2010届高考数学总复习（五年高考）（三年联考）精品题库：第二章 函数与基本初等函数I（WORD)

第二章 函数与基本初等函数I 第一节 函数的概念与性质 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考 1.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 答案 D 解析 与都是奇函数， ， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D 2.(2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 ( ) A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 D．若，，且，则 答案 C 解析 对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有． 3.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ） A.，在上是增函数 B.，在上是减函数 C.，是偶函数 D.，是奇函数 答案 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问． 解析 对于时有是一个偶函数 4. (2009山东卷理)函数的图像大致为 ( ). 答案 A 解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 5.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ， 则f（2009）的值为 ( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 答案 C 解析 由已知得,,, ,, ,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ). 答案 A. 解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ， 则f（3）的值为 ( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 答案 B 解析 由已知得,,, ,,故选B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). A. B. C. D. 答案 D 解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 9.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=(x0)的反函数是 （ ） （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错. 10.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像 （ ） （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。 11.（2009全国卷Ⅱ文）设则 （ ） （A） （B） （C） （D） 答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。 12.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 （ ） A. B. C. D. 答案 B 解析 ，代入，解得，所以，选B. 13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ） A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. 14.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是 （ ） 答案 C 解析 ，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。 或当时，当时，选C 15.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是 （ ） 答案 C 解析 可得的两个零解. 当时,则 当时,则当时,则选C。 16.（2009江西卷文）函数的定义域为 （ ） A．　　　B．　　　C．　　　　D． 答案 D 解析 由得或,故选D. 17.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ ） A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D． 答案 C 解析 ,故选C. 18.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动， 速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象 大致为 ( ) A B C D 答案 B 解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选. 19.（2009江西卷理）函数的定义域为 ( ) A．　　　B．　　　C．　　　　D． 答案 C 解析 由.故选C 20.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ( ) A． B． C． D．不能确定 答案 B 解析 ，，，，选B 21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增 当，令 解得。 当， 故 ，解得 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.（2009天津卷文）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数( ) A、 B、 C、 D、 答案 D 解析 由原函数是，从中解得 即原函数的反函数是，故选择D 24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 答案 D 解析 由题意可知球的体积为，则，由此可 ，而球的表面积为， 所以， 即，故选 25.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案 A 解析 若≠0，则有，取，则有： （∵是偶函数，则 ）由此得于是 26.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 ( ) A. B C D 答案 D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得. 27.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ( ) （A）（，） B.［，） C.（，） D.［，） 答案 A 解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 得|2x－1|＜ 解得＜x＜ 28.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 ( ) 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 答案 C 29.（2009陕西卷文）函数的反函数为 ( ) （A） B. （C） (D)学科 答案 D 解析 令原式 则 故 故选D. 30.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( ) (A) B. C. D. 答案 A 解析 由等价，于则在 上单调递增, 又是偶函数,故在 单调递减.且满足时, , ,得 ,故选A. 31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意 的，有. 则当时,有 ( ) (A) B. C. C. D. 答案 C 32.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案 A 解析 若≠0，则有，取，则有： （∵是偶函数，则 ） 由此得于是， 33.（2009湖北卷文）函数的反函数是 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D 34.(2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 ( ) A B C D 答案 B 解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函 数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。 35.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 ( ) 取函数=。若对任意的，恒有=，则 ( ) A．K的最大值为2 B. K的最小值为2 C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 答案 D 解析 由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。 36.（2009天津卷理）已知函数若则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。 37.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( ) A.0 B. C.1 D. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12） 答案 A 解析 令，则；令，则 由得，所以 ，故选择A。 38.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ( ) A . B. C. D. 答案 A 解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A. 39.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 ( ) A． B. C. D． 答案 C 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增， 显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减， 不符合题意，综上选C。 40.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 答案 B 解析 根据题意曲线C的解析式为则方程 ，即，即对任意 · 恒成立，于是的最大值，令则 · 由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。 41.（2009重庆卷理）若是奇函数，则 ． 答案 解析 解法1 42（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 答案 解析 由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。 