．通过在方格纸上平行移动平面图形，认识平移与方向、距离的关系，感受平移变换思想。 2.本主题中在坐标平面上只讨论图形关于x轴、y轴的轴对称问题和关于原点中心对称的问题。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 5．相交直线与平行直线 基 本 内 容 相交直线 Ｃ 1． 知道两条直线相交只有一个交点，它们所成的角有四个；理解对顶角和邻补角的概念，掌握对顶角的性质；会用交角的大小来描述两条相交直线的位置特征；知道垂线的概念和性质，会用尺规作已知直线的垂线和线段的垂直平分线。（说明1） 2． 通过观察两条直线和第三条直线相交所成角的特征，归纳并掌握同位角、内错角、同旁内角的概念。 3． 掌握平行线的符号表示。在操作、实验的基础上认识和掌握平行线的判定方法及有关性质，会运用它们进行初步的说理。（说明2） 两条直线和第三条直线相交所成的角 Ｃ 平行线的判定 Ｃ 平行线的性质 Ｃ 拓展内容 说 明 1. 要重视观察、操作的活动和几何语言的学习；在得到“两条直线相交只有一个交点” 时，可进行简单的说理，渗透“反证法”的思想。 2． 关于平行线的判定和性质的运用，涉及的问题是比较简单的，可采用“填空”的方式进行说理，渗透“三段论”的推理形式。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 6．三角形 基 本 内 容 三角形的有关线段 Ｃ 1． 掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质；理解三角形的高、中线、角平分线等概念，并会画这些特殊线段。 2． 展示“实验—归纳—猜测—证明”的数学研究方法，通过实验形成对三角形的内角和等于180O的猜想再加以证实；初步尝试演绎推理，从中知道所得结论具有严格化的意义。 3． 理解全等形的概念，并能用于解释两个三角形全等；懂得两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的含意，会用符号表示两个三角形全等，掌握全等三角形的性质。 4． 通过画三角形的操作活动和对实物模型的分析，归纳并掌握判定两个三角形全等的方法。（说明1） 5． 通过观察、实验、操作等活动和对等腰三角形的轴对称性分析，发现和归纳等腰三角形的基本性质，再尝试采用演绎推理方法进行证实；掌握等腰三角形性质的基本运用。（说明2） 6． 进行关于几何语言和说理的训练，初步了解“三段论”的推理形式和表达，感受几何推理的过程。（说明3） 三角形的内角和 7． Ｃ 8． 全等三角形 Ｃ 三角形全等的判定 Ｃ 等腰三角形 Ｄ 拓展内容 说 明 1. 判定两个三角形全等的方法指：（1）“边边边”；（2）“边角边”；（3）“角边角”；“角角边”。利用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等，涉及的问题是比较简单的，说理过程用“三段论”形式表述，可采用过渡性的“填空”方式。 2. 等腰三角形的性质指“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一” 等。可对等腰三角形进行翻转，利用轴对称变换来探索它的性质；在这里，对有关性质的运用限于解释简单的几何问题。 专题研究与实践 实　践　活　动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 生活中的数学 通过应用一次方程有关知识来研究和解决的生活实际中问题，发展数学应用意识。（说明） *画空间三连体 定义：在空间 EMBED Equation.3 个正方体中，每个正方体总有一个面与另一个正方体的一个面相重叠，那么称这 个正方体是 连体。会画出不同的三连体、四连体等。 *商标制作 自主设计几个用简捷的轴对称图形或中心对称图形构成的商标；再着色并配简炼的广告词语。 轴对称性图案的设计 通过观察、收集轴对称图形，了解轴对称图形的应用；再自行设计具有轴对称性的图案，激发审美情趣和创造意识。 说明 例如：收支平衡点及其应用。 在“专题研究与实践”中，不带“*”的内容含在基础型课程部分；带“*”的内容含在研究（探究）型课程部分。以下同。 研　究　课　题 具体要求及活动建议 参 考 内 容 单位分数的研究 定义：“分子为1的真分数叫做单位分数”。围绕“单位分数”自主进行提问和探索，获得研究性学习的经验和成功的体验。（说明） 简单的“最短路线”问题 通过展开图，探索并会画出圆柱、圆柱的侧面或长方体表面上已知两点间的最短路线；了解球面上两点间最短路线及其背景，讨论如上海与旧金山之间的最短路线。 探索性的实验活动 如：探索线段的分点数与所得线段的总条数的关系；角的分角线条数与所得角的总个数的关系等。 *为什么 不是有理数？ 说明 不是有理数的理由，体会反证法的思想。 *平移、旋转、中心对称等变换与轴对称变换之间的关系 研究几种不同变换之间的内在联系，体会辩证思想。 说 明 研究问题如： （1）找出几个分数，它等于两个分母为连续整数的单位分数的和，例： ． （2）找出几个分数，它分别等于两组不同单位分数的和，例： ． （3）与单位分数有关的问题的进一步探讨。 八、九 年 级 数与代数 　学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 5．代 数 式 基 本 内 容 代数式的有关概念 Ｂ 1. 在已有经验的基础上，进一步理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。 2. 通过列代数式，学会文字语言与符号语言的转译；在求代数式的值的过程中，进一步掌握实数的基本运算；领悟字母“代”数的数学思想，提高数学语言表达能力。能用代数式表示含有字母的“加权平均数”和“可能性”问题的结果。（说明1） 3. 熟悉单项式、多项式的特征，建立一元一次、二次整式与方程之间的联系，进一步掌握一元二次方程的解法。（说明2） 4. 熟练掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式及其简单运用。不涉及繁难的整式运算，除法中的除式限为单项式。 5. 理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法。所涉及的多项式不超过四项。（说明3） 6. 理解分式和根式的概念，掌握二次根式的性质，掌握分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则。不出现繁难的二次根式运算，通过类比整式、分式、二次根式的运算，进一步体验类比思想和化归思想。 7. 理解有理数指数幂的概念，会求有理数指数幂；体验零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂是正整数指数幂概念及其运算自身发展的必然。分数指数幂中的分数指数限为分母不大于4的真分数。 列代数式和求代数式的值 Ｃ 8. 整式及其运算 Ｄ 正整数指数幂，零指数幂 Ｃ 因式分解 Ｃ 分式及其运算 Ｃ 负整数指数幂 Ｃ 根式及二次根式的性质 Ｃ 二次根式及其运算 Ｃ 分数指数幂 Ｂ 拓展内容 根式与指数式的互化 了解根式与指数式的内在联系。 *余式定理 学习多项式的带余除法，研究多项式的根，探讨高次方程的解法。 *因式分解研究 学习因式定理和待定系数法等进行因式分解。 说 明 1． 关于实数的基本运算，安排在“代数式”之前学习。在求代数式的值时，不涉及繁难的计算，重在对实数的运算法则的进一步掌握。通过“加权平均数”和“可能性”问题的学习，渗透随机思想和进行简单计算，并得出“加权平均数”公式。 2． 在学习二次根式以后，再求解一元二次方程，这时一元二次方程中的系数可为任意实数（二次项系数不为零），但所涉及的计算不繁难。 3． 在因式分解中，不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。关于二次三项式的因式分解，主要学习利用求根公式进行，不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 6．简单的代数方程 基 本 内 容 整式方程 Ｃ 1． 知道整式方程的概念，进一步掌握一般的一元二次方程的解法，掌握根的判别式的基本运用以及根与系数的关系；知道利用计算机（器）求高于二次的整式方程的近似解。（说明1） 2． 建立分式、根式与方程的联系，理解分式方程、无理方程的概念；领会把分式方程整式化、无理方程有理化的转化思想和解方程的方法。 3． 解分式方程、无理方程限于简单情形；在解分式方程中学习换元法和整体代换思想；不要求用换元法解无理方程。（说明2） 4． 二元二次方程组限于组内两个方程之一是二元一次方程或两个方程中至少有一个容易化为二元一次方程乘积的形式，掌握这样的二元二次方程组的解法，注重领会“降次”和“消元”的思想方法。 5． 会应用一元二次方程、分式方程等解决简单的实际问题。增强分析能力和形成模型思想。（说明3） 6． 进一步领略转化与化归的思想方法。 分式方程 Ｃ 7． 无理方程 Ｃ 二元二次方程组 Ｃ 列方程解应用题 Ｄ 拓 展 内 容 公式变形 加深理解用字母表示数的意义，学习用数学符号语言把规律性的认识简明地表达出来；训练思维的多向性。 换元法及其应用 领会换元法，掌握换元法在无理方程、分式方程组、因式分解、代数式计算中的进一步应用。 关于方程的建模求解问题 发展建立方程模型解决实际问题的能力，了解模型方法。 说 明 1．判别式的应用限于在简单情形下判断实根的情况或判断实根的存在性。 例如：（1）不解方程，判断方程 根的情况。 　　（2）当m为何值时，方程 x2 +m（x +1）+x = 0有两个实数根？ （3）方程 x2+ 2mx -1 = 0 有两个不相等的实数根吗？为什么？ 2．在无理方程中含有未知数的根式不超过两个。 　3．注意从现实生活和生产实际中提出问题，并有机结合进行思想教育。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 7．正比例函数与反比例函数 基 本 内 容 函数的有关概念 Ｂ 1. 在已经学习具体函数的基础上，结合实例认识变量、自变量、因变量，建立“对应说”的函数概念；理解定义域、函数值、值域、符号“y=f（x）”、常值函数等的意义。培养抽象思维能力。（说明1） 正比例与正比例函数 Ｂ 2. 通过分析现实生活中具有比例关系的具体事例，引进正比例函数和反比例函数，理解有关概念。获得从数量方面把握事物运动变化的规律和相互联系的体会。 3. 知道函数图象的意义，学习在平面直角坐标系中用描点法画函数的图象，掌握正比例函数、反比例函数的图象。体验数形结合思想。（说明2） 4. 利用图象的直观，认识正比例函数、反比例函数的性质，再用数学语言加以直观描述；掌握这些基本性质。 5. 在求函数解析式中体会待定系数法。 正比例函数的图象 Ｃ 正比例函数的性质 Ｃ 反比例与反比例函数 Ｂ 反比例函数的图象与性质 Ｃ 拓展内容 正比例函数与反比例函数的线性组合 主要研究确定正比例函数与反比例函数的线性组合的表达式问题，加深对正比例函数和反比例函数的理解，增强对一般函数的感性认识。 说 明 1．关于函数的值域，只要求知道其含义，不涉及求函数值域的问题。 2．以描点法画函数图象是基本技能要求，需安排一定的操作训练；同时注意多媒体教学技术的应用。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 8．一 次 函 数 基 本 内 容 一次函数的概念 Ｂ 1. 理解一次函数的概念，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系；掌握直线平移与一次函数解析式 中的 之间的关系。学习用辩证的观点看问题；进一步体验数形结合思想。 2. 利用图象直观，认识和掌握一次函数的性质。 3. 选取实例讨论一次函数的实际应用，形成对函数模型的初步认识。 一次函数的图象和性质 Ｃ 一次函数的应用举例 Ｄ 拓展内容 简单的分段函数 通过实例引出分段函数，主要学习图象呈阶梯形或折线形的分段函数，加深对函数概念的理解。 说 明 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 9．二 次 函 数 基 本 内 容 二次函数的概念 Ｂ 1. 通过实例引入二次函数，理解二次函数的概念。 2. 利用多媒体技术，从特殊到一般对二次函数的图象进行研究，渗透运动、变换的思想和分解与组合的策略思想。 