高等数学A教案《高等数学》（A）教案第二章

讲授内容： §2.1导数概念 教学目的与要求： 1、理解导数的定义以及它的几何意义 2、掌握函数连续与导数存在的关系，导数存在与左右导数存在的关系 3、会求分段函数在分段点处的导数 教学重难点：重点——导数的定义，导数存在与左右导数的关系 难点——分段函数在分段点处导数的求法，用定义求抽象函数的导数 教学方法：讲授法 教学建议：借助速度和切线的实例引入导数的定义 学时：3学时 上一章我们讨论了函数的极限和连续，在此基础上本章将更进一步的研究函数值的变化快慢，即函数的导数，它是讨论函数特性的基本工具． 1、 引例: 1. 直线运动的速度 设某质点在数轴上的运动方程为s=f(t) (位置函数),则从时刻t0到时刻t的平均速度为: 当t→t0时,则有即时速度(瞬时速度)为v= EMBED Equation.3 .…………（A） 2. 切线问题 切线：设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上的一点N，作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，则直线MT称为曲线C在点M处的切线，即：只要弦长 |MN| 趋于零，则∠NMT趋于零． 设曲线C的方程为：y=f(x), M(x0, y0)为曲线C上的一点. 则y0=f (x0)．在曲线C上取点N(x, y)．则割线MN的斜率为: tanφ= = 当点N→M时，x→x0. 如果极限 EMBED Equation.3 …………（B）存在，设为k, 则称此极限为切线的斜率．其中k=tanα ,α为切线MT的倾角. 说明：两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量的比值极限，都是讨论函数的变化率，类似的： 加速度：速度增量与时间增量的比值的极限． 角速度：转角增量与时间增量的比值的极限． 线密度：质量增量与长度增量的比值的极限 问题：（A）（B）两式对较复杂的函数求出一具体的值是很不方便，为寻求解决此类问题的简便方法，给出如下导数的定义． 2、 导数的定义: 1. 导数的定义: 定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx在该邻域内)时，相应函数取得增量Δy=f(x+x0)-f(x0)；如果极限： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 存在，则称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数．记为： .…………（＊） 其它记号： ， ， 导数定义的其它形式： f′(x0)= EMBED Equation.3 ; 或 f′(x0)= EMBED Equation.3 说明：1）比值 是函数y=f(x)在以x0和x0+Δx为端点的区间上的平均变化率，导数即是函数的平均变化率的极限值．（瞬时变化率：点x0处的变化率） 2）极限 不存在时，称函数在点x0处不可导．注意当此极限为 时，当然是不可导，但我们仍然说函数在该此处的导数为 ． 3）注意（＊）中左右两端x0的一致性，分子分母中Δx的一致性． 是左右两侧连续的趋向0，如换成 不可． 4）当函数y=f(x)在开区间I内的每一点都可导时，则对于任意 ，就有一确定的导数值，从而构成一个新的函数，称此函数为原函数y=f(x)的导函数（简称导数），记为： 5） ． 6）由引例知： ， ． 7）因导数是用极限定义的，于是在利用导数的定义求导数时，求极限的所有方法在此均可以使用． 2. 左右导数: f′－(x0)= EMBED Equation.3 (存在) 称为函数f(x)在点x0处的左导数. f′+(x0)= EMBED Equation.3 (存在) 称为函数f(x)在点x0处的右导数. 函数y=f(x)在x0处可导的充要条件为：左右导数存在并相等，即： f′(x0) 存在 ( f′－(x0) =f′+(x0). 函数f(x)在闭区间[a,b]内可导即指：在开区间(a,b)内可导，且f′+(a)和f′－(b)都存在． 3、 求导例子: 用定义求函数的导数的步骤： 1） 求函数的增量 2） 求函数增量与自变量增量的比值 3） 求比值的极限 1) (C)′=0. 2) (xμ)′=μxμ-1 (μ为常数). 3) (sinx)′=cosx 4) (ax)′=axlna. 特别有：(ex)′=ex 5）(lnx)′=1/x或(log ax)′=1/xlna 下面为分段函数在分段点处导数的求法的例子，须用结论： f′(x0) 存在 ( f′－(x0) =f′+(x0). 例2. 1）求函数f(x)=|x|在x=0处的导数. 解：f ′+(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1 f′－(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = - =-1 由于f ′+(0)≠f ′-(0) , 因此函数在f(x)=|x|在x=0处的导数不存在. 注：f(x)= x |x|在x=0处的可导性怎样？ 2）已知f(x)= 求f′-(0)和f′+(0).并确定f′(0)是否存在? 解： f ′+(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0 f′－(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = - =-1 因为 f ′+(0)≠f ′-(0) , 所以 f ′(0)不存在. 3）已知f(x)= 求f′(x). 