第七章 不等式
第一节 简单不等式及其解法
一、选择题
1.(2009安徽卷理)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是
A.p:>b+d , q:>b且c>d
B.p:a>1,b>1 q:的图像不过第二象限
C.p: x=1, q:
D.p:a>1, q: 在上为增函数
A
解析 由>b且c>d>b+d,而由>b+d >b且c>d,可举反例。选A。
2.(2009安徽卷文)“”是“且”的
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 A
解析 易得时必有.若时,则可能有,选A。
3.(2009四川卷文)已知,,,为实数,且>.则“>”是“->-”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 B
解析 显然,充分性不成立.又,若->-和>都成立,则同向不等式相加得>
即由“->-”“>”
4.(2009天津卷理),若关于x 的不等式>的解集中的整数恰有3个,则
A. B. C. D.
答案 C
5.(2009四川卷理)已知为实数,且。则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑,基础题。(同文7)
答案 B
解析 推不出;但,故选择B。
解析2:令,则;由可得,因为,则,所以。故“”是“”的必要而不充分条件。
6.(2009重庆卷理)不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为对任意x恒成立,所以
二、填空题
7.(2009年上海卷理)若行列式中,元素4的代数余子式大于0,
则x满足的条件是________________________ .
答案
解析 依题意,得: (-1)2×(9x-24)>0,解得:
三、解答题
8.(2009江苏卷)(本小题满分16分)
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单
价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度
为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的
单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与
卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的
达式;当时,求证:=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最
大的综合满意度为多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和
同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽
象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)
当时,,
, =
(2)当时,
由,
故当即时,
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
(3)(方法一)由(2)知:=
由得:,
令则,即:。
同理,由得:
另一方面,
当且仅当,即=时,取等号。
所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立。
第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
2005--2008年高考题
一、选择题
1.(2008天津)已知函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
答案 A
2.(2008江西)若,则下列代数式中值最大
的是
( )
A. B. C. D.
答案 A
3.(2008浙江)已知,b都是实数,那么“”是“>b”的( )
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 D
4.(2008海南)已知,则使得都成立的取值范
围是
( )
A.(0,)
B. (0,)
C. (0,)
D. (0,)
答案 B
5、(2008山东)不等式的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C;由排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
答案D
6、(2007广东)设,若,则下列不等式中正确的是( )
A、 B、 C、 D、
解析 利用赋值法:令排除A,B,C,选D
答案 D
7、(2007湖南).不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
8.(2007福建)已知集合A=,B=,且,则实数
的取值范围是
( )
A. B. a<1 C. D.a>2
答案 C
9.(2007安徽)若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( )
(A)a<-1 (B)≤1 (C) <1 D.a≥1
答案 B
10.(2007浙江)“x>1”是“x2>x”的
( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
答案 A
11.(2007湖南)1.不等式的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
答案D
12.(2007广东).已知集合M={x|1+x>0},N={x|>0},则M∩N=
( )
A.{x|-1≤x<1 B.{x|x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x≥-1}
答案C
13.(2006安徽)不等式的解集是
( )
A. B. C. D.
答案 D
解:由得:,即,故选D
14.(2006山东)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2)
答案 C
15、(2006江西)若a(0,b(0,则不等式-b((a等价于( )
A.(x(0或0(x( B.-(x( C.x(-或x( D.x(或x(
答案 D
解析
故选D
16.(2006上海)如果,那么,下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如果,那么,∴ ,选A.
答案A
17.(2006上海春)若,则下列不等式成立的是( )
A.. B.. C..D..
答案 C
解析 应用间接排除法.取a=1,b=0,排除A. 取a=0,b=-1,排除B; 取c=0,排除D.故应该选C.显然 ,对不等式a>b的两边同时乘以 ,立得 成立
18.(2006年陕西)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为
( )
(A)8 (B)6 C.4 D.2
答案D
19.(2005福建)不等式的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
20. (2005辽宁)在R上定义运算若不等式对任意实数成立,则
( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
21. (2005山东),下列不等式一定成立的是
( )
A.B.
C.
D.