3. 利用图象直观归纳二次函数的基本性质并加以直观描述，主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性、增减性。掌握二次函数的图象与基本性质。（说明） 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式。建立二次函数与一元二次方程之间的联系，重点认识二次函数图象与x轴交点的横坐标即相应一元二次方程的解；体会用函数的观点处理方程的有关问题。 5. 了解二次函数的实际应用，懂得用运动变化的观点看问题。 二次函数的图象 Ｃ 二次函数的性质 Ｃ 二次函数的应用举例 Ｄ 拓 展 内容 初中数学中的基本数学思想方法 对在初中数学中所学的基本数学思想方法进行初步的整理，并加深体验。 函数与方程 通过探究函数与方程之间的内在联系，领会用函数观点研究方程问题的思想。 说 明 不要求利用二次函数的性质去研究有关求函数解析式的问题。 图形与几何 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 7．几何证明 基 本 内 容 命题与证明 Ｂ 1． 体会几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程，认识归纳推理和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题、定理、证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤和表达形式。 2． 通过典型例题的研究，学习和掌握演绎推理的规则；学会用三角形全等的判定定理和性质定理证明有关线段相等、角相等、以及平行、垂直的简单问题，以及用等腰三角形的判定定理和性质定理证明简单的几何问题。 3． 通过对平行线和等腰三角形的有关定理的分析，理解逆命题与逆定理。（说明） 4． 掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法；掌握直角三角形的有关性质。在勾股定理及其逆定理的学习中，通过充分展开定理导出的过程和揭示它在度量几何中的作用，进一步理解形数之间的联系。导出平面直角坐标系内两点间距离的公式，理解公式的实质。 5． 掌握角的平分线、线段的垂直平分线的有关性质。在此基础上，归纳轨迹的意义，知道三条基本轨迹（圆、角的平分线、中垂线），从中了解轨迹的纯粹性和完备性。 证明举例 Ｃ 逆命题与逆定理 B 直角三角形 C 角的平分线、线段的垂直平分线 Ｃ 轨迹 Ａ 拓展内容 勾股定理和勾股数组 通过介绍勾股定理的发现史，加深对勾股定理的了解；通过运用构图方法推导勾股定理，发展创造性思维的习惯和能力。在探索勾股数组的过程中，认识勾股数组及其构造方法。 *欧几里得与《几何原本》 了解古希腊的数学成就和理性文明的成果，弘扬科学精神。 说 明 在证明和计算中，运用三角形全等不超过两次；或同时运用三角形全等、等腰三角形的性质与判定，分别以一次为限。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 8．四边形 基 本 内 容 多边形 C 1．理解多边形及其有关概念，通过实验活动探究多边形的内角和，掌握多边形内角和定理。 2．理解平行四边形的概念；由平行四边形是中心对称图形探究它的性质，再通过证明得到平行四边形的性质定理。 3．掌握平行四边形的判定定理，熟悉平行四边形的判定定理和性质定理的基本应用。进一步学习演绎法。 4． 经历从一般到特殊的研究过程，学习和掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判定方法；把握它们之间的内在联系，渗透集合思想。 5． 通过实例和位移引入向量的有关概念；掌握向量的要素及向量的表示，理解相等向量、相反向量、平行向量、零向量的意义。 6． 通过位移直观认识向量的合成，得出向量加法的三角形法则，归纳加法运算律；再指出向量加法的平行四边形法则和几个向量相加的多边形法则。知道向量加法的交换律与平行四边形的判定和性质定理之间的联系。通过对加法逆运算的讨论引入向量的减法，得出向量减法的三角形法则。会进行向量的加减运算，这里注重于对向量加减运算的直观认识。 6．理解梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质与判定；掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理；建立梯形与三角形之间的联系，培养对立统一的思想观点。（说明） 平行四边形 Ｄ 特殊的平行四边形 Ｃ 向量及其加法与减法 C 梯形 Ｃ 拓展内容 三角形的稳定性与平行四边形的不稳定性 了解三角形的稳定性与平行四边形的不稳定性等特性及其实际应用 说 明 分析梯形与三角形的联系，进一步拓宽研究梯形的思路。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 9．相似三角形 基 本 内 容 放缩与相似形 B 1. 通过实例认识图形的放大和缩小；理解相似形的概念，能在方格纸上进行关于图形的放大和缩小的画图操作。理解相似比的意义，能根据相似比想像图形的放大或缩小，并对放缩情况进行估计。 2. 掌握平行线分线段成比例定理，在证明过程中体会运动观点与分类讨论方法。掌握三角形一边的平行线的判定方法。（说明1） 3. 理解相似三角形的概念，得到相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，并掌握它的基本运用。 4. 经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比，面积比以及对应的角、平分线比，对应的中线比，对应的高的比的性质；会应用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。（说明2） 5. 联系相似变换（放缩），由几个相同向量相加导出整数与向量的乘法，再规定实数与向量相乘的意义，并导出运算律。掌握数与向量的乘法运算及其运算律，建立数乘向量对于向量加法的分配律与相似三角形的判定和性质定理之间的联系 6. 通过与多项式的有关运算进行类比，熟悉向量的线性运算。通过利用向量的线性运算解决简单的平面几何问题，激发学习向量的兴趣。（说明3） 平行线分线段成比例定理 Ｃ 7. 三角形一边的平行线的判定 Ｃ 相似三角形的判定 Ｄ 相似三角形的性质 Ｃ 实数与向量的乘法 Ｃ 向量的线性运算 Ｃ 拓展内容 出入相补原理与测量 介绍我国古代的数学成就和利用面积研究几何问题的方法。 平面几何研究（1） 拓展平面几何定理系统，深入研究平面几何，会解决一些较复杂的几何论证和计算问题，提高直觉思维、归纳猜想和逻辑推理能力。 说 明 1. 可应用多媒体教学技术进行探究和分析有关定理。 2. 在证明和计算中，运用三角形相似不超过两次。射影定理及比例中项概念放入例题中。 3. 利用向量方法解决平面几何的问题，目的是显示向量的作用，并从中获得对于向量方法的初步认识；不要求会用向量方法解决平面几何的问题。 学习主题 学习 水平 具体要求及活动建议 10．圆与正多边形 基 本 内 容 圆，弧，圆心角 Ｂ 1． 理解圆的旋转的不变性，通过操作和说理，研究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。掌握有关的概念以及它们之间的关系；发展探索和发现能力，体会联系观点和等价转换思想。 2． 掌握垂径定理及其推论，在研究过程中获得对“实验—归纳—猜测—证明”方法的进一步体验。 3． 在角与圆的位置关系讨论中，给出圆外角、圆内角、圆周角、弦切角的名称；主要掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论，加深对分类讨论的思想方法的认识。（说明） 4． 经历直线与圆、圆与圆的位置关系的动态变化过程，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点。掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；着重研究相切的情况，掌握圆的切线的判定与性质，进而掌握两圆公切线的概念及其有关的计算。 5． 掌握正多边形的有关概念和基本性质，会画正三、四、六边形。 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 Ｃ 垂径定理 Ｃ 圆周角 Ｃ 直线与圆的位置关系 Ｃ 圆与圆的位置关系 Ｃ 正多边形 Ｃ 拓 展 内 容 平面几何研究（2） 在平面几何研究（1）的基础上，拓展与圆有关的定理系统，进一步深入研究平面几何，会解决一些较复杂的几何论证和计算问题，提高直觉思维、归纳猜想和逻辑推理能力。 *几何命题的机器证明 介绍我国数学家吴文俊的成就和机器证明的发展史，体会算法思想。 *非欧几何 了解非欧几何的产生及概况，拓展几何观念，开阔数学的视野。 说 明 对弦切角不要求作深入的研究。在练习的安排中，可提供关于弦切角定理以及相交弦定理、切割线定理、四点共圆等作为习题，但不作进一步运用的要求。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 11．锐角三角比 基 本 内 容 锐角三角比 Ｃ 1． 理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比值。（说明） 2． 熟悉用计算器求锐角三角比的值。 3． 理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题。 解直角三角形 Ｄ 拓 展 内容 说 明 锐角三角比只涉及正弦、余弦、正切、余切，注重建立直角三角形的边角关系，对三角比之间的关系不作要求。 数据处理 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．概率初步知识 基 本 内 容 生活中的概率问题 Ｂ 1． 通过实例，理解概率的意义并感受一些有趣的古典概率问题。（说明） 2． 会用枚举法探求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的几何概型。 概率的意义 Ｂ 等可能事件的概率问题 Ｃ 拓展内容 实际生活中的概率问题 通过介绍实际生活中的一些简单有趣的概率问题，激发学习概率的兴趣。 说 明 列举生活实际中的概率问题，形成对概率的初步认识，再用朴素的语言描述概率的意义，重在激发学习概率的兴趣。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．统计初步 基 本 内 容 数据整理与统计图表 Ｃ 1． 结合有关代数、几何的内容，学习和掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据，并能通过图表获取有关信息。 2． 在对统计具有初步认识的基础上，学习和理解统计的有关概念，知道统计的意义。增强统计的意识，加深对统计思想的认识。（说明） 3． 掌握中位数、众数、方差、标准差等的概念和计算及其初步应用。 4． 理解频数、频率的意义，会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解释有关实际问题。 统计的意义 Ｂ 表示一组数据平均水平的量 Ｃ 表示一组数据离散程度的量 Ｃ 表示一组数据分布的量 Ｃ 拓展内容 关于概率与统计应用的实践调查活动 体验概率与统计的知识及其思想方法的实际应用过程，发展数学应用精神、社会活动能力和实践能力。 说 明 关于统计内容的学习，应注重对于具体实例的分析和研究，在理论方面要控制难度。 专题研究与实践 实　践　活　动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 一次函数的实际应用 调查生产和生活实际中可用一次函数描述或用直线拟合的具体事例，写出调查报告。 日常生活中的概率问题 尽可能地多方面收集日常生活中的概率的实例；写出关于生活中概率的重要性的小或学习体会。 制作镶嵌图案 自主设计和制作镶嵌图案（可组合），进行作品评比。 *运用解直角三角形方法测高、测距 提出现实生活中有关测高、测距的实际问题，，运用解直角三角形方法解决。 统计实习 说明 研　究　课　题 具体要求及活动建议 参 考 内 容 *乘法公式与图形 通过构造图形对乘法公式进行直观表示，进一步体会数形结合思想。 