八年级数学下册 18.1《勾股定理逆定理（第一课时）》教学实录 新人教版

教学实录 勾股定理的逆定理（第一课时） 一、 复旧顾新，导入新课。 问1：在Rt△ABC中∠A 、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，填 a b C 3 4 5 2.5 6.5 7.5 8.5 A b c （1）师：根据学生回答填表 C a B （2）生1： 结合图形、叙述定理内容。 （教师板书） 〖评析〗 在复习旧知的基础上巧妙地过度到本节课的课题，知识的衔接流畅自然。 二、诱导尝试，探究新知 问题2：如果以表中数据为边作三角形，则所作三角形是会什么三角形呢？（生：直角三角形） 师：我们暂且不做结论，先看看古埃及人的做法：（出示一条打结的绳子）谁愿意帮老师给大家演示一下？（学生纷纷举手，老师在 举手学生中选择两名学生登台演示） 师：是不是只有3、4、5为边长做出的三角形都是直角三角形的呢？下面请大家取出纸笔以2.5、6、6.5为边长作三角形（必做，速度快的学生还可以多做一个） 处理：①两名学生在黑板上作图，（板演的两名学生在选取长度单位时犹豫，教师立即引导：向全体学生发问“你们以什么为长度单位？”生齐声：厘米，师：在黑板上能以厘米为单位吗？板演的两名同学立即醒悟，开始作图）其余学 a b c 三角形形状 3 4 5 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 〖评析〗 通过学生动手实践，培养了学生的动手能力，同时凸显命题的形成过程。既锻炼了学生的实践与观察能力又渗透了人文和探究精神。 问题3：由此你们能感受到什么结论？ 结合学生回答板书：命题，如果△ABC的三边a、b、c满足那么 ∠C= 问题4：勾股定理的题设和结论分别是什么？刚才得到的命题的题设、结论分别是什么？ 生4：勾股定理的题设是 Rt△ABC中，∠C=，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，结论是；这个命题的题设是△ABC的三边a、b、c满足，结论是∠C=。 师：很好！生4的意思是说，我们刚才的到的命题的题设、结论分别是勾股定理的结论、题设，像这样的两个命题我们称它们为互逆命题，你们还能举例说明各命题与逆命题，并说出它们的真假吗？ 生：纷纷举例：生5：“两直线平行，内错角相等”的逆命题是：内错角相等，两直线平行；生6：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：同位角相等，两直线平行；生7：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行；生8：“等角对等边”的逆命题是：等边对等角 师：对顶角相等的逆命题是什么？它是真命题吗？ 生：相等的角是对顶角，是假命题 师：看来原命题正确，逆命题不一定正确，勾股定理是真命题，但它的逆命题一定是真命题吗？要知道它的真假，该怎么办？ 生齐声：证明！ 师：看来这个问题很难，下面我们一起来解决这个问题。 （师转向黑板）刚才两位同学所画两个三角形有什么关系？为什么？ 生：全等，因为三边对应相等，根据“边边边”公理知它们全等 师：真不错，现在，请同学们思考：当△ABC的三边长度为任意长，且满足 师：结合学生回答，板书：已知在△ABC中AB=c,BC=a,AC=b,且，求证 ∠C= 师：今天我们要学习一种新——构造法，我们可以这样考虑： 如果能作一个直角三角形，使其两边与△ABC 的两边相等的话，那么，第三边与△ABC 的第三边会有怎样的关系？ 生9：相等，因为所作三角形是直角三角形，所以，可以根据勾股定理算出第三边， △ABC 的三边满足 ，所以可以算出它们相等。 师：你真棒！，那就请你将思路给大家展示出来吧！其他同学在练习本上做，如果有困难，请自学74页探究。 （生9画完图，犹豫了一会，下去了） 师：生9同学有困难，谁能来帮帮她？ 生10：生9完成画图，没有证明 师：怎样证明呢？生11你来试试。 生11： 上台，画△A’ B’C’，A’C’=b,B’C’=a, ∠C’=,算出A’B’=c=AB,在 △A’B’C’与△ABC中，由A’C’=AB, B’C’=BC，A’B’ = AB，可证△A’B’C’≌△ABC，从而得到∠C’=∠C=90° 师：生11做的好不好？你们还有什么补充的吗？ 生： 好，没有什么补充的。 师：在这个证明中我们引入了一种新的方法——构造法，就是要证∠C=90°，先构造一个直角三角形，通过证明构造三角形与△ABC全等，获得∠C=90°，请大家注意，由于 △A’B’C’不是题中给出的，所以各边应用虚线。