44（2009北京文）已知函数若，则 . .w.w.k.s.5 答案 .w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由，无解，故应填. 45.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________. 答案 解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. （1）由. （2）由. ∴不等式的解集为，∴应填. 46.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。 ，函数在R上递减。由得：m0)在区间上有四个不同的根,则 答案 -8 解析 因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，，则 ②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ③对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④ 解析 ①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ②：由，则有 ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新 颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 (1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 (2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点. 解 （1）设，则； 又的图像与直线平行 又在取极小值， ， ， ； ， 设 则 ； （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若，， 函数有两个零点；若， ，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点 49.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，， 其中． （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由． 解 （I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有， 于是，得，而当时有在 上有两个相等的实根，故舍去，所以； （II）当时有； 当时有，因为当时不合题意，因此， 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）； 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的； 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意． 7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 （1）若，则 （2）当时， 当时， 综上 （3）时，得， 当时，； 当时，△>0,得： 讨论得：当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为. 50.（2009年上海卷理）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。 （1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数； （3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。 解 （1）函数的反函数是 而其反函数为 故函数不满足“1和性质” （2）设函数满足“2和性质”， …….6分 而得反函数………….8分 由“2和性质”定义可知=对恒成立 即所求一次函数为………..10分 （3）设，，且点在图像上，则在函数图象上， 故，可得， 　　．．．．．．12分 令，则。，即。　　　　．．．．．．14分 综上所述，，此时，其反函数就是， 而，故与互为反函数 。 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008年山东文科卷）设函数则的值为（ ） A． B． C． D． 答案 A 2.（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间 是减函数，则函数 （ ） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 答案 B 3. (07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 答案 C 4.(07重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则 （ ） A. B. C. D. 答案 D 5.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 ( ) A. (0≤x≤2) B. (0≤x≤2) C. (0≤x≤2) D. (0≤x≤2) 答案 B 6.（2005年上海13）若函数，则该函数在上是 （ ） A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 答案 A 二、填空题 7.（2007上海春季5）设函数是奇函数. 若 则 . 答案 8.（2007年上海）函数的定义域是 ． 答案 9.（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若 则_______________。 答案 - 解析 。 10.（2006年上海春）已知函数是定义在上的偶函数. 当时， ，则当时， . 答案 -x-x4 三、解答题 11.(2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间 上有零点，求a的取值范围. 解析 若 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 ①当 时, 恰有一个零点在上; ②当，即时，在 上也恰有一个零点. ③当在上有两个零点时, 则 或 解得或 综上所求实数的取值范围是或. 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、选择题 1. (北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象可能是 ( ) 答案 A 2.（2009龙岩一中）函数的定义域是 （ ） A. B. C. D. 答案 B 3.（2009湘潭市一中12月考）已知定义在R上的函数满足，且 ，, （ ） A. B. C. D. 答案 A 4.（2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则 等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 答案 B 5.（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测）函数在上单调，则的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 答案 A 6.（黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）对于函数定义域中任意 有如下结论：①； ②； ③； ④。上述结论中正确结论的序号是 ( ) A．② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 答案 B 7.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知函数 两函数的图像的交点个数 为 ( ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 8.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知 ，则不等式 的解集是 （ ） A．（—2，0） B． C． D． 答案 C 9.（江门市2009年高考模拟考试）设函数的定义域为，的定义域为，则 ( ) A. B. C. D. 答案 C 10．（2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科））设，又记 则 ( ) A． B． C． D． 答案 D 11.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数是奇函数，并且在R上为增函 数，若0≤≤时，f（msin）＋f（1—m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．（0，1）B．（－∞，0）C． D．（－∞，1） 答案 D 二、填空题 12．（2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数为上的奇函数， 当时，.若，则实数 . 答案 13.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域是R，值域是[0，]； ②函数的图像关于直线对称； ③函数是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数在上是增函数； 则其中真命题是__ ． 答案 ①②③ 14.（安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考）已知函数，则不 等式的解集为 答案 15.(北京市石景山区2009年4月高三一模理)函数，则，若，则实数的取值范围是　　　　　　　 　　　　 答案 16. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)设a为常数，. 若函数为偶函数，则=__________；=_______. 答案 2,8 17.（2009丹阳高级中学一模）若函数在上是增函数，则的取 值范围是____________。 答案 三、解答题 18.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数。 （1）画出函数y=f(x)的图像； （2）若不等式，（a(0,a、b(R）恒成立，求实数x的范围。 解：(1) (2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得 又因为 则有2≥f(x) 解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数满足 ，且在[-1，0]上单调递增，设， ，， 则大小关系是 ( ) A． B． C． D． 答案 D 2.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数是 ( )A．奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案 D 3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R上的函数，且在 (-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是 ( ) A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 D.偶函数，且在(- ∞，+∞)上是减函数 答案 A 4.(广东省2008届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积 与时间(月)的关系: , 有以下叙述: ①这个指数函数的底数为2; ②第5个月时, 浮萍面积就会超过30; ③浮萍从4蔓延到12需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到2, 3, 6所经过的时间分别是, 则.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤ 答案 D 5.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）.映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一 个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为 （ 　） A.24 B.6 C.36 D.72 答案 C 二、填空题 6.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）若对于任意a[-1,1], 函数f(x) = x+ (a －4)x + 4－2a的值恒大于零,　则x的取值范围是 答案 （ 7.(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数，给出以下三个条件: (1) 存在，使得； (2) 成立； (3) 在区间上是增函数. 若同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为 . 答案 满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等. 三、解答题 8.(2007年安徽省六校)已知函数,在R上有定义，对任意的有 且 （1）求证：为奇函数 （2）若， 求的值 解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x) ………………4分 （2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 …………………8分 第二节 基本初等函数I 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A． B． C． D．2 答案 A 解析 函数的反函数是,又,即, 所以,,故,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有 点 （ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C .w 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 3.（2009天津卷文）设，则 ( ) A a 的是 A．= B. = C .= D. 答案 A 解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。 9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝ ，则＝ A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4 ∴＝f(3＋log23) ＝ 10.（2009四川卷文）函数的反函数是 A. B. C. D. 答案 C 解析 由，又因原函数的值域是， ∴其反函数是 11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 A. B. C. D.1 答案 B 解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 （1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B. 12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 答案 C 解析 由题令得，即，又，所以，故选择C。 13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( ) A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 答案 D 解析 由得由得，所以选D项。 14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数 的值是 ( ) Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。 答案 B 解析 由题得，故选择B。 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ，可得．故选B． 15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. C. D. 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。 二、填空题 16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由得，；由知，所以4。 17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ． 答案 2 解法1 由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得取特殊点 . 2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值 为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 3.（2006年安徽卷）函数的反函数是 （ 　） A． B． C． D． 答案 D 解析 由得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以为所求，故选D。 4.（2006年湖北卷）设，则的定义域为 ( ) A． B． C． D． 答案 B 解析 f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2((2且－2((2解得－4(x(－1或1(x(4故选B。 5.(07天津)设均为正数，且，，. 则 （ ） A. B. C. D. 答案 A 二、填空题 6.（2008年山东文科卷）已知，则 的值等于 ． 答案 2008 解析 本小题主要考查对数函数问题。 7.(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 . 答案 8 8.（2006年辽宁卷）设则__________ 答案 . 解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算. 9.(2006年重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 . 解析 设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 01，故 上式对一切均成立，从而判别式 14.（2009广东三校一模）设函数. (1)求的单调区间; (2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为. 1分 由得; 2分 由得, 3分 则增区间为,减区间为. 4分 (2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分 由,且, 8分 时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分 (3)方程即.记,则 .由得;由得. 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a时，方程无解； 或a=2-2ln2时，方程有唯一解； 时，方程有两个不等的解. 14分 2007—2008年联考题 一、选择题 1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=ax与g(x)=bx的图象 （ ） A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称 答案 C 解析 取满足可得答案C. 2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f（x）= loga x的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ） A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D 3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数 (xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： 甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)； 丙：若

