板壳理论讲义板壳理论讲义第21章

第二十一章 回转壳 第二十一章 回转壳 §21-1 中面的几何性质 以回转面为中面的薄壳称为回转壳。 回转面：回转面是平面曲线绕其平面内某一轴回转而成，平面曲线上任一点回转而成的圆周，如圆周 ，称为平行圆或纬线。平面曲线在回转时的任一位置，例如 ，称为子午线或经线。子午线所在的平面如 ，称为子午面。纬线和经线是回转面的主曲率线，所以我们取纬线和经线为坐标线，以任意一点 处的中面法线与回转轴而成的角为该点的 坐标，以该点处的子午面与某一基准子午面 所成的角为该点的 坐标。 这样，中面在 点 的法线，被邻近一点 处的法线所截的一段长度 ，就是 ，中面在 点 的法线被回转轴所截的一段长度 ，就是 ，因为这个法线和邻近一点 处的法线相交在 。当然，中面在 方向和 方向的曲率就是 ， (21-1) 在 点， 方向的微分弧长是 ， 方向的微分弧长是 。因此，中面在 及 方向的拉密系数为 , (21-2) 注意 、 、 、 、 、 都只是 的函数，不随 变化，可见科达齐条件(19-12)中的第一式 自然满足，而第二式 成为 ，也就是 (21-3) 也可很据(21-2)中的第二式改写成为 (21-4) 高斯条件(19-11), 则成为 ,积分以后得出 注意，在 处， 将取极值， 应当成为零，可见 ，而上式成为与(21-3)式相同。利用(21-3)式或(21-4)式，可以使后面的某些运算得到简化。 §21-2 回转壳的无矩理论 在P245，无矩理论的平衡方程(19-30): 令 ， ， ， 利用公式（21-3），得回转壳的无矩理论平衡方程如下: (21-5) 、 、 分别为经线方向（ 方向），纬线方向（ 方向），法线方向（ 方向）的荷载，都是 及 的已知函数； 及 分别为经线方向及纬线方向的拉压力， 为经线及纬线方向的平错力，都是 及 的未知函数。 由(21-5)中的第三式解出 ，得 (21-6) 再代入前二式，得 (21-7) 引入两内力函数 及 ,命 , (21-8) 代入（21-7）利用（21-4）式 即得 (21-9) (21-10) 将两式分别对 及 求导，然后相减，再除以 ，得出仅含 的微分方程（消去 ） (20-11) 其中 (21-12) 于是按照无矩理论求解回转壳的内力，可以如下进行： 在薄壳的无矩理论弹性方程中， ， ， ， 利用（21-3）或（21-4），得回转壳无矩理论的弹性方程 (21-13) 从前两式中消去 ，并利用(21-6)式消去 ，保留(21-13)中的第三式，得 （21-14） 引入两位移函数 及 ，命 , （21-15） 则方程（21-14）成为 （21-16） 消去 , 两式相减后，再除以 ，得出仅含 的微分方程 (21-17) 其中 (21-18) 引入微分算子 (21-19) 则微分方程（21-11）及（21-17）可以简写为如下的形式 （21-20） （21-21） 具有完全相同的形式。 §21-3 轴对称问题的无矩计算 如果回转壳所受的约束和荷载都是绕回转轴对称的，则其内力及位移都将是绕回转轴对称的。轴对称荷载的表达式是 ， ， (a) 轴对称内力表达式是 ， ， (b) 则 , 。于是(21-10)式总能满足，方程（21-9）简化为 对 积分，得到 (c) 其中 是任意常数，而积分下限 可以根据计算的方便任意选择，通常都使其等于上边界的 坐标，如下图所示。 则据(c)和(21-8)中的第一式，得到经线方向的拉压力为 (d) 命 、 ，经线方向的拉压力为 ，如下图所示，由(d)得到 。 代回式(d)即得 (21-22) 由(21-6) 得 (21-23) 如果回转壳的顶部是闭合的，则 而(21-22) (21-23)简化为 （21-24） （21-25） 在顶点， ，上两式成为不定式，因而不易求得 、 。但是，只要中面是平滑曲面，则在该处的经向和纬向将合而为一，因而有 ， 于是得 ，得到 （21-26） 公式（21-22）可以用另一形式的公式来代替。命荷载合力为 ，则由轴对称方向的平衡条件有 其中的 是以沿 的正向时为正，以沿 的负向时为负。由此得 （21-27） 当 （21-28） 现在讨论位移。位移也是轴对称的，即 ， ，则由(20-15)得 ， 。再参阅(b)式( ， ， )，可见(21-16)中的第二式为恒等式，而第一式简化为 对 积分，代入(21-15)中的第一式，得经线方向位移 (21-29) §21-4 容器回转壳的无矩计算 例1.轴对称问题的计算实例:受有均布内压力 的闭合容器回转壳，如下图 将 ， 代入(21-24) 中，并利用(21-4)柯达齐条件，得到 (21-30) 并由(21-6)( )式得到 (21-31) 如果回转壳有圆球壳部分，半径为 ，则 ,于是由上两式得 ， (21-32) 如果回转壳具有圆柱壳部分，其半径为 ，则 ，于是 ， (21-33) 由于这种薄壳没有边界，如果薄壳的斜率和曲率都没有突变之处，则无矩状态得以实现，内力解答就能符合实际情况。但在制造上有困难(P304页)。 