（边叙述边演示纠正） 师：通过证明知道这个逆命题是正确的，这就是勾股定理的逆定理（将前面板书的“命题” 擦掉，改成“定理”），两个定理互逆可以称为互逆定理，你们想想，勾股定理逆定理有什么作用。 生12：可以判断三角形是不是直角三角形，如：边长6、8、10的三角形可以确定为它是直角三角形。 〖评析〗 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把 “构造直角三角形”这一方法的获取过程交给了学生，让他们在不断地尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破了本节课的难点。 三、变式训练，巩固新知 师：好！下面我们共同探讨几个问题（小黑板出示） 1．判断由线段a 、b、 c组成的三角形是不是直角三角形，为什么？ 生13： 师：很好！那么以15、17、8为边长的三角形呢？ 生14：以15、17、8为边长的三角形是直角三角形，因为，所以它是直角三角形。 师：不错，有没有和生14不一样的？ 生15：我是用17的平方减去8的平方等于15的平方，从而得到的三角形是直角三角形。 2．以下列各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．1，2 B．7，24，25 C．1，， D．3.5，4.5，5.5 师：你的思路很奇特。下面我们看第二题，谁来回答？ 生：（齐声）D 师：确定吗？ 生：确定 师：口算一下吧（学生纷纷举手），我们一起看A是吗？B、C…，学生确认后，教师填写， 通过以上练习，我们发现，尽管1题和2题 A、B、C中的三个数均满足较大数的平方等于两较小数的平方和，但有些是整数，如1，2；有些不是整数，像3、4、5，6、8、10，我们把既是整数又满足上述关系的数叫购股数。（小黑板出示3、4、5题） 3．补充完整下列勾股数。 生16： 师：为什么？ 生16：因为 生17： 〖评析〗 这一练习让学生进一步掌握了勾股定理逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节课的难点。 4．一个三角形三边为15，20，25，求最大边上的高 师：谁愿意来做第4题，（一女生举手），生18，很勇敢，还有谁愿意，生19，你来吧！（两名学生板演）。 （学生独立练习，教师巡回指导） 生18：设BD=x，则DC=25-x , 没解出， 生19： 作△ABC，使 AB=25,BC=15，AC=20,CD⊥AB于D, ∵ ∴△ABC是直角三角形，∴BC×AC=CD×AB，解得CD=12 师：做完第4题的同学请举手（约三分之二学生举手），看来，绝大多数学生已完成第4题，现在，我们来帮板演的同学检查一下，先看生19同学做的，他是先运用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后，运用三角形面积计算公式算出AB边上的高为12，他做的对吗？（生：对），和他一样的同学举手（有一半学生举手） 师：看来多数同学都知道运用勾股定理的逆定理解决，很好。下面，我们再看看生18同学做的，生18，你能给大家讲讲你是怎样想的吗？ 生18：我是根据勾股定理将CD用含BD的代数式表示，列方程先解出BD,对不起，我没有解出。 师：生18的想法对不对？ 生：对（齐声）， 师：有没有和她想法一样的？（有学生举手）生20，你告诉大家，这样求出BD等于多少？ 生20：9 师：对不对？（生齐声：对），由于时间关系，具体过程留给大家课后交流。 〖评析〗 这儿及时地反馈了教学效果，查漏补缺，对学有困难的学生给予了鼓励和帮助。 四、全课小结，归类细化 师：通过本节学习，，你知道了什么？ 生21：我学会了，勾股定理的逆定理，我还知道了运用它可以判断一个三角形是否是直角三角形。 师：很好，还有谁愿意与大家交流吗？ 生22：我还学会了要证明一个三角形的角是直角，可以先做一个直角三角形，通过证明所做三角形与原三角形全等得到。 生23：我还知道了古埃及人作直角三角形的方法。 生24： 我知道了什么是勾股数 师：看来大家的收获真不少，下课后可以继续分享，今天我们又掌握了一个定理（勾股定理逆定理），两个定义（命题、勾股数），三种方法：数形结合法、构造法、直角三角形的又一个判定方法，在以前，判定三角形是否是直角三角形时，要么看两较小角之和是否等于较大角，要么看是否有一角是直角，以后，判断三角形是否直角三角形共有三种方法。 〖评析〗 这样处理让学生养成了梳理学习内容、系统整理知识的习惯，加强了教与学的反思，可进一步提高教学效果。 今天的作业：必做；75页练习1、2、3，习题1、2。 选做：习题5 。 下课。