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，对任意N*恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 D 二、填空题 4.（2008年高考数学各校月考试题）已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题: ①的图象关于原点对称； ②为偶函数； ③的最小值为0； ④在（0，1）上为减函数. 其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上） 答案 ②③ 5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则 满足＝27的x的值是 . 答案 EQ \f(1,3) 三、解答题 6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数 (1)判断函数的奇偶性。 (2)判断函数的单调性。 解 （1） = ∴为奇函数 （2）是R上的增函数，（证明略） 7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x∈R，f(x)>0 (3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 00且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009山东卷理)（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设, 则,,所以 当且仅当即时取”=”. 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设04×240×240 9 m1m2<9×160×160所以, 所以即函数在(0,160)上为减函数. 同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160 所以, 所以即函数在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值, 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009湖南卷理)（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数； 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 6.（2009年上海卷理）有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （1）证明 当时，掌握程度的增加量总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 ,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。 证明 （1）当 而当，函数单调递增，且>0……..3分 故单调递减 当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分 （2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分 整理得 解得…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 7.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. （1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 证明 （1）当时， 而当时，函数单调递增，且 故函数单调递减 当时，掌握程度的增长量总是下降 (2)有题意可知 整理得 解得…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ ） 答案 A 2.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 （ ） 答案 D 3.（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 （ ） A B C D 答案 C 4.某地一年内的气温（单位：℃）与时刻（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃ .令C（t）表示的时间段[0，t]的平均气温， C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ） 答案 A 解析 由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6 的某一段气温超于10，所以排除B，故选A。 二、填空题 5.（2006年上海春季2）方程的解 . 答案 2 6.（2007年上海4）方程 的解是 ． 答案 7.（2006年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树

方案

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如下：第棵树种植在点处，其中，，当时， 表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 答案 （1，2）（3，402） 三、解答题 8.（2008年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km ， 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上 （含边界），且A,B与等距离的一点O 处建造一个 污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长 为km． （Ⅰ）按下列

要求

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写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； ②设OP(km) ，将表示成的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 解 本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则 , 故，又OP＝， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令得sin，因为，所以=.当时，，是的减函数；当时，，y是的增函数.所以当=时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km处。 9.（2008年湖北卷20）.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第i月份（）,问一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 解 （1）①当0＜t10时，V(t)=(-t2+14t-40) 化简得t2-14t+40>0, 解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4. ②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12. 综上得0 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。 2.(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)如果二次方程x2-px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 （ ） A． 5个 　 　B． 6个 　　C． 7个 　　D． 8个 答案 C 3.（2008年全国百校月考） 用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 A．（0，0.5）， B．（0，1）， C．（0.5，1）， D．（0，0.5）， 答案 A 4.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 ( ) A B C D 答案 C 解析 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误. 二、解答题 5.（2007年岳阳市一中训练）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n (件)（nN*，且1≤n≤98）的关系表如下： N 1 2 3 4 ┅ 98 P ┅ 1 又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（）. (1)将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n (件)的一种函数关系式； (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解 （1）由题意可知日产量n 件中，正品（n-pn）件，日盈利额. （2） 当且仅当100-n=即n=100-而，且 故时取最大值，即取最大值. 6.（ 2008年高考数学各校月考试题）某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m为正常数. （1）当时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？ （2）如果涨价能使销售总金额增加，求m的取值范围. 解（1）由题设，当价格上涨x%时，销售总金额为： （2）（万元） 即。 当 当x=50时，万元. 即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总最大. （2）由（1） 如果上涨价格能使销假售总金额增加， 则有 即x>0时， ∴ 注意到m>0 ∴ ∴ ∴ ∴m的取值范围是（0，1） 7.(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用98万元购进一台 数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由． 解 （1）依题得：（xN*） （2）解不等式 ∵xN*,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利。 （3）（Ⅰ） 当且仅当时，即x=7时等号成立． 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元． （Ⅱ）y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，ymax=102 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理． 8.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积（ 其中AB=200 m，BC=160 m，AE=60 m，AF=40 m.） 解 设CG=x，矩形CGPH面积为y， 如图作EN⊥PH于点N，则 ∴HC=160 当（m）即CG长为190m时，最大面积为（m2） A O 1 y x 1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� O y x C B A y x 2 1 1 f(x)=m (m>0) 1 y x 1 O D 1 1 y x D． C． B． O t s O t s O t s A． O t s x y -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� y y y y x x x x � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� O D 1 1 y x C 1 1 O y x B 1 1 O y x A O C 1 1 O y x B 1 1 O y x x PAGE 1 _1303543247.unknown _1304402033.unknown _1304402087.unknown _1303543248.unknown _1303022863.unknown _1303543113.unknown _1303543222.unknown _1303543223.unknown _1303543099.unknown _1303543110.unknown _1303022843.unknown _1303022851.unknown _1274622381.unknown