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高中数学解题高考数学解题方法介绍5数形结合思想在解题中的应用

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高中数学解题高考数学解题方法介绍5数形结合思想在解题中的应用第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几...
高中数学解题高考数学解题方法介绍5数形结合思想在解题中的应用
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1. 分析: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 例2. 解:法一、常规解法: 法二、数形结合解法: EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 例3. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析: 出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B)。 例4. 分析: 例5. 分析: 构造直线的截距的方法来求之。 截距。 例6. 分析: 以3为半径的圆在x轴上方的部分,(如图),而N则示一条直线,其斜率k=1,纵截 例7. MF1的中点,O表示原点,则|ON|=( ) 分析:①设椭圆另一焦点为F2,(如图), 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点, ∴ON是△MF1F2的中位线, ②若联想到第二定义,可以确定点M的坐标,进而求MF1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。 例8. 分析: 例9. 解法一(代数法): , 解法二(几何法): EMBED Equation.2 例10. 分析: 转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。 解: 第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图) 相切于第一象限时,u取最大值 三、提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。 四、强化训练 见优化设计。 【模拟试题】 一、选择题: 1. 方程 的实根的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数 的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 设命题甲: ,命题乙: ,则甲是乙成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 4. 适合 且 的复数z的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 若不等式 的解集为 则a的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数 的最大值为( ) A. B. C. D. 7. 若 时,不等式 恒成立,则a的取值范围为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2] 8. 定义在R上的函数 上为增函数,且函数 的图象的对称轴为 ,则( ) A. B. C. D. 二、填空题: 9. 若复数z满足 ,则 的最大值为___________。 10. 若 对任意实数t,都有 ,则 、 由小到大依次为___________。 11. 若关于x的方程 有四个不相等的实根,则实数m的取值范围为___________。 12. 函数 的最小值为___________。 13. 若直线 与曲线 有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___________。 三、解答题: 14. 若方程 上有唯一解, 求m的取值范围。 15. 若不等式 的解集为A,且 ,求a的取值范围。 16. 设 ,试求下述方程有解时k的取值范围。 【试题答案】 一、选择题 1. C 提示:画出 在同一坐标系中的图象,即可。 2. D 提示:画出 的图象 情形1: 情形2: 3. A 4. C 提示:|Z-1|=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,显然点Z对应的复数满足条件 ,另外,点O对应的复数O,因其辐角是多值,它也满足 ,故满足条件的z有两个。 5. B 提示:画出 的图象,依题意, 从而 。 6. C 提示:由 可知,z2对应的点在以(0,0)为圆心,以2为半径的圆上, 而 表示复数 对应的点的距离, 结合图形,易知,此距离的最大值为: EMBED Equation.2 7. C 提示:令 , 若a>1,两函数图象如下图所示,显然当 时, 要使 ,只需使 ,综上可知 当 时,不等式 对 恒成立。 若 ,两函数图象如下图所示,显然当 时,不等式 恒不成立。 可见应选C 8. A 提示:f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的,又知f(x+2)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线x=2对称,由f(x)在( )上为增函数,可知,f(x)在 上为减函数,依此易比较函数值的大小。 二、填空题: 9. 提示:|Z|=2表示以原点为原心,以2为半径的圆,即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动,(如下图),而|z+1-i|=|z-(-1+i)|表示复数Z与-1+i对应的两点的距离。 由图形,易知,该距离的最大值为 。 10. 提示:由 知,f(x)的图象关于直线x=2对称,又 为二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由f(x)的图象,易知 的大小。 11. 提示:设 ,画出两函数图象示意图,要使方程 有四个不相等实根,只需使 12. 最小值为 提示:对 ,联想到两点的距离公式,它表示点(x,1)到(1,0)的距离, 表示点(x,1)到点(3,3)的距离,于是 表示动点(x,1)到两个定点(1,0)、(3,3)的距离之和,结合图形,易得 。 13. 提示:y=x-m表示倾角为45°,纵截距为-m的直线方程,而 则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距 ,即 。 三、解答题: 14. 解:原方程等价于 令 ,在同一坐标系内,画出它们的图象, 其中注意 ,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m=1,或 时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为[-3,0] {1}。 注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 15. 解:令 表示以(2,0)为圆心,以2为半径的圆在x轴的上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示, 表示过原点的直线系,不等式 的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。 由于不等式解集 因此,只需要 ∴a的取值范围为(2,+ )。 16. 