含字母系数的一元方程 通过对含字母系数的、形式意义上的一元一次、二次方程进行分类和求解的讨论，体会分类讨论的思想和周密思考问题的过程。 调查现实生活中具有正比例函数或反比例函数关系的事例 感受数学与现实生活的联系，初步认识事物运动变化的普遍性和相互依赖关系的数学表达方法。 *配方法和待定系数法 对配方法和待定系数法进行应用研究，进一步领会配方法和待定系数法。 *比例线段的证明 提出一些有关比例线段的证明问题，通过分析、研究，归纳和整理利用平行线、相似三角形、中间比、面积等进行证明的思路，在研究过程中体会有效学习的方法。 地图上表示的区域的实际面积 取一张地图（标注有比例尺），会运用比例知识估测这张地图表示的区域的大致面积。 *直观的错觉与数学诡辩 通过具体示事例感受直观错觉的存在，理解单凭直观作出判断的不可靠性，同时理解推理严密的重要性。（说明） 说 明 例：（1）下左图中两直线是否一定垂直？右图中两线段是否相等？ （2）数学诡辩：“任意三角形是等腰三角形”。 （三）十至十二年级 高中阶段的学习内容，“数与代数”包括复数初步，不等式，基本初等函数，行列式，数列和数学归纳法，多项式函数的导数、定积分及其应用；“图形与几何”包括向量初步，平面解析几何与空间几何初步； “数据处理”包括排列与组合，概率与统计。“专题研究与实践”包括数学实践活动和研究课题。 十、十一 年 级 数与代数 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．集合与命题 基 本 内 容 集合及其表示 Ｂ 1． 通过列举生活中的实例和数学中的事例，对集合的意义进行描述。知道集合的意义，懂得元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合。进一步理解数学抽象的意义。 2． 理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念。 3． 掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质。会求集合的交集、并集，会求已知集合的补集，但不要求会解决有关集合的证明问题。进一步认识数学符号变换的意义。 4． 理解否命题、逆否命题，明确命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系。进一步领会分类、判断、推理的思想方法。 5． 理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义。能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、或充分必要性。 6． 能用集合思想去观察、思考、表述和解决一些现实问题，体会集合的初步应用。 7． 子集 Ｃ 交集，并集，补集 Ｃ 命题的四种形式 Ｂ 充分条件，必要条件，充分必要条件 Ｃ 拓 展 内 容 子集与推出关系 利用特征性质建立集合的包含关系与性质的推出关系之间的联系，会用推出关系阐述充分条件、必要条件、充分必要条件，掌握等价关系。体会辩证唯物主义观点。（说明1） *集合论发展简史 介绍集合论发展的简史，了解集合的基础地位和数学的抽象性。可适当介绍模糊集合的知识，渗透辩证思想。（说明2） *容斥原理，抽屉原则与平均数原则 理解容斥原理、抽屉原则和平均数原则，会用于解决一些简单的计数问题，发展从数学的角度分析和思考问题的能力。 说 明 1．也可改学“逻辑初步”的内容。这是数学III的拓展内容。 2．带“*”的拓展内容是学生阅读材料或任选内容；不带“*”的拓展内容是指定性的拓展内容。以下同。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．不等式 基 本 内 容 不等式的基本性质及其证明 Ｃ 1． 通过对事物数量方面的分析及其数量关系的讨论，加强数量意识和体会辩证观点。理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。 2． 通过类比等式的性质得到不等式的基本性质，并能加以证明。会用基本性质判断不等关系和用比较法、综合法证明简单的不等式。培养代数证明的基本能力。（说明1） 3． 利用实数的非负性导出基本不等式 ， 再导出相关的二元不等式。强调配方法思 想的运用。掌握基本不等式并会用于解决简单的问题。 4．通过实际问题的抽象，引出一元二次不等式、分式不等式及含有绝对值的不等式，并探讨它们的解法。掌握用区间表示集合的方法；掌握这些不等式的解法。突出利用转化思想解不等式，但涉及的不等式比较简单。（说明2） 5． 建立一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，并对它们能相互贯通；会用不等式解释和处理一些简单的现实问题。 基本不等式 Ｃ 一元二次不等式（组）的解法 Ｄ 分式不等式的解法 Ｃ 含有绝对值的不等式的解法 Ｃ 拓 展 内 容 不等式证明 在证明不等式的方法及其运用上得到拓展；研究一些著名的不等式，扩大不等式的知识。(说明3) * 高次不等式 学习用“标根法”探求高次不等式的解集，会解简单的高次不等式。 * 无理不等式 会解简单的无理不等式，突出转化思想。 说 明 1．有关不等式的证明，只要求掌握比较法和综合法的基本思路及其表达。 2．在掌握用通常方法解不等式的基础上，可进一步提出灵活性要求。 例如：解不等式 。一般通过讨论去掉绝对值符号再求解。还有 ①可转化为解不等式 ；②可转化为解不等式 ；③利用函数图象求解；等。 4． 这是数学III的拓展内容。会用综合法、分析法证明简单的不等式；所涉及的著名不等式如柯西不等式等的进一步应用不作要求。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议　 3．函数的基本性质 基 本 内 容 函数的有关概念 Ｂ 1． 加深理解函数的概念，熟悉函数表达的解析法、列表法和图象法，懂得函数的抽象记号、定义域和值域的集合表示，掌握求函数定义域的基本方法。对函数的值域只要求在简单情形下能通过观察和分析进行确定。 2． 会求两个函数的和函数、积函数。 3． 提出并解决具有实际背景的简单问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法。体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识，会用函数观点去观察和分析一些自然现象和社会现象。 4． 在直观认识函数基本性质的基础上，从具体函数到抽象表示的函数对其奇偶性、单调性、最大值和最小值等基本性质进行解析研究。掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图象特征。（说明1） 5． 能根据不同问题灵活地用解析法、列表法和图象法来表示变量之间的关系和研究函数的性质；会利用函数的性质来解决简单的实际问题。领悟数形结合的思想。 函数的运算 Ｃ 6． 函数关系的建立 Ｄ 函数的基本性质 Ｃ 拓 展 内 容 函数的零点 通过对函数零点的研究，体会“二分法”和逼近思想，熟悉计算器的应用。（说明2） *复合函数的研究 理解复合函数的概念，会求简单复合函数的定义域和判断它的单调性、奇偶性等。 * 特殊函数及其表示 研究一些特殊的函数，如狄利克雷函数、高斯函数、符号函数等。加深对函数概念的理解。 *函数概念发展史 介绍函数概念的发展史。通过不同时期关于函数概念的描述，了解函数概念不断发展的过程。 说 明 1．能利用函数的奇偶性描绘函数的图象。对于利用函数的奇偶性证明单调性、利用 和 的单调性讨论 的单调性之类的问题不作要求。 2．这是数学II和III的拓展内容。 学 习 主 题 学习水平 具体要求及活动建议 4．基本函数的研究 基 本 内 容 简单的代数函数性质研究 Ｃ 1. 以简单的具体幂函数、含字母系数的二次函数、二次型函数等为例，研究它们的性质，体验研究函数性质的过程和方法。（说明1） 2. 通过实例引入指数函数的概念。掌握指数函数的性质和图象。 3. 经历由指数式提出对数概念的过程，理解对数的意义。掌握积、商、幂的对数的性质。会用计算器求对数。（说明2） 4. 通过实例引入对数函数的概念，理解对数函数的意义。 5. 由逆对应引出反函数的概念，经历探索互为反函数的两个函数图象之间关系的过程，并掌握其关系。 6. 利用对数函数与指数函数互为反函数的关系，研究对数函数的性质与图象（以底数大于1的对数函数为重点）。掌握对数函数的性质和图象。 7. 理解指数方程和对数方程的概念，会解简单的指数方程和对数方程。 8. 经历利用函数解决数学问题和建立函数模型解决简单实际问题的过程；体会用动态变化的观点处理问题，增强数形结合的意识。注重过程，增强建模求解的能力。注意计算机（器）等现代技术的应用。（说明3） 指数函数的性质与图象 Ｃ 对数与对数函数 Ｂ 反函数 Ｃ 对数函数的性质和图象 Ｃ 指数方程和对数方程 Ｃ 函数的应用 Ｄ 拓 展内 容 对数换底公式 提出问题引起关于换底公式的探求；掌握换底公式的基本运用。体会变换思想。(说明4) * 指数方程与对数方程的近似解 学习求近似解的常用方法，如图象法、逼近法、或使用计算机(器)等。 说 明 1． 知道幂函数的概念，所研究的幂函数的幂指数 。二次 型函数指 ，其定义域D是实数集R的子集。 2． 不要求用积、商、幂的对数的性质和换底公式解决有关恒等变形问题。 3． 结合实际问题，进行有关控制人口增长、保护环境、预测风险、防治疾病等方面的 思想教育。 4．这是数学II和III的拓展内容。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 5．三角比 基 本 内 容 弧度制，任意角及其度量 Ｂ 1． 利用旋转运动引出任意角的概念，建立弧度制，引进象限角。理解有关概念，会进行弧度制与角度制的互化。 2． 掌握任意角三角比的定义（含正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）和同角三角比的关系式。 3． 利用任意角的三角比定义和单位圆的性质以及向量知识等，研究诱导公式，再研究两角和与差的余弦、正弦、正切。会用这些公式的恒等变形和解决有关计算问题。（说明1） 4． 经历二倍角及半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，了解这些公式，对公式的运用不作要求。 5． 经历由物理模型和简单实例引入向量的数量积的过程，并导出数量积运算的性质。掌握向量的数量积运算及其性质。 6． 体验由向量运算导出正弦定理（或利用三角形的面积）、余弦定理的过程。会用正弦定理、余弦定理以及有关三角知识解三角形和解决简单的实际问题。 7． 会用三角比的知识去观察解决一些实际问题，增强用数学的意识。 任意角的三角比 Ｃ 同角三角比的关系 Ｃ 诱导公式 Ｃ 两角和与差的余弦、正弦、正切 Ｃ 二倍角及半角的正弦、余弦、正切 B 向量的数量积 Ｃ 正弦定理和余弦定理 Ｃ 拓 展 内 容 二倍角及半角的正弦、余弦、正切公式的运用 学习和掌握二倍角及半角的正弦、余弦和正切公式的基本运用，发展三角变换能力。（说明2） 积化和差与和差化积 经历积化和差与和差化积公式的推导过程，掌握它们的基本运用。（说明3） 说 明 1．诱导公式中主要涉及 90°±α、180°±α、k·360°±α（k Z）的正弦、余弦、正切。 2．这是数学II和III的拓展内容。 3．这是数学III的拓展内容。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 6．三 角 函 数 基 本 内 容 正弦函数和余弦函数的性质 Ｃ 1． 通过实例和利用函数定义，形成并理解正弦函数和余弦函数的概念。掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质；知道一般周期函数的解析描述和图象特征。进一步提高学生数学抽象能力。（说明1） 2． 掌握正弦函数和余弦函数的图象，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象。通过类比正弦函数，研究并掌握正切函数的性质和图象。 3． 会利用计算器根据已知三角函数值求角；会求一般三角函数的周期，但限于通过简单的三角变换可化为形如 的函数的情形。 4． 借助多种教学媒体，研究函数 （ ） 的图象，再讨论函数的性质，进一步领会分解与组合的思想方法。