答案 A
2、 填空题
22、(2008上海)不等式的解集是 .
答案 (0,2)
23.(2008山东)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围 .
答案 (5,7).
24.(2008江西)不等式的解集为 .
答案
25.(2007北京)已知集合,.若,则实数的取值范围是
(2,3)
.
26.(2006江苏)不等式的解集为
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法
答案
解析 ,0〈,.
解得
27.(2006浙江)不等式的解集是 。.
答案 x(-1或x(2
解析 ((x+1)(x-2)(0(x(-1或x(2.
28.(2006上海)不等式的解集是 .
答案 .
解析 应用结论: .不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0,也就是 ,所以 ,从而应填 .
三、解答题
29.(2007北京)记关于的不等式的解集为,不等式的解集为.
(I)若,求;
(II)若,求正数的取值范围.
解:(I)由,得.
(II).
由,得,又,所以,
即的取值范围是.
30.(2007湖北)已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
解:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx. eq \o\ac(○,1)
(i)当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;
(ii)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得
(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式①也成立.
综上所述,所证不等式成立.
(Ⅱ)证:当
而由(Ⅰ),
(Ⅲ)解:假设存在正整数成立,
即有()+=1. ②
又由(Ⅱ)可得
()+
+与②式矛盾,
故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形;
当n=1时,3≠4,等式不成立;
当n=2时,32+42=52,等式成立;
当n=3时,33+43+53=63,等式成立;
当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;
当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的n只有n=2,3.
第二部分 三年联考题汇编
2009年联考题
一、选择题
1、(山东省乐陵一中2009届高三考前练习)已知为非零实数,且,则下列命题成立的是
( )
A . B. C. D.
答案 C
2.若,则(安徽省示范高中皖北协作区2009届高三第一次联考试题)下列不等式中正确的是
( )
A B C D
答案 D
3.(福建省福州市普通高中09年高三质量检查)已知
,则不等式
的解集是
( )
A.(—2,0)
B.
C.
D.
答案 C
4.(安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量
)不等式的解集为
A.
B.
C.
D.
答案 C
5. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元,而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元. 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为元,购买3千克乙种蔬菜所需费用为元,则
( )
A. B. C. D. 大小不确定
答案 A
6.(北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)设 R,
且,,则
( )
A. B.
C. D.
答案 D
7.(北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知,都是定义在上的函数,且满足以下条件:①=·();②;③。若,则使成立的x的取值范围是
A.(,)∪(,+∞ ) B.(,)
C.(-∞,)∪(,+∞ ) D.(,+∞ )
答案 B
8、(2009福州三中理)已知互不相等的正数a、b、c满足,则下列不等在中
可能成立的是
( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>a>b
答案 B
9、(2009龙岩一中理)若不等式的解集为非空集合,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
10、(2009龙岩一中文)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A.a2>b2
B.() a <()b
C.lg(a-b)>0
D.>1
答案 B
11、(2009泉州市)
答案 D
12、(2009广州一模)已知p:关于x的不等式x2+2ax-a>0的解集是R,q:-1
ac是b>c的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
答案 D
4、(2008江苏省启东中学高三综合测试四)不等式≥1的解集为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
5、(2008江西省五校2008届高三开学联考)设 , 则对任意正整数 , 都成立的是
A. B. C. D.
答案 C
. 故应选C
6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设,那么( )
A. B. C。 D.
答案 C
7、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知满足,则下列选项中不一定能成立的是( )
A.; B.; C.; D.;
答案 C
8、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)不等式的解集为( )
A.; B.; C.; D.
答案 D
9、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知函数为上的连续函数且存在反函数,若函数满足下表:
2
3
1
2
3
5
那么,不等式的解集是
( )
A. B.
C. D.
答案 A
10、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知则不等式的解集为
( )
A
B
C
D
答案 D
11、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如果a>b,给出下列不等式:
(1)< (2) a3>b3 (3) a2+1>b2+1 (4) 2>2
其中成立的是
( )
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D. (2)(4)
答案 D
12、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)在R上定义运算若
不等式对任意实数成立,则( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
13、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
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