1） 冲压，模锻塑性弯曲理论 (1) 回弹部分，回弹率 (2) 皱曲问题（余同希等人） 2） 磁成型技术（未接触式） 如图所示，圆盖为半椭球壳，其半轴为a及b， 则其经线方向和纬线方向的曲率半径分别为 代入(21-30)及(21-31)式得到 (a) (b) 可见， 总为正， 在顶点： ， ， 在与圆柱壳连接处: ， , 当 时， 是负的 与圆盖相连接的圆柱壳部分， ， ，可见，圆盖与圆柱壳二者在连接处 总相同， 总是不同的，故环向正应变或法向位移不可能相同；二者相互约束，必然出现局部弯曲应力。 例2.如图所示锥壳，求无矩内力 角成为常量，对锥壳上任意一点 ，以 为它的坐标，由图可见，经线和纬线方向的曲率半径为 ， 为避免对 积分，我们不用(21-24),而改用(21-28)( )求 ： 其中 为液体的容重，合力 为 的重量，注意 得 (d) 代入到(21-6)( )，注意 ， 得到 求极值： 令 得到 令 得到 §21-5 顶盖回转壳的无矩计算 1. 内力分析 考虑如图所示的顶盖球壳 每单位面积上所受的铅直荷载为常量 ，则经线方向及法线方向的荷载分量分别为 ， (a) 代入到(21-24),命 得 (21-34) 代入(21-6)得 (21-35) 可见 总为负的（压力）。 由负变正 ，当 时 ，所以球壳内不发生拉力，必须使 。 如球壳不受法向约束和转动约束，无矩状态得以实现，而以上算出的无矩内力可以正确反映实际情况。 2. 位移分析 轴对称荷载的无矩理论，经线方向位移为 将式(a)及(21-34)中的 代入，得到 积分以后，得到 (b) 位移边界条件 （简支边界）求出 代入(b)即得 (21-36) 在轴对称情况下，(21-13)中的第二式简化为 将（21-34）至（21-36）三式代入，并命 即得法向位移 （21-37） 3. 应用 球壳作为屋顶时，为了避免支承墙受到水平推力，通常都在球壳的边缘上安置支承环，这样支承墙只受铅直力，大小等于支承环受墙顶所施的反力 。根据支承环的 部分在铅直方向的平衡条件，有 从而得到上述反力为 支承环 部分在水平方向的平衡条件为 于是得 由于球壳和支承环在互相连接处形变位移都不相同，在该处则会出现局部的弯曲内力。 §21-7 球壳的轴对称弯曲 讨论球壳的轴对称弯曲问题，因为该问题工程上比较常见。 在薄壳的平衡微分方程(19-22)中，命 , , 在轴对称情况下有 ，而且内力 、 、 、 、 都不随 变化。平衡方程化简为（第二，第四式成为恒等式）： （21-38） 为简化计算求解，这里用较复杂的几何方程（19-17）。在方程（19-17）中命 ， ， ，并在轴对称情况下有 而且 和 不随 变化，则几何方程简化为 ， (a) , (b) 在薄壳的物理方程（19-19）中，第三及第六成为恒等式，只剩下 ， (c) , (b) 在(a)、(b)、(c)、(d)中消去形变 、 、 、 得出弹性方程为 （21-39） 拉以斯讷提出混合法：力+位移 1） 基本未知函数 和 （中面法线绕 坐标线的转角） （21-40） 2） 把 、 用 表示 （21-41） 3） 把 、 用 表示 由平衡方程第一式解出得 (e) 代入(21-38)中的第二式，并同乘 ，写成 假定球壳顶部无孔洞，将上式对 积分，从0到 ，得到 即 于是 (21-42) 代入(e)，即可将 用 来表示 (21-43) 为了导出 和 的微分方程，首先将(21-41)式代入(21-38)中的第三式，得出 (21-44) 其次，将弹性方程前两式相减，消去 得出 (f) 并将（21-39）中的第二式对 求导，得出 (g) 再从式(f)及(g)中消去 ，得出 最后再将(21-42)及(21-43)式代入，并利用(21-40)即得 (21-45) 方程(21-44)和(21-45)就是混合法的基本微分方程。在边界条件下，由这两个微分方程求解出 和 ，进一步可求出 和 以及把 和 。 §21-8 球壳轴对称弯曲问题的简化解答 分析球壳在自成平衡的轴对称边界力作用下的弯曲 由于 、 ，所以(21-42)及(21-43)简化为 , (a) 微分方程(21-45)简化为 (b) 微分方程(21-44)可写成相似的形式 (c) 将式(b)中的 代入式(c)，或将式(c)中的 代入式(b),得出 或 的四阶常微分方程，可以在边界条件下求解 或 ,然后在求出内力 、 、 、 。 这样得出的解答，只能表示成为无穷级数的形式，而且对于工程上常见的薄壳，级数收敛很慢，不便应用。但是，由这样的级数解答，可见 和 有如下的特征： ， 在离壳顶较远而离边界较近之处，通常 因而 ，于是可以采用施塔耶尔芒在1924年和盖开勒在1926年分别提出的办法，略去 、 、 、 ，则(b)(c)简化为 , (d) 从二式中消去 得 引用无因此的常数 (21-46) 则上列微分方程变换为 (e) 显然 。 为了进一步简化解答，用 角来代替 角作为自变量，利用变换式 (21-47) 可将微分方程(e)变换为 把这一微分方程的解取为 其中 、 、 、 是任意常数， 为较大的数字而 是局部性的（它随这 的增大而消减），可见 ，而上列解答简化为 (f) 由(d)中的第一式可以求得 (g) 在(21-41)中，注意 ，即可有(g)求得 (h) (i) 现在由边界条件求出 、 。边界条件是 ， 将式(h)及式(f)代入，得到 ， 也就是 ， 求出 和 代入到(f)、(g)、(h)三式得到 (j) (k) (l) 按照式(a)，可以由式(j)求得 及 (m) (n) 另外，以上内力按照(20-20) 所示的特殊函数表示为 (21-48) 在实际计算中，首先算出 和 ，而 和 须根据薄壳在它们的作用方向的位移条件来确定。