知道A、ω、φ的物理意义及其对图象的影响。（说明2） 5． 了解三角函数的实际应用；能用函数的周期性去观察和解释一些自然现象和社会现象，并能作出一些预测。 正弦函数和余弦函数的图象 Ｃ 正切函数的性质和图象 Ｂ 函数 的图象和性质 Ｃ 拓 展 内 容 *函数 在物理学中的应用 以电流变化和简谐运动为载体，介绍函数 在物理学中的应用，了解数学与其他学科的联系。 反三角函数与简单三角方程 理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函 数的概念，知道它们的基本性质和图象。会用计算器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小。关于反三角函数性质的运用不作要求。通过实例引出三角方程的概念。掌握最简三角方程的解集，会解简单的三角方程。（说明3） *三角学发展史 介绍三角学发展的概况。 说 明 1． 对一般周期函数的讨论限于简单情形。 2． 关于一般正弦函数 的研究不作要求。 3． 简单的三角方程指形如 ， ，以及 、 等类方程。 这是数学II和III的拓展内容。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 7．行列式初步 基 本 内 容 线性方程组与行列式 Ｂ 1． 通过对二元线性方程组求解的讨论，引入行列式的概念。理解行列式的意义。（说明） 2． 掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）展开的方法；知道行列式的加法、数乘行列式的法则。 3． 会对含字母系数的二元、三元线性方程组无解、有解及解的个数的进行讨论。 二阶、三阶行列式 Ｃ 行列式的基本性质 Ｃ 二元、三元线性方程组解的讨论 Ｃ 拓 展 内 容 * 阶行列式与 元线性方程组 介绍 阶行列式的概念、展开式及有关性质，扩展行列式知识。知道 元线性方程组，会用计算机求具体的四元及四元以上线性方程组的解。 * 矩阵初步 通过生活实例引入矩阵的有关概念，知道矩阵的加减法和乘法，线性方程组的矩阵解法，图形变换与矩阵运算；知道矩阵的简单应用，渗透算法思想。 * 数论初步 介绍数论的一些初步知识，扩展知识面并了解计算机的应用基础。了解我国数学家华罗庚、陈景润、王元等在数论研究方面的先进成果，激发爱国热情和增强勇攀科学高峰的精神。 说 明 通过对二元、三元一次方程组求解过程的分析和总结，提出二阶、三阶行列式，作 为学习的基本内容，理解行列式是表示特殊算式的记号。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 8．数列 基 本 内 容 数列的有关概念 Ｂ 1． 通过实例引入数列的有关概念；理解这些概念。 2． 掌握等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式。体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。 3． 从生活实际和数学背景中提出递归数列进行研究，加强实验探索过程和计算器的应用。会解决简单的递归数列的有关问题。 4． 理解直观描述的数列极限的意义，掌握数列极限的四则运算法则；会求无穷等比数列各项的和。 5． 会用数列知识解决简单的实际问题，发展数学建模能力。 6． 知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤。 7． 通过举例说明，领会“归纳—猜测—论证”的思想方法。获得对于“归纳—猜测—论证”过程的深刻体验。（说明1） 8． 通过数列概念的建立及其应用，提高数学抽象能力、演绎推理能力和归纳、猜测、论证的能力。 等差数列 Ｃ 等比数列 Ｃ 简单的递归数列 Ｃ 数列的极限 Ｃ 无穷等比数列各项的和 Ｃ 数列的实际应用问题 Ｃ 数学归纳法 Ｃ 归纳—猜测—论证 Ｃ 拓 展 内 容 * 迭代法 结合计算机（器）的应用，学习和领会迭代法。 * 数列及其应用 扩展数列的基础知识，了解一些特殊数列的求通项公式以及求和的方法；通过举例研究数列的实际应用，发展数学应用能力。（说明2） 说 明 1. 数学归纳法的应用，只要求会证明与自然数有关的简单命题和整除性问题。 2. 例如： （1） 国际上认可的中音C上的A调的频率是440Hz，比A调高一个音阶的频率是它 的2倍，即880Hz；一个音阶再被细分为12个半调，每一个半调是前一个 倍。 写出440Hz到880Hz 之间的12个半调的频率的数列。 （2） 一个学生在一次校内排球赛中扭伤了脚，医生开了消肿的药，要他每8小时服两 粒220毫克的药片，连服10天。他的肾每8小时过滤掉这种药的剂量的60%，10 天后他体内还残留多少药量？ 图形与几何 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．平面向量的坐标表示 基 本 内 容 平面向量分解定理 Ｂ 1． 引进基向量，导出平面向量分解定理；理解平面向量分解定理。 2． 掌握平面直角坐标系中的向量及其运算的坐标表示；会利用坐标讨论两个向量平行或垂直，会求两个向量的长度以及两个向量的夹角。 向量的坐标表示 Ｃ 向量运算的坐标表示 Ｃ 平行向量及垂直向量的坐标关系 Ｃ 向量的度量计算 Ｃ 拓 展 内容 * 平面向量的应用 进一步体会向量工具的作用，建立向量加法与平行四边形、数乘向量与相似三角形、数量积与垂直投影之间的基本联系。初步懂得运用向量方法进行简单的几何证明和计算。进一步掌握图形语言和符号语言之间的相互转换。提高学习向量知识的兴趣。（说明） 说 明 可利用向量方法证明一些几何定理，例如：三角形的中位线定理，等腰三角形的性质定理等。还可用向量方法解决一些几何计算问题， 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．平面直线的方程 基 本 内 容 直线的点方向式方程 Ｃ 1． 从图形直观认识平行于已知直线的向量，利用平行向量的坐标关系，建立直线的点方向式方程。引入直线的法向量概念；根据法向量垂直于与直线平行的向量的特征，建立它们的坐标之间的关系；利用在平面直角坐标系中两个向量垂直的坐标关系，导出直线的点法向式方程。 2． 掌握直线的点方向式方程和点法向式方程；认识坐标法在建立形与数之间关系中的作用，以逐步确立事物间相互联系和相互转化的观点。 3． 通过点法向式方程的变形，导出直线的一般式方程。会求直线的一般式方程，理解方程中的字母系数的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。 4． 引入直线的倾斜角与斜率的概念，建立斜率同直线的平行向量或法向量的坐标之间的关系。掌握点斜式方程。（说明1） 5． 利用直线的法向量（或平行向量），讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程应满足的条件。会通过直线方程判定两条直线平行或垂直。 6． 建立二元一次方程组的解与两条相交直线的交点坐标之间的关系；建立两条相交直线的夹角与它们的法向量的夹角之间关系；会求两条相交直线的交点坐标和夹角。 7． 经历探求点到直线的距离的过程，掌握求点到直线的距离公式。 8． 会用二元一次不等式表示的平面区域，解决简单的线性规划问题。渗透最优化思想，重视从生产、生活实际中提出问题和解决问题，增强数学应用能力。（说明2） 9．体会坐标法的思想，会用向量工具研究直线的有关问题。 直线的点法向式方程 Ｃ 直线的一般式方程 Ｃ 直线的倾斜角与斜率 Ｃ 两条直线的平行关系与垂直关系 Ｃ 两条相交直线的交点和夹角 Ｃ 点到直线的距离 Ｃ 二元一次不等式表示的平面区域 Ｃ 简单的线性规划问题 Ｃ 拓展内容 *平面向量的实际应用 通过对向量在物理学和其他学科中的应用的进一步了解，更加关注数学与其他学科知识的联系。 *解析几何的诞生 介绍笛卡儿的方法论与坐标系建立的历程，加深对解析几何思想和坐标法的认识。（说明3） 说 明 1．关于直线方程的两点式、斜截式、截距式等不作教学要求。 2．线性规划的理论与方法主要用于解决在资源一定的条件下最佳地完成任务的问题或 以最少的资源完成给定任务的问题等。 3．可依笛卡儿、费玛等数学家的事迹和成就为线索，突出解析几何的建立及其划时代的意义。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 3．曲线与方程 基 本 内 容 曲线与方程的概念 Ｃ 1． 在学习直线方程的基础上引入曲线与方程的概念。理解曲线与方程的概念；以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，知道适当选取坐标系的意义；会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质的基本思想，加深领会辩证唯物主义的思想观点。 2． 根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义建立它们的标准方程。掌握这些标准方程和圆的一般方程。通过对圆的一般方程的讨论，加深对二元二次方程的认识。（说明1） 3． 以直线与圆的位置关系为例，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。 4． 体验利用方程讨论椭圆、双曲线、抛物线的主要几何性质的过程。掌握这些曲线的几何性质，领悟用代数方法研究曲线的方法。不研究一般位置的椭圆、双曲线、抛物线的方程。 圆的标准方程和一般方程 Ｃ 椭圆的标准方程和几何性质 Ｃ 双曲线的标准方程和几何性质 Ｃ 抛物线的标准方程和几何性质 Ｃ 拓 展 内 容 坐标轴的平移与特殊二次曲线方程的化简 学习并掌握坐标轴平移和曲线平移，以及平移变换公式；当表示二次曲线的二元二次方程不含 项时，会对方程进行化简。（说明2） *坐标轴的旋转 研究坐标轴的旋转变换及其变换公式，对一般二元二次方程的曲线进行讨论；加深对坐标法思想和变换思想的认识。 *数学与自然 介绍如向日葵、葛滕等自然界现象的数学解释。 说 明 1．以生活中的实例引出椭圆、双曲线、抛物线的概念，再抽象为动点的轨迹，重点讨论焦点在 轴上的标准方程。 2．这是数学III的拓展内容。 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 4．空间图形 基 本 内 容 平面及其表示法 Ｂ 1． 通过实例描述平面的概念。会用平行四边形表示平面以及用字母表示平面。初步体会从现实世界中抽象出空间形式的方法。 2． 在观察、实验的基础上归纳平面的基本性质；通过用基本性质解释实际事例和证明有关推论，加深对基本性质的理解。会用文字语言、图形语言、集合语言表述平面的基本性质，并会用于进行简单的推理论证；掌握确定平面的方法。 3． 知道平行投影原理，会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、棱锥、棱台）以及长方体的截面等。 4． 通过观察和实验，归纳出空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系。会用图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系；会用反证法证明两条直线是异面直线。 5． 把平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，并对等角定理进行证明。进行空间几何的奠基，发展空间观念。通过用演绎法对空间有关问题进行证明和推算的过程，发展演绎推理能力。（说明1） 6． 引入异面直线所成角的概念，会求简单情形下的异面直线所成的角。（说明2） 平面的基本性质 Ｃ 几何体的直观图 Ｃ 空间直线与平面的位置关系 Ｃ 拓展内容 *“正等测”画法 学习用“正等测”方法画圆锥、球等。 * 镜面对称 将平面上的轴对称推广到空间，通过实例了解镜面对称的概念与性质。 说 明 1．主要在证明平面基本性质的推论和等角定理中学习演绎法在空间几何中的运用。 2．关于直线与平面的位置关系的判定定理与性质定理不作要求。 数据处理 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 1．排列、组合 基 本 内 容 乘法原理 Ｃ 掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的问题情境比较简单。