解： f ′+(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1; f′－(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1 由于f ′+(0) =f ′-(0)，因此f ′(0)=1 又当 时有 ； 当 时有 因此 4）设f(x)= 求f′-(0)及 f′+(0)并判断 f′(0)是否存在 解： f ′+(0)= EMBED Equation.3 = =0; f′－(0)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1 因f ′+(0)≠f ′-(0)，所以f′(0)不存在. 5）设f(x)= 求f′-(1)及 f′+(1)并判断 f′(1)是否存在 正解：用定义求得 f′+(1)=2 f′-(1)= ，所以f′(1)不存在． 错解： 例3抽象函数的求导 1）设 存在，求 ① ② 2）设 为偶函数，则 为奇函数. 3）设 ，求 . 4）下式成立的是，其中 在点a的领域内有定义 （A） （B） （C） （D） 解：1） ①一定要转化成导数定义的那个严格的形式 原式 ② 原式 2）要证 ，因这里是抽象函数，所以只能用定义 3）还是只能用定义 4）正确是D 因原式 注：若将 替换成 怎样，回答是：不成立. 对（A）因 ，即 是右侧趋近． 对（B） 即是右侧极限，在说了又还是离散的． 对（C）分子上就没有定值，不合定义的要求，请看下例 考虑 处 事实知 是不存在的． 4、 导数的几何意义 函数y=f(x) 在点x0处的导数f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 于是曲线在点(x0,f(x0)) 处的 例4 1）求曲线y=1/x在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解：由于f′(1)=-1/x2|x=1=-1，因此 切线方程为：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法线方程为：y-1=x-1，即x-y=0. 2）证明：曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数. 证：设(X,Y)为曲线上的任一点，则有XY=a2, y′(X)=-a2/X2. 切线方程为；y-Y=-a2/X2(x-X) 切线在坐标轴上的截距为：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y, 所求三角形的面积为：s=xy/2=2XY=2a2. 5、 函数的可导性与连续性的关系: 设函数 在点x处可导，则函数在x处连续． 证明：设函数y=f(x)在点x处可导，则有 EMBED Equation.3 =f′(x),于是有: =f′(x)+α ,其中 α=0 . 即 Δy=f′(x)Δx+αΔx. 令Δx→0，则有Δy→0. 因此函数在点x处连续. 注：但函数在点x处连续，则在点x处不一定可导，即连续是可导的必要条件．如 例5 1）讨论函数y= 在x=0处的连续性与可导性. 解：显然函数在x=0处连续. 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 不存在,因此函数在x=0处不可导. 2）讨论函数y= 在x=0处的连续性与可导性. 解：显然函数在x=0处连续; 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,因此函数在x=0处连续可导. 注： 例6 设函数f(x)= ，试确定a和b,使函数f(x)在x=1处连续且可导. 解：由连续即有f(1+)=f(1-) 得 a+b=1; f′+(1)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =2; f′-(1)= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =a 由可导得: f′+(1)= f′-(1), 即a=2; 从而b=-1. 例7 设 存在，且 ，求 . 解：由于 所以 作业：高等数学Ａ练习册习题十 教学后记： 教学参考书： 复习思： ，问 存在的最大 是多少？ 讲授内容 §2.2 函数的求导法则 教学目的与要求：1、熟悉掌握函数求导的四则运算、复合运算法则. 2、 掌握反函数的求导法则. 3、 熟练掌握基本初等函数的求导公式. 教学重难点： 重点——导数的四则运算法则、复合求导法则及基本初等函数的求导公式 难点——复合函数与反函数的求导法则. 教学方法：讲授法 教学建议：在合适的时机给出两道中等难度且有可能出错的题让学生在黑板上做. 学时：4学时 1、 函数和、差、积、商的求导法则 设 在点 具有导数: . 1. (u±v)′=u′±v′ 注：1、各自可导则和可导，可导与不可导之和仍不可导 2、和可导时，各自不一定可导. 2. (uv)′=u′v+uv′ 特别地:(Cu)′=Cu′ (C为常数) 一般地(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′ 证明：[u(x)v(x)]′= = = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = 3. (v≠0) 例1 1） ,求y′. 解：y′=6x2-10x+3 2）f(x)=x3+4cosx－sinπ/2,求f′(x)及f ′′(π/2). 解：f′(x)=3x2-4sinx f′(π/2)=3π2/4-4. 3）y=ex(sinx+cosx).求y′. 解:y′= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)= 2excosx. 