薄壳在 作用方向的位移是边界条件处的转角，即 由式(k)可见其为 (21-49) 薄壳在 作用方向的位移,是边界半径的改变，即 将 及 带入得到代入，得到 由于 是较大的数字而 不会是很小的数字， 与 相比，可以略去不计。因此，上式可以简写为 (21-50) §21-9 球壳的简化计算 设有一边界固定的球壳，受均布压力 ，如下图所示 可见这一问题中，无矩内力为 ， (a) 下面求相应的中面位移，在(21-29)中命 ， ， ，得到 边界条件为 得出 ，因此有 (b) 将(a)及(b)代入到(21-13)中的第一式，得中面法向位移为 (c) 故在无矩状态下： 中面在经线方向的位移： 中面在法向的位移： 边界处的转角： (d) 边界半径的改变： (e) 实际上，由于边界固定，边界处将发生弯矩 及水平反力 。 实际情况=无矩状态+边缘效应 ： ： 求解 及 ，得出 ， (f) 然后将(f)代入到表达式(21-48)，得出边界约束引起的附加内力，即所谓边缘效应（内力=无矩内力+边缘效应）。 利用表20-1,极易由这些表达式求得球壳的内力。 习题： 21-1 解：对于球壳部分： ， 对于柱壳部分： ， 1).按照材料强度有 2).按照无矩理论的条件有 （或者 ） _1258098676.unknown _1258103445.unknown _1258108728.unknown _1258114301.unknown _1258119790.unknown _1258120965.unknown _1258136073.unknown _1258178954.unknown _1258179629.unknown _1258180063.unknown _1258180477.unknown _1258179641.unknown _1258179519.unknown _1258136203.unknown _1258136215.unknown _1258136381.unknown _1258136410.unknown _1258136562.unknown _1258136347.unknown _1258136140.unknown _1258136081.unknown _1258123838.unknown _1258124502.unknown _1258124516.unknown _1258123943.unknown _1258124187.unknown _1258124233.unknown _1258123987.unknown _1258123861.unknown _1258121369.unknown _1258122340.unknown _1258121487.unknown _1258122306.unknown _1258121033.unknown _1258121185.unknown _1258121011.unknown _1258120623.unknown _1258120702.unknown _1258120777.unknown _1258120678.unknown _1258120017.unknown _1258120411.unknown _1258119865.unknown _1258117940.unknown _1258119582.unknown _1258119733.unknown _1258119765.unknown _1258119701.unknown _1258118142.unknown _1258118298.unknown _1258118074.unknown _1258115225.unknown _1258117939.unknown _1258117897.unknown _1258117908.unknown _1258114927.unknown _1258115150.unknown _1258114450.unknown _1258109898.unknown _1258114037.unknown _1258114119.unknown _1258114132.unknown _1258114086.unknown _1258113896.unknown _1258113930.unknown _1258113655.unknown _1258113835.unknown _1258113855.unknown _1258113697.unknown _1258109972.unknown _1258108803.unknown _1258108919.unknown _1258108946.unknown _1258108864.unknown _1258108739.unknown _1258108774.unknown _1258108732.unknown _1258106502.unknown _1258107416.unknown _1258108379.unknown _1258108525.unknown _1258108714.unknown _1258108462.unknown _1258108181.unknown _1258108283.unknown _1258107435.unknown _1258107160.unknown _1258107291.unknown _1258107302.unknown _1258107280.unknown _1258106635.unknown _1258106648.unknown _1258106513.unknown _1258104807.unknown _1258105612.unknown _1258106455.unknown _1258106472.unknown _1258106345.unknown _1258105273.unknown _1258105585.unknown _1258105257.unknown _1258103726.unknown _1258104146.unknown _1258104760.unknown _1258104064.unknown _1258103612.unknown _1258103624.unknown _1258103540.unknown _1258101655.unknown _1258102376.unknown _1258102871.unknown _1258103006.unknown _1258103222.unknown _1258103342.unknown _1258103167.unknown _1258102902.unknown _1258102429.unknown _1258102705.unknown _1258102850.unknown _1258102865.unknown _1258102620.unknown _1258102681.unknown _1258102687.unknown _1258102599.unknown _1258102399.unknown _1258102412.unknown _1258102388.unknown _1258101984.unknown _1258102154.unknown _1258102183.unknown _1258102193.unknown _1258102173.unknown _1258102008.unknown _1258102036.unknown _1258102004.unknown _1258101867.unknown _1258101936.unknown _1258101938.unknown _1258101868.unknown _1258101806.unknown _1258101866.unknown _1258101786.unknown _1258100715.unknown _1258101453.unknown _1258101582.unknown _1258101639.unknown _1258101647.unknown _1258101594.unknown _1258101481.unknown _1258101564.unknown _1258101472.unknown _1258101058.unknown _1258101185.unknown _1258101219.unknown _1258101096.unknown _1258100960.unknown _1258100978.unknown _1258100777.unknown _1258099417.unknown _1258100070.unknown _1258100514.unknown _1258100627.unknown _1258100254.unknown _1258099851.unknown _1258099983.unknown _1258099548.unknown _1258099829.unknown _1258098918.unknown _1258099167.unknown _1258099406.unknown _1258099086.unknown _1258098732.unknown _1258098907.unknown _1258098687.unknown _1257944925.unknown _1257949197.unknown _1258097374.unknown _1258098009.unknown _1258098373.unknown _1258098580.unknown _1258098652.unknown _1258098383.unknown _1258098280.unknown _1258098292.unknown _1258098017.unknown _1258097759.unknown _1258097937.unknown _1258097947.unknown _1258097772.unknown _1258097571.unknown _1258097709.unknown _1258097553.unknown 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