（说明） 排列与排列数 Ｃ 组合与组合数 Ｃ 加法原理 Ｃ 拓 展 内 容 二项式定理 经历导出二项式定理的过程，掌握二项式定理；通过归纳杨辉三角形并展开研究，发展探究能力。 * 趣味的排列组合问题 选取生活实际中的有趣的排列组合问题，进行研究和解决，激发学习兴趣。 * 简单的图论问题 介绍图论的有关概念，了解图论的基本运用，会用图论的有关知识解决简单的最优化问题。 说 明 排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。 专题研究与实践 实 践 活 动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应 用 实 践 集合的应用 通过如调查全班同学家用电器拥有情况的活动，进一步理解实际生活中集合概念的意义及集合运算的应用。（说明1） 生活中的周期现象 调查、观察、分析身边的周期现象，联系数学中的周期函数进行比较和研究。 *三角测量 在实际情境中运用所学的三角知识进行测量和计算。例如可组织测量校园中某一建筑物的高度，或测量东方明珠的高度、黄浦江的宽度等。 *足球中的数学 调查和分析足球比赛中的射门角度、足球的运行轨道、记分等与数学有关的问题，探索所得数学结论的实际价值，加深对数学的理解。 数 学 实 验 *数学软件应用的活动 使用提供的数学软件，进行数学学习和探究的活动；通过这样的活动，学会用现代信息技术进行学习和探索的基本方法，认识现代信息技术的工具价值，激发运用计算机进行数学学习的愿望。（说明2） 解释性实验 通过如截取不同形状的圆锥截面的实验，说明圆锥曲线概念的由来，从而加深对数学内容的理解。 验证性实验 通过如对某个具有实际意义的函数解析式进行数据收集和验证（如牛顿冷却定律）等一些验证性实验活动，了解数学实验的方法，激发数学实验的愿望。 探索性实验 介绍如动态几何软件等数学软件，用模拟实验的方法探索数与形的量化关系，增强探究的意识和能力。（说明3） 说 明 1．调查并汇总本班同学拥有家庭电脑、电视机、冰箱、洗衣机等的情况。（1）用字母来表示集合，如 ={拥有电脑的家庭}， ={拥有电视机的家庭}， ={拥有一台电脑的家庭}，等等。（2）考虑这些集合之间的关系或集合关系的实际意义，如 还是 ？，A B、 表示什么实际意义？ 与 之间是什么关系？等等。（3）集合 中元素的个数与 及 中元素的个数之间有什么关系？等等。 在“专题研究与实践”中，不带“*”的内容含在基础型课程部分；带“*”的内容含在探究（研究）型课程部分。以下同。 2．编选一些实用的数学软件。软件内容可包括拟合法建模、曲线与变化特征研究、解多元线性方程组（四元及四元以上）等。 3．如通过几何软件作出四维空间中的图形，探索点、线、面之间可能具有数量关系。 研 究 课 题 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应用型 正弦函数、余弦函数在现实生活中的应用 通过对现实生活中可化为正弦函数、余弦函数的实际问题的探究，增强应用三角知识的意识。（说明1） 二次函数的实际应用 如利用二次函数最值等性质，解决现实生活中的实际问题，发展数学应用能力。（说明2） 学术型 *参数设计 如运用二次函数解析式的各项系数变化，设计出具有某个特征或符合某种实际意义的二次函数。 *数学规定的合理性研究 如通过对反三角函数定义域的反思、质疑、比较，使学生加深对反三角函数定义域的可行性及合理性的认识。 方法型 类比研究 选择适当的基本知识进行类比研究，初步掌握类比思维的步骤与方法。（说明3） *逼近思想方法运用研究 通过用逼近的思想方法处理实际问题和对中学数学中有关内容的归纳整理，了解逼近思想方法的功能与作用。 说 明 1．例如：在烟道直角拐弯设计中，需要对平面铁板作出裁剪，研究裁剪曲线是什么类型的曲线。 2．可提出问题如： 用 来表示生产 个单位产品的成本函数，则边际成本函数 是指生产 个单位产品到 个单位产品的成本的变化．某牛奶生产公司每周生产的牛奶在20000升到80000升之间，生产 升牛奶的成本函数为 。（1）求出 ；（2）计算40000升时边际成本函数值；（3）在什么范围内成本函数与边际成本函数的单调性是相同的？（4）是否可以使成本函数与边际成本函数同时取得最小值？（5）请你把本题中的边际成本函数的定义尝试运用于函数实际问题，从实际意义看边际成本函数有什么意义？（6）你能对边际成本函数作出其它的定义吗？ 3．可提出问题如： 真命题A：在等差数列 中，若 ，且 ， 则 ； 真命题B：在等比数列 中，若 ，且 ， 则 ； 称这两个真命题具有“加 乘”类比关系。请分别在等差数列和等比数列范围内写出另外一对具有“加 乘”类比关系的真命题。 十 二 年 级 数学I 数与代数 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 9．复数初步 基 本 内 容 数的概念的扩展 Ａ 1． 了解数的产生和发展简史，知道数集扩展的意义；理解复数的有关概念。 2． 建立复平面；会用复平面上的点表示复数；掌握复数的向量表示、复数的模、共轭复数等概念。发展数形结合思想。 3． 掌握复数的四则运算及其运算性质，但不出现繁难的计算。 4． 能解决负数开平方的问题。会在复数集内求实系数一元二次方程的解。（说明） 复数的概念 Ｂ 复平面 C 复数的四则运算 Ｃ 实系数一元二次方程的解 Ｃ 拓展内容 * 简单复数方程的几何意义 通过如 在复平面上表示以原点为圆心、 为半径的圆，了解简单的复数方程的几何意义。 说 明 对于实系数一元二次方程 ，要求：（１）会判断这个方程的根的情况；（２）会求出这个方程的根。 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 10．导数、定积分及其应用 基 本 内 容 函数的极限 B 1．以多项式函数为载体，直观描述函数极限的概念，会对简单的函数进行极限的四则运算。 2．理解变化率的含义；由变化率引入导数的概念，认识导数的本质。 3．建立导数与曲线的切线斜率、变速运动的瞬时速度等之间的联系，理解导数的几何意义和物理意义；会利用导数求简单的代数曲线的切线。 4．理解导函数的意义，会求多项式函数的导函数；会利用导数研究多项式函数的增减性、极值、最大值与最小值。（说明） 变化率与导数 Ｂ 导数的意义 C 导函数 Ｃ 导数的应用 Ｃ 拓展内容 *定积分及其应用 通过探求曲边梯形的面积引入定积分的概念，会求多项式函数的定积分。 会利用多项式函数的定积分计算简单的曲边形面积和旋转体体积。 说 明 关于导数及其应用的学习，主要涉及多项式函数，会利用导数解决简单的问题。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 11．实用数学选讲 基 本 内 容 实用逻辑 Ｃ 1． 通过具体实例，学习“三段论”等简易逻辑知识，使学生对事物能作出合乎逻辑的判断和表达。 2． 列举一些日常生活中的数学问题，在解决问题的过程中进一步体会数学的应用，发展数学应用能力。（说明1） 3． 介绍体育艺术中的有关数学术语，会用数学思想方法解释和处理体育和艺术中的一些问题。通过这些事例进一步认识到数学知识的价值，激发学习数学的愿望。（说明2） 4．从日常生活和活动中，提出简单的规划决策问题，用数学的思想和方法进行研究和设计，理解规划与决策的意义，逐步形成用数学理性思维方式从事规划决策的意识。 日常生活中的数学问题 Ｃ 体育和艺术中的数学问题 Ｃ 简单的规划决策问题 Ｃ 拓展内容 *数学模型 *华罗庚与优选法 介绍华罗庚研究优选法及推广优选法所做的工作。了解数学普及与推广对提高社会生产力的巨大作用。 说明 1． 可介绍一些有关生活环境、经济活动等方面的数学问题，可涉及一些常用的术语，但不要求作系统讨论，尽量降低理论难度。 2． 介绍如举重运动中运动员的体重与所举重量之间的量化模型，竖琴等乐器设计的数学背景，等。 图形与几何 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 5．简单几何体的研究 基 本 内 容 柱体 Ｃ 1． 掌握柱体的有关概念和直棱柱的有关性质、锥体的有关概念和正棱锥的有关性质，会解决柱体和锥体的表面积、体积的计算问题。 2． 类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。 锥体 Ｃ 球 Ｃ 拓展内容 *正多面体 介绍正多面体的概念，制作正多面体模型，探索正多面体的特性。 *数学与文化 介绍如现实世界中的立体图形这样的课题，对现实世界中各种各样的立体图形进行观察和研究，增加对图形的实用性和美的感受。进一步了解数学与社会文化的关联，使学生能够感受到数学在社会进步中的作用。 说 明 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 6．三视图 基 本 内 容 三视图的基本知识 Ｂ 利用实物、模型及其图形表示，了解三视图的特征，能辨识具体模型的三视图和由三视图想象模型。 三视图的画法 Ｃ 掌握画三视图的基本方法，会画简单形体的三视图。 拓展内容 * 画法几何初步 介绍画法几何的初步知识，了解一些基本画法。 说明 数据处理 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 2．概率与统计 基 本 内 容 随机事件与概率 Ｂ 1．通过数据的收集和分析，展示频率出现稳定性的现象。理解随机事件及其概率的意义；知道频率可以作为概率的估计值。（说明1） 2. 在理论层面上对等可能事件的概率进行研究；列举现实生活中和其它学科的事例，说明概率模型及其简单应用。掌握求等可能事件概率的一些常用方法。（说明2） 3. 掌握总体与样本的概念和随机抽样的方法。会用样本估计总体，能对样本观测值进行整理和分析；通过具体实例的研究和统计实习的活动，学习选用合适的统计量去估计总体和体验统计的过程。 4. 能自觉地运用统计与概率初步的知识，观察、思考和处理一些现实问题。（说明3） 等可能事件的概率 Ｃ 总体 Ｃ 抽样调查 Ｃ 统计实习 Ｃ 拓展内容 * 生活中的一些概率与统计问题 提出生活实际中的有关概率与统计的问题进行讨论和解决，加强数学与现实生活的联系，加强概率与统计知识的应用。 说 明 1． 注重实例分析，通过对具体事例的研究加深理解。 2． 常用方法是指处理几何概型的方法和运用排列组合运算的方法，侧重于前者，对于后者限于进行简单排列组合的问题，如：在某个义务献血的人群中，有3人是A型，1人是O型，3人是B型，2人是AB型．如果任意选择4人，那么三人具有相同血型的概率是多少？ 3． 如降雨概率、空气质量指数等术语的数学意义。 专题研究与实践 实　践　活　动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应 用 实 践 画零件的三视图 提供若干个零件，画出它们的三视图，进行展评。 *组合体 用给出的平面材料设计、制作各类空间组合体。 实际问题的调查与统计分析 提出有一定研究价值的实际问题，安排统计实习的具体项目，经历提出问题、收集和整理数据、分析和解释数据、决策和交流、撰写实习报告等活动，体验较为系统的数据统计全过程。增长社会活动经验和实践能力。 数 学 实 验 *解释性数学实验 设计对数学事实或原理进行具体解释的实验，深入体验数学与生活实际的密切联系。（说明） 说明 如设计投硬币等数学解释性实验，使学生理解随机事件的概念。 研　究　课　题 具体要求及活动建议 参考内容 应用型 *金融中的数学 通过对与人们生活密切相关的金融活动的调查分析，并从数学的角度对相应的金融活动作出评析。 说明 十 二 年 级 数学II 数与代数 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 9．复数初步 基 本 内 容 数的概念的扩展 Ａ 1. 了解数的产生和发展简史，知道数集扩展的意义；理解复数的有关概念。 2. 建立复平面。会用复平面上的点表示复数；掌握复数的向量表示、复数的模、共轭复数等概念。发展数形结合思想。 3. 掌握复数的四则运算及其运算性质，但不出现繁难的计算。 4. 能解决负数开平方的问题。会在复数集内求实系数一元二次方程的解。（说明） 复数的概念 Ｂ 复平面 Ｃ 复数的四则运算 Ｃ 实系数一元二次方程的解 Ｃ 拓展内容 * 简单复数方程的几何意义 通过如 在复平面上表示以原点为圆心， 为半径的圆，使学生了解简单复数方程的几何意义。 说 明 对于实系数一元二次方程 ，要求：（１）会判断这个方程的根的情况；（２）会求出这个方程的根。 