4）y=x2lnxcosx.求y′. 解:y′=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx 5）y =tanx,求y′. 解:y′= = =sec2x 同样：(cotx)′=-csc2x; (secx)′=secxtanx; (cscx)′=-cscxcotx; 6） .求y′. 解:y′= 例2 设 ，求y′ 解：方法1： 方法2： 2、 反函数的导数 定理：若函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f ′(y)≠0,则其反函数y=f -1(x)在对应区间Ix={x|x=f(y),y(Iy}内可导,且有: [f -1(x)]′= 或 证明:由于x=f(y)在区间Iy内单调可导(从而连续), 因此其反函数在对应区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内单调且连续. 任取x∈Ix,给x增量Δx (Δx≠0,x+Δx∈Ix) 由y=f –1(x)单调性可知:Δy=f(x+Δx)-f(x)≠0. 于是: = .由于y=f -1(x)连续,从而当Δx→0时,有Δy→0. 又f′(y)≠0,所以: [f -1(x)]′= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = . 例3 1）求y=arcsinx的导数. 解：y=arcsinx的直接函数为:x=siny,在区间(-π/2,π/2)内单调,可导,且:(siny)′=cosy>0 所以:y=arcsinx在对应区间(-1,1)内有: (arcsinx)′= = = 同理:(arccosx)′=- . 2） 求y=arctanx的导数. 解: y=arctanx的直接函数为:x=tany,在区间(-π/2,π/2)内单调,可导,且:(tany)′=sec2y≠0,所以:y=arcsinx在对应区间(-∞,+∞)内有: (arctanx)′= = = 同理:(arccotx)′=- . 3） 求y=log ax (a>0,a≠0)的导数. 解: y=log ax (a>0,a≠0)的直接函数为:x=ay,在区间(-∞,+∞)内单调,可导,且:(ay)′=aylna≠0,所以:y=log ax在对应区间(0,+∞)内有: (log ax)′= = = . 基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的求导公式: 1) (C)′=0; 2) (xμ)′=μxμ-1; 3) (sinx)′=cosx; 4) (cosx)′=-sinx; 5) (tanx)′=secxtanx; 6) (cotx)′=-cscxcotx; 7) (secx)′=secxtanx; 8) (cscx)′=-cscxcotx; 9) (ax)′=axlna; 10) (ex)′=ex; 11) (log ax)′= 12) (lnx)′= ; 13) (arcsinx)′= ; 14) (arccosx)′=- ; 15) (arctanx)′= ; 16) (arccotx)′=- . 3、 复合函数的求导法则 定理：如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数 在点 处可导,且有: 或 = EMBED Equation.3 证明：因为 在点 处可导,所以 即有: 其中 ,且 当 时,规定 [此时函数 在Δu=0处连续]. 于是: 从而有: 于是: EMBED Equation.3 = 又当 时, ,从而: 又 在 处可导,因此 所以: 即: 注： 1）复合函数的求导关键在于搞清复合函数的结构，并由外向内逐层求导. 2）公式可以推广到多层复合的情形. 3）记号 表示 对 求导，即 ，如 就表示对 求导，而不是对 求导.如下例： 例4、求下列函数的导数: 1) y=lnsinx 解: =(lnsinx)′= =cotx 2) ; 解: =( )′= •(1-2x2)′= 3) y=lncos(ex); 解: =[lncos(ex)]′= [cos(ex)]′=- sin(ex)•ex=-extan(ex). 4) y= ; 解: =( )′= ( )′= • ( )′=- EMBED Equation.3 • 例5、1） ;[ 可导]. 解: = = = 2） ; 解： = • • •( )′ = • • • = 3） 设 ，求 解： 4） 作业：高等数学A习题册习题十一 习题十二 教学后记： 教学参考书： 复习思考题： 若函数 ，求 . 讲授内容 §2.3 高阶导数 教学目的与要求： 1、理解高阶导数的概念. 2、熟练掌握二阶导数的求法以及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法. 教学重难点: 重点——初等函数二阶导数的求法及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法. 难点——抽象函数及分段函数求高阶导数. 教学建议：讲授法. 教学建议：反函数二阶导数先证（必须慢点），然后一定要给出二个简单实例，师生双向做. 学时：2学时 1、 高阶导数的定义： 定义:函数 的导数 是 的函数,称 的导数为 的二阶导数.记作: 或 .即: 或 = 一般地,n阶导数的定义为: = 当n≥2时, n阶导数称为高阶导数. 例1. 求下列函数的二阶导数: 1) y=ln(x+ ); 解：y′= (1+ )= y′′=[ ]′=- •(2x)= 2) ; 其中 存在. 解：y′= ; y′′=[ ]′= 3) y=f(x2) 解：y′=2xf′(x2) y′′=2f′(x2)+2x• f′′(x2)•2x=2f′(x2)+4x2 f′′(x2). 