解:将原方程化为: , ∴ 令 ,它表示倾角为45°的直线系, 令 ,它表示焦点在x轴上,顶点为(-a,0)(a,0)的等轴双曲线在x轴上方的部分, ∵原方程有解, ∴两个函数的图象有交点,由下图,知 ∴ ∴k的取值范围为 PAGE 1 _1144224554.unknown _1144225396.unknown _1144225949.unknown _1172574560.unknown _1173292838.unknown _1173292922.unknown _1173292923.unknown _1173292847.unknown _1172574566.unknown _1173290921.unknown _1144226184.unknown _1144226503.unknown _1144226631.unknown _1144226709.unknown _1144226735.unknown _1144226804.unknown _1144226817.unknown _1144226889.unknown _1144226774.unknown _1144226729.unknown _1144226670.unknown _1144226691.unknown _1144226649.unknown _1144226581.unknown _1144226615.unknown _1144226549.unknown _1144226319.unknown _1144226386.unknown _1144226428.unknown _1144226345.unknown _1144226255.unknown _1144226275.unknown _1144226234.unknown _1144226045.unknown _1144226113.unknown _1144226131.unknown _1144226073.unknown _1144225988.unknown _1144225994.unknown _1144225974.unknown _1144225708.unknown _1144225850.unknown _1144225894.unknown _1144225906.unknown _1144225877.unknown _1144225812.unknown _1144225829.unknown _1144225804.unknown _1144225546.unknown _1144225634.unknown _1144225655.unknown _1144225553.unknown _1144225514.unknown _1144225525.unknown _1144225430.unknown _1144224883.unknown _1144225189.unknown _1144225283.unknown _1144225359.unknown _1144225386.unknown _1144225312.unknown _1144225237.unknown _1144225249.unknown _1144225222.unknown _1144225036.unknown _1144225132.unknown _1144225156.unknown _1144225171.unknown _1144225178.unknown _1144225149.unknown _1144225096.unknown _1144225120.unknown _1144225087.unknown _1144224940.unknown _1144225004.unknown _1144224909.unknown _1144224665.unknown _1144224761.unknown _1144224821.unknown _1144224863.unknown _1144224767.unknown _1144224706.unknown _1144224738.unknown _1144224678.unknown _1144224607.unknown _1144224642.unknown _1144224656.unknown _1144224616.unknown _1144224569.unknown _1144224579.unknown _1144224561.unknown _1144223998.unknown _1144224232.unknown _1144224265.unknown _1144224499.unknown _1144224515.unknown _1144224479.unknown _1144224243.unknown _1144224253.unknown _1144224238.unknown _1144224130.unknown _1144224189.unknown _1144224223.unknown _1144224145.unknown _1144224060.unknown _1144224068.unknown _1144224008.unknown _1144223903.unknown _1144223928.unknown _1144223962.unknown _1144223921.unknown _1144223823.unknown _1144223862.unknown _1144152518.unknown _1144153626.unknown _1144153889.unknown _1144153996.unknown _1144154128.unknown _1144154302.unknown _1144154374.unknown _1144154395.unknown _1144154370.unknown _1144154150.unknown _1144154108.unknown _1144153944.unknown _1144153964.unknown _1144153916.unknown _1144153765.unknown _1144153841.unknown _1144153858.unknown _1144153816.unknown _1144153696.unknown _1144153738.unknown _1144153649.unknown _1144153140.unknown _1144153507.unknown _1144153571.unknown _1144153589.unknown _1144153547.unknown _1144153355.unknown _1144153453.unknown _1144153281.unknown _1144152798.unknown _1144152935.unknown _1144153082.unknown _1144152816.unknown _1144152710.unknown _1144152757.unknown _1144152563.unknown _1144152639.unknown _1144151829.unknown _1144152149.unknown _1144152294.unknown _1144152420.unknown _1144152451.unknown _1144152327.unknown _1144152202.unknown _1144152252.unknown _1144152184.unknown _1144152032.unknown _1144152086.unknown _1144152135.unknown _1144152057.unknown _1144151961.unknown _1144151996.unknown _1144151900.unknown _1144151535.unknown _1144151639.unknown _1144151736.unknown _1144151760.unknown _1144151709.unknown _1144151578.unknown _1144151597.unknown _1144151554.unknown _1144151388.unknown _1144151466.unknown _1144151517.unknown _1144151415.unknown _1144151313.unknown _1144151339.unknown _1144150875.unknown
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