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 10．导数及其应用 基 本 内 容 函数的极限 B 1．以多项式函数为载体，直观描述函数极限的概念，会对简单的函数进行极限的四则运算。 2．理解变化率的含义；由变化率引入导数的概念，认识导数的本质。 3．建立导数与曲线的切线斜率、变速运动的瞬时速度等之间的联系，理解导数的几何意义和物理意义；会利用导数求简单的代数曲线的切线。 4． 理解导函数的意义，会求多项式函数的导函数；会利用导数研究多项式函数的增减性、极值、最大值与最小值。（说明） 变化率与导数 Ｂ 导数的意义 C 导函数 Ｃ 导数的应用 Ｃ 拓展内容 定积分及其应用 通过探求曲边梯形的面积引入定积分的概念，会求多项式函数的定积分。 会利用定积分计算简单的曲边形面积和旋转体体积。 说 明 关于导数及其应用的学习，主要涉及多项式函数，会利用导数解决简单的问题。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 11．实用数学选讲 基 本 内 容 实用逻辑例说 Ｃ 1. 通过三段论等学习和掌握简易逻辑知识，能对事物能作出合乎逻辑的判断和表达。 2. 通过实例学习和掌握工序流程图的基本知识，并会用于解决简单的问题；进一步确立优化思想。 3. 通过从生产、生活实际中提出简单决策问题，用数学的思想和方法进行研究和解决，理解决策的意义并会解决简单的决策问题；增强风险意识和预测能力。 4. 列举一些经济生活中的数学问题，在解决问题的过程中进一步体会数学的应用，发展数学应用能力，学会理智地参与经济活动。（说明） 工序流程图 Ｃ 1. 简单的决策问题 Ｃ 经济生活中的数学问题 Ｃ 拓展内容 * 数学模型 介绍中学数学中的基本数学模型问题，进一步培养学生的模型思想，学习“数学化”，体验数学建模、求解、解释的全过程。 *华罗庚与优选法 介绍华罗庚研究优选法及推广优选法所做的工作，进一步理解数学的应用和价值，了解数学的普及与推广对提高社会生产力的巨大作用。 说明 可介绍一些经济生活中的数学问题，可涉及一些常用的术语，但不要求系统讨论经济数学问题，尽量降低理论难度。 图形与几何 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 5．简单几何体的研究 基 本 内 容 柱体 Ｃ 1． 掌握柱体的有关概念和直棱柱的有关性质、锥体的有关概念和正棱锥的有关性质，进一步研究柱体和锥体的表面积、体积的计算问题。 2． 类比圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。 锥体 Ｃ 球 Ｃ 拓展内容 *正多面体 介绍正多面体的概念，制作正多面体模型，探索正多面体的特性。 *数学与文化 介绍如现实世界中的立体图形这样的课题，对现实世界中各种各样的立体图形进行观察和研究，增加对图形的实用性和美的感受。进一步了解数学与社会文化的关联，感受数学在社会进步中的作用。 说 明 数据处理 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 2．概率与统计 基 本 内 容 随机事件与概率 Ｂ 1． 通过数据的收集和分析，展示频率出现稳定性的现象。理解随机事件及其概率的意义；知道频率可以作为概率的估计值。（说明1） 2． 在理论层面上对等可能事件的概率进行研究；列举现实生活中和其它学科的事例，说明概率模型及其简单应用。掌握求等可能事件概率的一些常用方法。（说明2） 3． 掌握总体与样本的概念和随机抽样的方法。会用样本估计总体，能对样本观测值进行整理和分析；通过具体实例的研究和统计实习的活动，学习选用合适的统计量去估计总体和体验统计的过程。 4． 能自觉地运用统计与概率初步的知识，观察、思考和处理一些现实问题。（说明3） 等可能事件的概率 Ｃ 总体 Ｃ 抽样调查 Ｃ 统计实习 Ｃ 拓展内容 * 计算机与离散数学 了解离散数学是计算机科学的基础理论与有力工具，计算机科学的崛起推动数学从连续走向离散。 说 明 1． 注重实例分析，通过对具体事例的研究加深理解。 2． 常用方法是指处理几何概型的方法和运用排列组合运算的方法，侧重于前者，对于后者限于进行简单排列组合的问题，如：在某个义务献血的人群中，有3人是A型，1人是O型，3人是B型，2人是AB型．如果任意选择4人，那么三人具有相同血型的概率是多少？ 3． 如降雨概率、空气质量指数等术语的数学意义。 专题研究与实践 实　践　活　动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应 用 实 践 *空间几何与生活 通过如空间图形与建筑设计、用计算机设计空间图形、空间四子游戏等形式多样的数学活动，激发学生数学学习兴趣，引起对自己生活空间的几何形态的关注和思考。 实际问题的调查与统计分析 提出有一定研究价值的实际问题，安排统计实习的具体项目，让学生通过提出问题、收集和整理数据、分析和解释数据、决策和交流、撰写实习报告等活动，体验较为系统的数据统计全过程。增长社会活动经验和实践能力。 *经济数学活动的实践与研究 在现实生活中选取课题，组织进行实践，写出研究报告。 数 学 实 验 *验证性数学实验 通过数学实验如浦丰投针问题等验证性实验了解数学实验的方法，激发学生数学实验的愿望。 说明 研　究　课　题 具体要求及活动建议 参考内容 应用型 *金融中的数学 通过对与人们生活密切相关的金融活动的调查分析，从数学的角度对相应的金融活动作出评析。 方法型 *数学知识与方法选择性研究 研究如何选择适当的数学知识与方法解决具体问题，如利用工序流程的基本原理对自己某个日常行程作出优化与安排。 说明 十 二 年 级 数学III 数与代数 学 习 主 题 学习 水平 　　具体要求及活动建议 9．复数初步 基 本 内 容 数的概念的扩展 Ａ 1． 了解数的产生和发展简史，知道数集扩展的意义和扩展的基本原理；理解复数及有关概念。进一步树立辩证唯物主义观点。 2． 建立复平面，用复平面上的点表示复数；掌握复数的向量表示、复数的模、共轭复数等概念；发展数形结合思想，进一步提高数学符号变换的能力；会用复数关系式描述复平面上简单的几何图形。（说明1） 3． 掌握复数的四则运算及其运算性质，但不出现繁难的计算。理解复数加减法的几何意义， 4． 会解决负数开平方的问题，通过用比较的方法讨论在复数集内解实系数一元二次方程的问题，完整掌握实系数一元二次方程的解，完善实系数一元二次方程的基本理论。（说明2） 5． 理解共轭复数的四则运算性质，通过讨论实系数一元n次方程的根的情况，导出并了解共轭虚根定理。（说明3） 复数的概念 Ｂ 复平面 Ｃ 复数的四则运算 Ｃ 实系数一元二次方程的解 Ｃ 共轭虚根定理 Ｂ 拓 展 内 容 *复数的三角形式 　掌握复数的三角形式，掌握三角形式表示的复数的乘法、除法、乘方及开方运算；理解复数乘法、除法的几何意义。 说 明 1． 在学习复数的几何表示、复数的模和共轭复数的基础上，可进一步研究用复数方程表示平面区域和线段的垂直平分线、圆、椭圆、双曲线等，并用来解决简单的问题，加强数与形的结合。 例如：已知复数 满足 ，求辐角主值取得最大值时的复数 ． 2． 例如： 对于实系数一元二次方程 ，要求（１）会判断这个方程的根的情况；（２）会求出这个方程的根。 3． 例如： 对于已知方程 （ ）有一根为 ，要求（１）会求这个方程的另两个根；（２）会求方程中的 的值。 学 习 主 题 学习 水平 　具体要求及活动建议 10．导数及其应用 基 本 内 容 函数的极限 B 1．以多项式函数为载体，直观描述函数极限的概念；会对简单的函数进行极限的四则运算，知道连续函数的意义。 2．理解变化率的含义；由变化率引入导数的概念，认识导数的本质。 3．建立导数与曲线的切线斜率、变速运动的瞬时速度等之间的联系，理解导数的几何意义和物理意义；会利用导数求简单的代数曲线的切线。 4．理解导函数的意义，会求多项式函数的导函数；会利用导数研究多项式函数的增减性、极值、最大值与最小值。（说明） 变化率与导数 Ｂ 导数的意义 C 导函数 Ｃ 导数的应用 Ｃ 拓展内容 定积分及其应用 通过探求曲边梯形的面积引入定积分的概念，会求多项式函数的定积分。 会利用定积分计算简单的曲边形面积和旋转体体积。 *微积分初步 在学习多项式函数的导函数的基础上，进一步研究三角函数的导函数、复合函数求导、定积分等。 说 明 关于导数及其应用的学习，主要涉及多项式函数，会利用导数解决简单的问题。 图形与几何 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 　　　 5．参数方程和极坐标 基 本 内 容 参数方程 Ｂ 1． 理解参数方程的意义，领会建立曲线的参数方程的方法；知道一些常见曲线的参数方程，掌握参数方程与直角坐标方程的互化。（说明） 2． 通过实例引入极坐标系，掌握极坐标与直角坐标的互化，领会建立曲线的参数方程的方法，会在简单情形下进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。加深对坐标法的认识。 极坐标 Ｃ 拓 展 内容 参数方程的应用 掌握直线和圆锥曲线的参数方程，并能用于解决一些简单的几何问题；形成参数思想并懂得参数法的基本运用。 * 圆锥曲线的统一极坐标 方程 建立圆锥曲线的统一概念，了解圆锥曲线的统一极坐标方程。 说 明 可借助计算机或图象计算器对曲线的参数方程进行研究，加深对曲线参数方程的理解，强化数形结合观点。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 6．空间向量 基 本 内 容 空间向量的概念及其运算 Ｃ 1． 把平面向量的有关概念及其运算推广到空间，并理解其意义。掌握空间向量的线性运算和数量积；进一步掌握类比和推广的数学思维方法。 2． 引进基向量，理解空间向量分解定理。懂得用三个不共面向量的线性组合可以把空间任一向量表示出来。 3． 理解向量积的概念，掌握它的运算法则和基本性质。 4． 建立空间直角坐标系，会用坐标表示空间向量，会把空间向量的运算化为坐标运算。 空间向量分解定理 Ｂ 向量的向量积 Ｃ 空间向量及其运算的坐标表示 Ｃ 拓展内容 * 平面的点法向式方程 引入平面的法向量概念，理解空间直角坐标系中平面的点法向式方程。（说明） * 向量的运算及其应用 进一步熟悉向量的各种运算，知道向量积与平行四边形面积、混合积与平行六体体积之间的联系。了解向量在物理及其他学科领域中的应用。 说明 不要求用坐标法对空间直线和平面进一步展开解析研究。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 7．直线与平面 基 本 内 容 直线和平面的平行关系 Ｃ 1． 掌握直线的平行向量与平面的法向量的概念，会把线面的平行及垂直关系转化为向量关系。在此基础上，会用向量方法判定线面的平行与垂直，以及用于解决一些简单的几何证明问题。领会转化思想。（说明） 2． 掌握点到直线、点到平面、异面直线间、平行线面间、平行平面间的距离的概念，会在简单的空间图形中用向量方法进行有关距离的计算。 3． 掌握直线和平面所成的角、二面角等概念，会在简单的空间图形中用向量方法进行有关角的度量计算。 平面和平面的平行关系 Ｃ 直线和平面的垂直关系 Ｃ 平面和平面的垂直关系 Ｃ 距离和角 Ｃ 拓 展 内 容 简单几何体的研究 对柱、锥、球进行研究。掌握柱体的有关概念和直棱柱的有关性质、锥体的有关概念和正棱锥的有关性质，会解决柱体和棱体中的有关线面关系问题及计算问题。类比圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学与实际的联系。 * 三垂线定理 通过对三垂线定理的研究，了解用向量方法证明空间几何问题的思路。 * 空间中的对称与旋转变换 发展图形运动的观点和几何变换的思想。 * 多面体与欧拉公式 拓展对多面体的认识，探索多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系。 * 分形几何 通过讲座等形式介绍分形几何、混沌的有关知识。 * 混沌 说 明 关于线面平行与垂直的问题，主要用向量方法来解决；可引入线面平行与垂直的判定定理和性质定理，但对于有关定理的运用不再作演绎论证方面的展开。对空间几何问题的处理，可以灵活运用向量法、综合法、集合方法等。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 2．