例2. 求下列函数的n阶导数 1) y=ex 2) 解: (ex)(n)=ex. 3) y=sinx 解：y′=cosx=sin(x+ ) y′′=cos(x+ )=sin(x+ + )=sin(x+2· ); y′′′=cos(x+2· )=sin(x+3· ) 一般地：(sinx)(n)=sin(x+n· ). 同理：(cosx)(n)=cos(x+n· ). 4) y=ln(1+x) 解：y′= ; y′′=- ; y′′′= ; … 一般地： y(n)= . 即有， [ln(1+x)](n)= . 5) y=xμ (μ为常数) 解：y′=μxμ-1; y′′=μ(μ-1)xμ-2; …, y(n)=μ(μ-1)(μ-2)…(μ-n+1)xμ-n. 当μ=n时, (xn)(n)=n!; (xn)(n+1)=0. 5）设 ，求 解： 2、 函数和、差、积的高阶导数公式： 1) (u±v)(n)=u(n)±v(n); 2) 莱布尼茨(Leibniz)公式: (uv)(n)= u(n)v+nu(n-1)v′+ u(n-2)v′′+… + u(n-k)v(k)+…+uv(n) = u(n-k)v(k). 例3. 设y=x2sin2x,求y(50) 解：由于u=sin2x, v=x2, 所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k· ); v′=2x, v′′=2, v(k)=0 (k=3,4,…50). 从而有， (x2sin2x)(50)=250sin(2x+50· )·x2+50·[249sin(2x+49· )]·2x+ [248sin(2x+48· )]·2 =250[-x2sin2x+50xcos2x+ sin2x]. 例4 设 求 解：由 有 由莱布尼茨(Leibniz)公式，有 令 得： 令 得： 令 得： 因此有： 例5 设 求 解： 例6 试从 = 导出: 1) =- ; 2) = . 解：此题为反函数的高阶导数 1) = ( )= =- ; 2) = (- )=- = 作业：高等数学A练习册习题十三 教学后记： 教学参考书： 思考题：若 存在能否推出 在 内连续， 又若 存在能否推出 在 内连续. 讲授内容 §2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 教学目的与要求： 1、熟练掌握隐函数的一阶求导以及由参数方程所确定的函数的一阶求导. 2、掌握隐函数、由参数方程所确定的函数的二阶求导. 3、了解函数的相关变化率并会用函数的相关变化率解实际问题. 教学重难点： 重点——隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶求导. 难点——隐函数以及由参数方程所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率. 教学方法：讲授法 教学建议：幂指函数借助对数求导，幂指函数的求导公式在基础相对弱的班级不必介绍，但在快班建议介绍. 学时：3学时 1、 隐函数的导数: 1. 隐函数的导数 隐函数:如果在方程F(x,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的y值存在，则称方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个函数，此函数称为隐函数. 显函数：由方程y=f(x)表示的函数称为显函数. 特点为：左端为因变量，右端为自变量. 将一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化. 关于隐函数的求导这里只给出具体的做法。下册将再给出隐函数的一、二阶求导公式. 例1. 求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0处的导数y′(0). 解：要注意到，y是x的函数已是事实 两边对x求导时一定要注意到，y是x的函数这一事实 得，5y4y′+2y′-1-21x6=0, 令x=0得y=0. 得，y′(0)=1/2 注： 例2. 求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y的导数 . 解：两边对x求导，得:eyy′+y+xy′=0, …… （1） 所以y′=-y/(x+ey). ……（2） 将 代入得 再将（1）对x求导得 将 代入得 注：也可将（2）式两端对x求导 例3. 求曲线 在点( a, a)的切线方程和法线方程. 解：两边对x求导得: + EMBED Equation.3 y′=0, y′= 于是:y′( a)=1 切线方程为：y- a=x- a,即:x-y- =0. 法线方程为：y- a=-(x- a),即:x+y- a=0. 例4. ，求 解：：此题既是隐函数，也是复合函数 两端对x求导： 所以 2. 对数求导法: 例5. 求 的导数. 思路：指数的求导我们没有现成的公式，我们只能借助于对数将幂指数转化为乘积方可求导，这是因为对数具有降低运算级别的作用. 解：取对数 lny=sinxlnx. 两边求导 y′=cosxlnx+ , 所以有 y′=xsinx (cosxlnx+ ). 一般地，幂指函数的一般形式为：y=uv (u>0,u和v是x的函数)的导数为: 1） 取对数：lny=vlnu, 2） 两边求导： y′=v′lnu+ u′ 3） 解出 所以 (uv)′=uv(v′lnu+ u′). 例6. 求 的导数. 解：当x>4时，取对数得，lny= [ln(x-1)+ ln(x-2)- ln(x-3)- ln(x-4)]. 求导 y′= ( + - - ) y′= EMBED Equation.3 ( + - - ) 当x<1时，y= ；当2