概 率 基 本 内 容 随机事件与概率 Ｂ 1． 通过数据的收集和分析，展示频率出现稳定性的现象。理解随机事件及其概率的意义；知道频率可以作为概率的估计值。（说明1） 2． 在理论层面上研究等可能事件的概率，列举现实生活中和其它学科的事例，说明概率模型及其简单应用。掌握求等可能事件概率的一些常用方法。（说明2） 3． 学习互斥事件和相互独立事件；掌握互斥事件和相互独立事件的概率计算方法。（说明3） 4． 能自觉地运用概率初步的知识，观察、思考和处理一些现实问题。 等可能事件的概率 Ｂ 5． 互斥事件的概率 Ｂ 6． 相互独立事件的概率 Ｂ 拓展内容 独立重复试验的概率 通过实例展现独立重复试验的实际背景，理解独立重复试验的意义，会求事件在概率试验中恰好发生k次概率。 说明 1． 用简单的实例引入有关概念；注意控制理论难度。 2． 涉及到排列组合的运用。 3． 注重实例分析，通过对具体事例的研究加深理解。 学 习 主 题 学习 水平 具体要求及活动建议 3．统 计 基 本 内 容 总体 Ｃ 掌握总体与样本的概念和随机抽样的方法。会用样本估计总体，能对样本观测值进行整理和分析。通过具体实例的研究和统计实习的活动，学习选用合适的统计量去估计总体和体验统计的过程。 抽样调查 Ｃ 统计实习 Ｃ 拓 展 内 容 随机变量的分布列及数字特征 理解随机变量、随机变量分布列的概念及其数字特征。会根据随机变量分布列求出期望值和方差。 总体分布 学习总体分布及其表示方法，重点研究正态分布，学会用曲线描述正态分布；在知道总体服从正态分布后，会进行有关的比例估计。能运用统计初步的知识，观察、思考和处理一些现实问题。 正态分布 *线性回归 知道回归分析法，重点研究一元线性回归并会用于解决简单的实际问题。 *统计实际应用的专题调查 组织项目学习，了解应用统计知识解决实际问题的全过程。 说 明 专题研究与实践 实 践 活 动 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应 用 实 践 *实际生活中的几何问题 通过形式多样的数学活动，发展数学学习的兴趣，引起对自己生活空间中的几何形态的关注和思考。（说明） 实际问题的调查与统计分析 提出有一定研究价值的实际问题，安排统计实习的具体项目。经历提出问题、收集和整理数据、分析和解释数据、决策和交流、撰写实习报告等活动，体验较为系统的数据统计全过程。增长社会活动经验和实践能力。 数 学 实 验 *探索性数学实验 通过如浦丰投针问题等探索性数学实验了解数学实验的方法，激发用数学方法探索现实世界的愿望。 说明 例如空间图形与建筑设计；用计算机设计空间图形；空间四子游戏等。 研究课题 具体要求及活动建议 参 考 内 容 应用型 *经济数学活动的实践与研究 在现实经济生活中选取课题，组织进行实践，写出研究报告。体验数学实际应用过程 学术型 *向量积和混合积运算 引入混合积的概念，利用有关软件进行向量积和混合积运算，并进一步探究它们的运算性质。 方法型 极坐标系中的曲线的研究 运用计算工具，特别是借助计算机或图象计算器对极坐标系中的曲线进行研究，理解数学方法创新的意义，并加深对数学美的体验。（说明） 说明 例如研究等速螺线、渐开线、玫瑰线等。 五、实施意见 （一）教材编写 1. 教材体系框架的设计 数学教材体系的设计，应全面关注教学目标，显示体现目标的数学活动内容，展现通往目标的有效途径。构建数学教材体系的基本框架是—— 纵向按数学知识内容排列，以最基本的数学知识为主干，各项知识互相穿插，由浅入深地螺旋上升； 横向按实施形态分类，以培养可持续发展能力为线索，将数学知识构建和数学问题解决等各种活动，贯穿所有相关内容。 2. 教材内容的选取 数学的基本知识，是学生继续学习以及智力开发、能力发展的基本条件。教材的基本知识内容，按“数与代数”、“图形与几何”、“数据处理”等领域选取。必须注意： （1） 突出基础性。 按照“需要与可行相结合”和“加强主干、精中求简” 的原则，精选终生学习必备的、具有广泛基础性和应用性而且是学生可能接受的数学基本知识和技能，作为教材的基本知识内容。 （2） 重视现实性。 教材内容要与现实生活密切联系，以多样化的方式呈现数学抽象、推理和应用的完整过程。应强调增强应用，从生活实际和学生知识背景以及其它学科提出问题来引入数学知识和发展数学概念；在数学问题解决、课题研究以及实践活动中发展数学能力。 （3） 体现先进性。 教材内容要有时代气息，反映社会进步和科技发展对数学课程内容的要求，体现经济、文化比较发达地区的特点。通过对数学基础知识的重新审视，精简传统数学内容，渗透近现代数学的基本内容和观点，积极推进数学教材现代化；通过对数学发展情况、工农业生产和科学技术新成果的介绍，以及现代信息技术的应用等，展示数学教材的时代特征。 教材应结合具体内容安排应用计算机（计算器）技术的基本训练，指导学生利用计算机（计算器）软件及技术进一步探索研究有关数学问题。 （4） 加强教育性。 教材内容要注意思想性和教育性。根据数学学科的特点，结合具体内容，编选一些通俗的数学史和人文性材料，采用隐性与显性相结合的方式，切实加强学科的德育功能。 3. 教材内容的编排 教材的编写，在基本内容和要求整体落实的前提下，可以在同一学段内对具体内容安排的前后顺序与组织结构进行调整，以形成不同的风格和特点。 教材内容的编排，应该遵循下列原则： （1）顺理成章。 要把握“数与代数”、“图形与几何”、“数据处理”等各个知识系统发展的逻辑顺序，同时关注它们之间的相互联系和渗透，经过教学法的加工处理，使各系统的内容在交错编排中协调配合、相互衔接、顺理成章。 （2）深入浅出。 要体现“高观点与低起点、严谨性与直观性”的和谐统一，力求做到深入浅出，平实近人，简明易学。 （3）螺旋递进。 要体现知识的生成和发展过程，关注学习效果的累积和上升过程，合理安排内容，由低到高螺旋递进。要重视创设问题情境和设计解决问题的活动，知识内容的展开，要遵循由感性到理性、由简单到复杂、由具体到抽象的认知规律；对难度较大的重要内容，可采用“孕伏—发展—形成—上升”的处理方式。 （4）纵横兼顾。 在纵向上，要注意各个年级和学段的数学内容之间的相互衔接，关注数学各知识系统的整体协调；在横向上，要注意数学课程各部分之间的相互联系和数学知识的综合运用，关注与其它学科之间的相互配合和有机渗透。 常用的数学专业名词必须用英文标注。教材内容的教学设计总时数不超过规定课时总量的90%，留有10%的余地由教师调节使用。 4．数学训练系统的组建 数学训练系统是教材的重要组成部分。这个系统包括为形成数学概念或引出有关定理、法则、公式等而设置的问题情境；为指导学生理解、运用有关知识而安排的例题；为学生开展解题活动和参与数学实践而提供的各种训练题等。数学训练是数学教学的一种基本活动，而数学习题是组织数学训练的主要载体，也是教材中能展现学生才能和创新能力的最具活力的成分。必须高度重视数学训练系统的组建。 （1） 兼顾“基础与发展”的需要，组建合理的数学训练系统。 数学训练应根据学生当前学习和长远发展的需要，进行整体设计、系统安排，形成综合效应。数学训练系统的组建，要有注重于数学知识的构建和巩固的基础性训练，还要有注重于数学知识应用和创新的发展性训练。训练内容的安排，纵向按数学知识的螺旋上升有序展开；横向将构建知识、形成概念的训练和问题解决的训练合理搭配，使理解性的训练和探索性的训练协调互补。 （2） 拓展习题观念，精心编选习题。 数学训练的习题，不能局限于巩固知识、操练技能和对常规问题的解决，应有注重预感试验、尝试、归纳、猜想、类比等非形式推理的问题，有条件不完备、解题策略多样或结论不确定的开放性问题，有在求解时无现成步骤可循的非常规问题；还要有数学建模问题，有来自生产、生活实际或与其他学科相联系的数学课题，有应用数学于工作的调查、实践或研究项目等。 习题的编选，在整体上应体现数学训练的各方面的要求，特别要重视习题与现实生活的联系，尽可能多方面地反映国情、科学成就、生产和生活实际；还要注意多样性、趣味性、层次性、可选择性和可行性，既有覆盖面又突出教学重点，题量适当，有易有难，形成坡度。对于所选用的习题，要重视科学性、思想性、典型性和启发性；并依据教材内容和学生认知发展水平，合理配置，适当组合。 5．教材配套材料的编制 （1） 教学参考书。 教学参考书的内容包括：介绍教材的编写意图，揭示教材中蕴含的数学思想；论述教材和各单元的内容概要，详细分析各章节知识在教材中的地位和作用、前后知识的联系、教学的重点难点和关键、实施教学的建议；介绍章节教学的多种设计方案；说明例题、习题的编排意图，提供习题的答案或提示；提供与教材有关的实际背景材料和人文性资料，介绍有关的现代信息技术资料。 （2） 教学媒体。 根据教材内容的特点以及促进学生主动学习和教师创造性教学的要求，设计和制作教学中必需的教具、学具、挂图、录象片、投影片；研制计算机辅助教学的软件等。 有些拓展内容和数学史料，可制作光盘或其他电子教材提供学生自主学习。 （二）教学活动 1. 教学方式 （1）体现学生是学习主体的地位，反映“知数学”与“做数学”的统一。 学生学习数学是一个连续不断地主动建构的过程；学生学习数学的“知”只有通过自身的操作活动和主动参与的“做”才可能是有效的，只有通过自身的情感体验，形成主体的知识结构，学习才可能是成功的。在教学中，应确立和尊重学生在学习活动中的主体地位，正确处理好知识构建、操作活动、情感体验三者之间的关系，促进学生有效学习和不断取得成功。 （2）强调让学生“会学”，有效地改进学生的学习方式。 学生学习数学的方式，按学习心理过程特点进行区分，有教师主导取向的接受性学习和学生自主取向的探究（研究）性学习两种方式。在学生数学学习的过程中，接受性学习是一种不可缺少的学习方式，同时要提倡探究（研究）性学习的方式，这两种学习方式的优势互补是促使学生达到基础与发展平衡的重要的条件。随着学生学习经验的增长和能力的提高，应该逐步增加探究（研究）性学习活动。 无论采用哪种方式实施教学，都要切实关注学生主体意识的形成和自主学习能力的培养，创造条件和机会让学生主动、能动地学，促进学生学会学习。要坚决废止注入式，应把教学视为引导学生参与知识形成的活动过程，积极实行启发式和讨论式教学；应重视设计有直觉、想象、猜测、证明的教学程序，使学生有机会进行尝试、探究和体验。还要提供适当的机会，让学生经历“通过观察现实生活中的数学现象提出问题 对问题进行假想性解释或预测 搜集相关信息从数学方面（知识或方法）进行探索性研究 获得数学研究结果 证实或推翻假想性解释或预测 提出新问题 ……”的科学研究的过程。 2. 教学策略 （1）全面把握知识教学的要求。 知识教学是实施教学的重要方面。知识的存在形式有显性和隐性两种，相 应的有“明确知识”和“默会知识”。在数学教学中，除了对数学概念、公式、法则、公理、定理以及操作技能等 “明确知识”的学习外，还要重视学生对“默会知识”的获取。 “默会知识”大量存在于学生的生活中，大多形成于学生对“明确知识”的个性化理解和实践化应用的过程中，学生只有通过亲身的实践、体验和运用才能获得。在数学教学中，要重视对数学“明确知识”中蕴含的数学思想方法的揭示、对学生的数学观念的培育，同时通过加强实践教学和数学应用，使学生获得对“数学的价值”、“数学的领悟”、“数学的思考”、“解决问题的策略”、“批判和反驳”等的体会，经历对“怎样做”进行选择、确定、实施的过程，在摸索、领悟和交流中增长“默会知识”。 （2）重视教学的开放性。 数学教学应该建立民主、平等、和谐的师生关系，在相对宽松的教学氛围中，赋予学生更大的自主权和学习的责任感，最大限度地提高学生学习活动的自由度。应采取“开放性”的教学策略，为学生提供更多的机会和时间，让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结等，促使学生的思维空间充分开放；同时应根据学生创造性学习的需要，进一步为学生提供开放性的学习内容、开放性的教育资源、开放性的教学形式，让学生在积极探索和思考的过程中，逐步形成一种以创新的精神来看待问题和思考问题，从更广阔的领域去获取知识和应用知识的心理品质。 在数学教学中，不能随意把数学概念绝对化，防止使前阶段概念的片面强化成为后阶段相关概念学习的障碍。要让学生懂得用辩证的思想和发展的观点看问题；不能强求数学问题解答标准化，要让学生形成“正确的答案可能不至一个”的认识，鼓励学生进行求异思维和大胆发表独特见解。 （3）有效应用现代信息技术。 现代信息技术进入数学课堂大大地拓宽了数学学习的渠道和促进了学生学习方式的改变。教学的过程，应为发挥信息技术的作用留下足够的空间；在教师有计划、有步骤应用现代信息技术帮助学生学习的同时，提倡学生自主选择数学软件、网上下载收集信息探索问题和解决问题。还要充分利用信息技术来改进数学教学的过程和改善学生学习的方式。 （4）尊重学生现有的认知水平和个性差异。 数学教学活动应从学生现有的认知水平和知识经验出发，以学生的最近发展区为指向，允许学生采用适合自己个性的方法进行学习；提倡教师给学生留下在课后进一步思考的问题；也提倡学生根据自己的爱好和能力，对本标准之外的数学知识自主进行探索与运用。 （5）坚持主导原则下的平衡与兼顾。 数学教学过程受到众多因素的制约和共同作用。在教学实施中要注意教学方式、方法的多样化，要重视概念理解、技能训练与问题解决的平衡兼顾。 合作学习与个体学习是具有相对意义的两种教学组织形式。在教学中，既要倡导学生自主探索、独立钻研，又要重视学生之间的互助与合作；应根据不同的学习年段、不同的学习内容和学生的数学认知水平，适当安排独立探究与合作交流活动。 成功与挫折是具有重要价值的两种学习体验。要让学生不断获得成就感，确立学好数学的自信心，享受成功的快乐；又能面对适度的困难和经受一定的挫折，培养坚毅不拔的意志和良好的心理品质。 3. 数学训练 数学训练应该强调其要求分层次，形式多样化。要考虑学生群体的个性差异和不同层次、不同发展方向上的学生的不同需要，要注意不同形式的训练具有不同的功效，利用多样和可选择的习题，设计分层次和多样化的训练，使所有学生都能得到与其发展需要相适应的严格的数学训练。 （三）学习评价 1．评价主体与责任 教师和有关机构对学生数学学习的评价不只是一种权利的体现，更重要的应是促进学生数学学习的一种责任。在行使评价权利的时候，要尽可能排除非数学教育范围里的因素的影响，同时对重要评价要建立确实有效的监督机制与协调机制。 学生是被评价的对象，也应成为评价的主体。在学习评价活动中，学生有评价他人学习表现的责任，还有自我评价的权利。应给学生自我评价的机会，创设一个学生可自主展示自己才华的空间；要让学生更多地发挥主体作用，发展学生的元认知能力。 2. 评价目的与要求 数学学习评价不应只是认定，更重要的是激励和调控。评价的主要目的，就是通过对学生学习数学的行为、态度和所取得的进展的判断，使学生正确认识自己，增强学习数学的自信心，获得真实的成就感；引导和鼓励学生继续努力学习，切实改善学习态度，改进学习方法，在个性方向上充分发展、不断进步；同时使教师更好地了解学生的数学学习程度和需要，进行正确的教学决策，切实改进教学。 评价的依据是课程目标。本标准所提出的数学课程目标，是指各学段终结时的目标；在教学过程中，还要确定每一个教学阶段的具体目标，直至每一节课的学习目标，由此构成形成性的学习目标系列。数学学习评价，不仅是对每一学段的终结性评价，还包括评价学生在各阶段数学学习的发展过程并考察其对于学习目标的达成度，包括对每一节课达成学习目标的情况分析。学习评价是数学教育活动的有机组成部分，其主要关注点是： ●数学学习的兴趣和态度——对数学价值的理解，对自我实现的追求，对主体精神的发扬；对现实生活中的数学现象的好奇心，对数学信息的敏感性，对参与数学活动的积极性；对待困难的坚毅性，体验数学过程的自觉性，学习数学的自信心，数学学习的良好习惯和方法的养成。 ●数学认知水平——对数学知识和技能的掌握程度，数学基础能力的发展水平。 ●数学学习的潜能和创新精神——数学学习过程中的行为特点，独立思考能力和合作精神，提出问题和探究活动的能力，自主学习能力和自我监控能力，表达和交流能力。 在评价的实施中，必须充分尊重学生，保护学生的自尊心；要建立与因材施教、因人定教相一致的多元评价和分层评价体制。具体实施评价时，既要重视全面性和整体性，又要有明确的侧重方面，确定适当的评价方式和方法。 3. 评价方式与方法 数学学习评价应采用多种多样的形式和方法，全面地、动态地、综合地进行评价。不仅要评价学生通过数学学习所取得的成果和达到的水平，更要重视学生在学习过程中的变化和发展，关注学生在学习活动中所表现出来的主体精神、进取态度、行为习惯、思维品质和学习潜能。 （1）提倡动态性评价。 动态性评价是指数学活动过程中以期实现学习目标的持续不断的评价，这种评价的目的不在于水平层次的评定，而是对学生达成学习目标的启发和引导，强调评价者与被评价者之间相互理解与及时沟通。 评价内容包括： ●评判学生在数学学习中已经知道什么，对学生的可发展的方向提出建议； ●评判学生在数学学习中所取得的进展，对学生的进一步发展提出指导性意见； ●诊断学生在数学学习过程中遇到的障碍性问题，提出克服障碍的措施； ●分析数学教学活动的实际情况和师生的表现，对预期学习目标作出判断并在必要时进行修正； ●及时评判学生在数学学习中相对于预期学习目标的达成度，引导学生向预期目标或新的目标奋发进取。 （2）提倡过程性评价。 数学学习评价不应只是对结果的评价，还应当有对学生在数学活动过程中表现出来的思想、品德、习惯、态度以及学习的方式和方法等的评价。 评价内容包括： ●主动参与数学学习活动的表现； ●学习数学的自信心和意志力的表现； ●独立思考和自主探索、解决问题的表现； ●与他人合作和完成所承担的任务的表现； ●数学表达和交流的表现； ●反思学习过程的意识和习惯。 （3）提倡评价方式方法的多样化。 要逐步形成多种多样的数学学习评价方法，进而建立评价方法体系。在实施中，应根据不同的评价内容和要求，选择使用不同的评价方法。可采用的方法有： ●书面考试（测验），作业检查； ●口头答辩，个别谈话，问卷调查； ●展示手工制作、专项设计和人机结合的作品； ●评议数学学习的小结、数学实践活动的报告、数学专题研究的小论文； ●评议课内外进行数学学习的态度、行为、习惯、方法等。 评价实施的途径应有多向性，实行他评与自评相结合、集中与分散相结合、静态与动态相结合。评价的方式也要多样化，可采用的方式有： ●教育部门组织评价； ●教师组织评价； ●学生的自主评价和相互评价； ●学生家长和社会评价。 4．评价结果与解释 对于学习评价结果的报告与解释，必须全面体现评价的目的和要求。 （1）提倡定量评价与定性评价相结合。 对学生的学期、学年和学段的数学学习评价采用综合评价的方式。评价结果的表述采用“分数（百分制）+ 等第（优、良、及格、不及格）+评语”的方式。 对“专题研究与实践”的学习评价结果宜采用“等第+评语”的评价方式。 （2）提倡统一性与灵活性相结合。 对于统一要求的、规定性的形成性学习评价活动，其结果的报告与解释既要重视统一要求，更要强调它对学生的“形成”、“改进”的激励作用和引导作用，为此可采取一些灵活处理的做法。还可以有不作统一要求的、个别化的形成性学习评价活动，加强评价的针对性和教育性。 对数学学习情况的平时检测和单元测验，学校可以允许学生在补习的基础上重新实施个别化测试，并采取“可变分数”评定该次测验的成绩。 对学生在“专题研究与实践”活动中取得的学习成果，可以组织评审，进行成果认定。如果所取得的成果经过评审被认定有一定的价值，那么这一成果不仅是对学生进行综合评价的内容之一，还应成为考察学生学习潜能的重要材料。 （四）保障措施 贯彻实施数学课程标准，需要有一定的教育内部条件和外部条件作保证，这里特别提出以下保障措施。 1．加强学校数学教研组的建设 数学教研组要成为学校组织开展数学教学改革和研究的基地，成为数学教师进行培训和进修、提高的基地。教研组要有称职的组长，有一个由骨干教师形成的核心，有团结、协作的氛围和朝气蓬勃、奋发向上的风貌，有良好的学术风气和研究风气。教研组要有明确的规章制度，要经常性地开展学习和研究活动，有计划地组织课题研究和专题研讨，充分发挥基地作用。 2．提高数学教师队伍的素质 提高教师的素质和水平，是教育成功的关键。数学教师要有崇高的事业心和高度的责任感，敬业爱生，勤奋踏实，勇于改革，不断进取；要有扎实的知识功底和精湛的教学技艺，高屋建瓴，春风化雨，胜任工作，发挥效能。只有教师的观念得到更新，才能在数学课程实施中有积极、自觉的行动；只有教师对数学有深刻的理解并掌握现代信息技术的应用，才能期望在教学中有创新的设计并获得较大的成功；只有教师对教学有反思的习惯和能力，才能在教学实践中不断取得进步和提高。 3．完善以计算机为中心的多媒体技术相关设备的配置 学校应为在数学教学中合理应用多媒体技术提供必要的设备；有条件的学校要逐步建立数学实验室。 数学教师必须掌握多媒体技术教学应用的基本技能；学校数学教研组有一批在应用多媒体技术方面达到较高水平的骨干教师，在合理使用已有的课件实施教学、进行课件的开发和管理、指导学生利用网络进行学习等方面起带头、引路的作用。 数量 总价 单价 蛋糕 饼干 月饼 商品名称 5 8 7 6 =（ ）个 PAGE 14 _1039775563.unknown _1051857278.unknown _1071508440.unknown _1087545309.unknown _1089448003.unknown _1089448024.unknown _1087545348.unknown _1087545401.unknown _1087545414.unknown _1087545373.unknown _1087545325.unknown _1084005590.unknown _1087545296.unknown _1087545259.unknown _1071578281.unknown _1072595250.unknown _1071749001.unknown _1071575640.unknown _1071575685.unknown _1071555978.unknown _1061299735.unknown _1061549553.unknown _1071508335.unknown _1061301012.unknown _1052480249.unknown _1052480486.unknown _1052464805.unknown _1052464852.unknown _1051859958.unknown _1044601987.unknown _1044681093.unknown _1044681125.unknown _1044682123.doc _1044682443.doc _1044681153.unknown _1044681124.unknown _1044602047.unknown _1044681070.unknown _1044602223.unknown _1044602031.unknown _1039776290.unknown _1039776827.unknown _1039775979.unknown _1039518458.unknown _1039519372.unknown _1039519936.unknown _1039520110.unknown _1039521596.unknown _1039520074.unknown _1039519911.unknown _1039518700.unknown _1039519259.unknown _1039518480.unknown _1035899157.unknown _1038804076.unknown _1039365881.unknown _1039369999.unknown _1039518447.unknown _1039369878.unknown _1039365933.unknown _1038804126.unknown _1039365858.unknown _1038804125.unknown _1038804071.unknown _1038804074.unknown _1038804075.unknown _1038804073.unknown _1037103744.unknown _1038804069.unknown _1038804070.unknown _1038804067.unknown _1037104218.unknown _1037103619.unknown _1037103686.unknown _1037102689.unknown _1002046921.unknown _1002047089.unknown _1016124937.unknown _1035553053.unknown _1035553006.unknown _1016123362.unknown _1002046933.unknown _1002046958.unknown _1002046841.unknown _1002046892.unknown _997078490.unknown